色噪聲激勵下分?jǐn)?shù)階機械系統(tǒng)的響應(yīng)分析

摘" 要： 研究了無量綱化的機械系統(tǒng)含有分?jǐn)?shù)階情況下受色噪聲激勵的響應(yīng)。首先，基于含分?jǐn)?shù)階的機械系統(tǒng)引入色噪聲并利用Gamma函數(shù)及其性質(zhì)對Caputo定義的分?jǐn)?shù)階進行微分近似變換；其次，借用隨機平均法對系統(tǒng)進行降維處理，得到控制系統(tǒng)響應(yīng)的FPK方程；最后，依據(jù)FPK方程的平穩(wěn)解，分析了色噪聲對分?jǐn)?shù)階機械系統(tǒng)的響應(yīng)影響。結(jié)果表明，分?jǐn)?shù)階下系統(tǒng)達到穩(wěn)定的概率增大，而噪聲強度D和關(guān)聯(lián)時間τ的增大會使得系統(tǒng)達到穩(wěn)定的概率減小，另外噪聲強度D和關(guān)聯(lián)時間τ的增大會引起隨機P分岔。

關(guān)鍵詞： 色噪聲；分?jǐn)?shù)階近似；隨機平均法；隨機P分岔

中圖分類號： O211.63

文獻標(biāo)識碼： A" 文章編號： 2096-3998（2024）05-0083-04

收稿日期：2023-12-18" 修回日期：2024-03-23

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目（2023D01A58）；喀什大學(xué)校級課題（（2022）2767）；喀什大學(xué)科研啟動經(jīng)費項目（022024079）

作者簡介：梁相玲（1994—），女，甘肅武威人，碩士，助教，主要研究方向為非線性動力學(xué)。

引用格式：梁相玲.色噪聲激勵下分?jǐn)?shù)階機械系統(tǒng)的響應(yīng)分析.陜西理工大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2024，40（5）：83-86.

整數(shù)階導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)在某一點上的變化率，而分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)由伽馬函數(shù)定義，能夠考慮函數(shù)在某一區(qū)間上的變化，因此分?jǐn)?shù)階微分能夠描述非局部性和非馬爾可夫性的現(xiàn)象，從而較整數(shù)階導(dǎo)數(shù)更全面地揭示事物的本質(zhì)和規(guī)律。近幾年對分?jǐn)?shù)階的研究很多，廣泛存在于反常擴散、金融、醫(yī)學(xué)、粘彈性力學(xué)等領(lǐng)域。如分?jǐn)?shù)階HR神經(jīng)元模型的動力學(xué)分析及金融不確定分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的優(yōu)化方案［1-2］。另外，外界環(huán)境中的隨機擾動無處不在，因此為更全面地刻畫事物的發(fā)展規(guī)律，隨機分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的研究也盛行起來，如具隨機與諧和聯(lián)合激勵下分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的統(tǒng)計線性化方法［3］、分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)在未知隨機擾動和執(zhí)行器飽和下的穩(wěn)定性分析及含分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)阻尼的隨機系統(tǒng)的隨機響應(yīng)等［4-10］，但目前對分?jǐn)?shù)級系統(tǒng)隨機激勵的研究大多數(shù)為理想化的白噪聲激勵下的研究，對更能反映實質(zhì)的色噪聲激勵下的研究較少。

本文利用分?jǐn)?shù)階記憶性質(zhì)，基于無量綱化的機械系統(tǒng)研究含有分?jǐn)?shù)階情況下色噪聲的激勵響應(yīng)。通過對由Caputo定義的分?jǐn)?shù)階進行微分近似變換，從而依據(jù)隨機平均法得到控制系統(tǒng)響應(yīng)的FPK方程，通過FPK方程的平穩(wěn)概率密度函數(shù)和聯(lián)合概率密度函數(shù)分析系統(tǒng)的隨機響應(yīng)。

