靈活運(yùn)用裂項放縮法，快速證明數(shù)列不等式

證明數(shù)列不等式問題通常較為復(fù)雜，這類問題常與數(shù)列、不等式、函數(shù)等知識相結(jié)合.解答此類問題的常用方法是裂項放縮法，即將數(shù)列的各項裂為兩項之差的形式，通過放縮、求和使問題得解.

運(yùn)用裂項放縮法證明數(shù)列不等式，需先將數(shù)列的通項公式進(jìn)行合理的裂項，常見的裂項方式有：

⑴1（=）lt;=2 1（-）；1

⑵Cn（1）+1Cn（2）=（n+1）n（n-1）=n（n-1）-n（n+1）；

⑶2（-）lt;lt;2（-）.

通過裂項，可使數(shù)列的前后項或前后幾項相互抵消，那么數(shù)列的和就可以用剩下的幾項表示，再對其進(jìn)行合理的放縮，即可證明不等式.

例1.

證明

我們先將數(shù)列的通項公式進(jìn)行放縮： 1 （2n - 1） 2 gt; 1 （2n - 1）（2n + 1）；再將其裂項為 1 2 ? è ? ? 1 2n - 1 - 1 2n + 1 ，并求和，便可直接運(yùn)用裂項放縮法證明不等式.若數(shù)列的通項公式無法直接裂項，則需先對其進(jìn)行放縮，再裂項，使數(shù)列中的部分項可以相互抵消，從而快速求得數(shù)列的和.

例2

證明

先通過裂項、放縮得出 1 n2 lt; 2? è ? ? 1 2n - 1 - 1 2n + 1 ， 1 n2 gt; 1 n（n + 1） = 1 n - 1 n + 1 ，即可運(yùn)用裂項放縮法證明 6n （n + 1）（2n + 1） ≤ 1 + 1 4 + 1 9 +…+ 1 n2 lt; 5 3 .

例3

證明

解答本題，需將數(shù)列的通項公式 1 n 進(jìn)行合理的裂項： 2 n + 1 - n lt; 1 n lt; 2 （ 2n + 1 - 2n - 1） ，以便利用裂項放縮法證明不等式.

運(yùn)用裂項放縮法，可以將求無限項的和的問題轉(zhuǎn)化為求有限項的和，從而使問題得以簡化.而運(yùn)用裂項放縮法解題的關(guān)鍵在于對數(shù)列的通項公式進(jìn)行合理的裂項.在裂項時，我們需把握放縮的度，且要把握放縮的方向，以順利證明數(shù)列不等式.

（作者單位：江西省贛州市寧都縣寧師中學(xué)）