1nbsp; 色噪聲激勵下的分?jǐn)?shù)階機械系統(tǒng)

受隨機激勵的含分?jǐn)?shù)階的機械系統(tǒng)為

mx¨（t）+cx·（t）+εDαx（t）+k1x（t）=η（t），（1）

其中，m、c分別表示系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼，ε為分?jǐn)?shù)階系數(shù)，k1為剛度系數(shù)。η（t）表示外部隨機力，此處外部隨機力為高斯色噪聲，滿足均值為0且〈w（t）w（t+h）〉=Dτexphτ，其中D和τ分別表示噪聲強度和關(guān)聯(lián)時間。α為階數(shù)且0lt;αlt;1，Caputo型定義的Dαx（t）表示為［11］

Dαx（t）=1Γ（1-α）ddt∫t0x（t）（t-s）αds。（2）

為進行深入研究，我們做處理把式（1）兩邊同除以m，得

x¨（t）+cmx·（t）+εmDαx（t）+k1mx（t）=1mη（t）。（3）

2" FPK方程

由于式（2）是關(guān)于位移和速度的微分方程，且系統(tǒng)受阻尼和外部激勵，從而響應(yīng)具有周期性，故引入廣義諧和變換，令w20=k1m，得到關(guān)于t的慢變過程的解的形式為

x（t）=a（t）cosφ（t），

x·（t）=-a（t）w0sinφ（t），

φ（t）=w0t+θ（t）。（4）

以下x、a、φ分別表示x（t）、a（t）、φ（t），由式（4）計算得θ·=a·cosφasinφ。將式（4）代入式（3）得到

a·=sinφw0cmx·+εmDαx（t）-sinφw0mη（t），（5）

θ·=cosφaw0cmx·+εmDαx（t）-cosφaw0mη（t）。（6）

式（5）、（6）中分?jǐn)?shù)階是Caputo定義的含有時滯的廣義積分，因此為了簡化方程，我們根據(jù)Gamma函數(shù)的定義及性質(zhì)將分?jǐn)?shù)階的微分近似變換［11-14］，得到

Dαx（t）≈awα0（cosφcosπα2-sinφsinπα2）" （0lt;αlt;1），（7）

可以從式（6）中看出振幅a（t）與相位φ（t）無關(guān)，故將式（7）代入式（5），應(yīng)用隨機平均法對式（5）中每一項取均值，可以得到滿足IT隨機微分方程的漂移系數(shù)A（a）和擴散系數(shù)σ（a），即

A（a）=〈sinφw0-cmaw0sinφ〉T+

〈εsinφw0mDαx（t）〉T+

〈2Dsin2φ2aw20m2·11+τ2w20〉T，

σ2（a）=〈2Dsin2φw20m2·11+τ2w20〉T，

計算得

A（a）=-c2ma+εa2mwα-10sinπα2+

D2aw20m2·1τ2w20+1，

σ2（a）=Dw20m2·11+τ2w20，

依據(jù)It隨機微分方程與FPK方程的關(guān)系，從而利用漂移系數(shù)A（a）和擴散系數(shù)σ（a）可以得到FPK方程為

p（a，t）t=-a（p（a，t）A（a））+122a2［σ2（a）p（a，t）］。（8）

3" 隨機分岔

由于FPK方程是控制系統(tǒng)響應(yīng)的方程，故基于FPK方程的平穩(wěn)概率密度函數(shù)和聯(lián)合概率密度，確定控制系統(tǒng)響應(yīng)的參數(shù)并通過參數(shù)賦值分析色噪聲激勵下分?jǐn)?shù)階機械系統(tǒng)的響應(yīng)，則令pt=0，可得到平穩(wěn)解p（a），即平穩(wěn)概率密度函數(shù)，且滿足

p（a）=Nσ2（a）exp∫2A（a）σ2（a）da，（9）

其中N是歸一化常數(shù)，故計算得

p（a）=（1+τ2w20）Nw20m2Da·exp12a2（1+τ2w20）w20mDεwα-10sinπα2-c。（10）

令x（t）=u，x·（t）=v，由式（4）得a2=u2+（1/w0）v2，將a2代入式（10）得到該分?jǐn)?shù)階機械系統(tǒng)的聯(lián)合概率密度函數(shù)p（u，v）。下面依據(jù)平穩(wěn)概率密度函數(shù)和聯(lián)合概率密度函數(shù)分析其色噪聲激勵下的分?jǐn)?shù)階機械系統(tǒng)的分岔現(xiàn)象。

由系統(tǒng)（1）是無量綱的，令w0=0.5，c=0.5，ε=0.03，m=1，N=1。通過分?jǐn)?shù)階α、噪聲強度D和關(guān)聯(lián)系數(shù)τ的取值來分析色噪聲的影響。首先固定D=0.20和τ=0.1，觀察α在不同取值下的影響，如圖1（a）所示；其次固定α=0.1和τ=0.1，取D=0.20和D=0.25，觀察D在不同取值下的影響，如圖1（b）所示；再固定D=0.2和α=0.1，取τ=0.1和τ=0.5，觀察τ在不同取值下的影響，如圖1（c）所示；最后分析D和τ不同取值下聯(lián)合概率密度的變化，如圖2所示。

通過圖1可以發(fā)現(xiàn)含有分?jǐn)?shù)階的機械系統(tǒng)在色噪聲激勵下會使得平穩(wěn)概率密度函數(shù)的峰值增大，但隨著噪聲強度D和關(guān)聯(lián)時間τ的增大，平穩(wěn)概率密度函數(shù)的峰值減小，即達到穩(wěn)定的概率減小。綜合圖2，觀察到隨著噪聲強度D和關(guān)聯(lián)時間τ的增大，聯(lián)合概率密度函數(shù)的峰型由單峰變成了雙峰，即發(fā)生了隨機P分岔。

4" 結(jié)語

本文研究了基于無量綱化的機械系統(tǒng)含有分?jǐn)?shù)階情況下色噪聲的激勵響應(yīng)。主要通過對由Caputo定義的分?jǐn)?shù)階進行微分近似變換，從而依據(jù)隨機平均法得到控制系統(tǒng)響應(yīng)的FPK方程，通過FPK方程的平穩(wěn)概率密度函數(shù)和聯(lián)合概率密度函數(shù)分析在參數(shù)α、D和τ的取值下系統(tǒng)的響應(yīng)。通過作圖發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階下系統(tǒng)達到穩(wěn)定的概率增大，而噪聲強度D和關(guān)聯(lián)時間τ的增大會使得系統(tǒng)達到穩(wěn)定的概率減小，另外噪聲強度D和關(guān)聯(lián)時間τ的增大會引起聯(lián)合概率密度函數(shù)出現(xiàn)火山口，即發(fā)生了隨機P分岔。

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［責(zé)任編輯：謝 平］

Response analysis of a fractional order mechanical system under color noise excitation

LIANG Xiangling

School of Mathematics and Statistics， Kashi University， Kashi 844000， China

Abstract：" The response of dimensionless mechanical systems containing fractional orders excited by color noise is studied. Firstly， based on the mechanical system containing fractional order， the color noise is introduced and differential approximate transformation of the fractional order defined by Caputo is performed using the Gamma function and its properties. Secondly， the stochastic averaging method is borrowed to reduce the dimensionality of the system， so that the FPK equation of the control system response is obtained. Finally， the effect of color noise on the response of the fractional order mechanical system is analyzed based on the smooth solution of the FPK equation. The results show that the probability of the system reaching stability increases at fractional order， while the increase of the noise intensity D and the correlation time τ makes the probability of the system reaching stability decrease， and in addition the increase of the noise intensity D and the correlation time τ induces the stochastic P-branching.

Key words：" color noise; fractional order approximation; stochastic averaging; stochastic P-branching