基于sigmoid-sinh分段函數(shù)的改進(jìn)FxGMCC算法

摘" 要： 為了解決濾波-x廣義最大熵準(zhǔn)則（FxGMCC）算法在處理噪聲主動(dòng)控制時(shí)存在快速收斂和低穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾，分別采用sigmoid函數(shù)和sinh函數(shù)，提出了基于sigmoid函數(shù)的變步長FxGMCC（SFxGMCC）算法和基于sinh函數(shù)的變步長FxGMCC（ShFxGMCC）算法。然后，通過分析SFxGMCC算法和ShFxGMCC算法變步長性能，提出了一種基于sigmoid-sinh分段函數(shù)的SSFxGMCC算法。為了驗(yàn)證SSFxGMCC算法性能，分別采用alpha穩(wěn)定分布噪聲和混合噪聲作為輸入信號(hào)，對(duì)SSFxGMCC算法與FxGMCC算法、SFxGMCC算法與ShFxGMCC算法進(jìn)行性能仿真實(shí)驗(yàn)。結(jié)果表明，與FxGMCC算法相比，采用SSFxGMCC算法在應(yīng)對(duì)alpha穩(wěn)定分布噪聲和混合噪聲時(shí)，在收斂速度得到提升的前提下，平均降噪量分別提升了16.5%和17.4%。由此可知，SSFxGMCC算法有效解決了FxGMCC算法在應(yīng)對(duì)噪聲主動(dòng)控制時(shí)快速收斂和低穩(wěn)態(tài)誤差無法同時(shí)滿足的問題。

關(guān)鍵詞： 噪聲主動(dòng)控制；FxGMCC算法；自適應(yīng)變步長；廣義最大相關(guān)熵；脈沖噪聲

中圖分類號(hào)： TB535

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A" 文章編號(hào)： 2096-3998（2024）05-0054-07

收稿日期：2023-11-09" 修回日期：2024-01-17

*通信作者：崔立堃（1976—），男，內(nèi)蒙古武川人，博士，副教授，主要研究方向?yàn)樵肼曋鲃?dòng)控制。

引用格式：胡雪巖，崔立堃，梅藝林.基于sigmoid-sinh分段函數(shù)的改進(jìn)FxGMCC算法.陜西理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2024，40（5）：54-60.

工業(yè)現(xiàn)代化產(chǎn)生了多種復(fù)雜噪聲，包括城市道路噪聲、工業(yè)生產(chǎn)噪聲、建筑工地噪聲、居民區(qū)噪聲等。過大的噪聲會(huì)降低勞動(dòng)生產(chǎn)率，甚至危害人體健康。近年來，主動(dòng)噪聲控制（ANC）成為降噪研究的熱點(diǎn)。濾波-x LMS（Filter-x Least Mean Square，F(xiàn)xLMS）算法作為一種杰出的自適應(yīng)算法，以其計(jì)算成本低、結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點(diǎn)在高斯環(huán)境中得到了廣泛應(yīng)用。然而，現(xiàn)有算法主要是應(yīng)對(duì)高斯噪聲，其處理遠(yuǎn)程會(huì)議電話等許多應(yīng)用場景中由于廣泛存在能量高、隨機(jī)性強(qiáng)、持續(xù)時(shí)間短的非高斯噪聲導(dǎo)致算法的性能不是很理想。為此，1995年，Leahy等提出了一種新的基于分?jǐn)?shù)階矩plt;2最小化的濾波-x LMP（Filtered-x Least Mean p-norm，F(xiàn)xLMP）算法，不過該算法涉及到指數(shù)運(yùn)算，并且需要事先得知涉及噪聲的先驗(yàn)知識(shí)才能夠設(shè)置對(duì)應(yīng)的參數(shù)。2020年，朱瑩瑩等提出了一種濾波-x廣義最大熵準(zhǔn)則（filtered-x generalized maximum correntropy criterion，F(xiàn)xGMCC）算法，基于最大熵準(zhǔn)則（MCC），以廣義高斯密度（GGD）函數(shù)為核。2022年，閆明提出了改進(jìn)的最大混合相關(guān)熵（Improved FxMMCC，IFxMMCC）算法，結(jié)合了最大混合相關(guān)熵和與p范數(shù)的優(yōu)點(diǎn)。但FxGMCC算法在應(yīng)對(duì)噪聲主動(dòng)控制時(shí)存在快速收斂和低穩(wěn)態(tài)誤差無法同時(shí)滿足的問題。為此，本文分別基于sigmoid函數(shù)和sinh函數(shù)提出了SFxGMCC算法和ShFxGMCC算法，結(jié)合SFxGMCC和ShFxGMCC算法，給出了一種基于sigmoid-sinh分段函數(shù)的改進(jìn)FxGMCC算法，用以解決FxGMCC算法在應(yīng)對(duì)噪聲主動(dòng)控制時(shí)快速收斂和低穩(wěn)態(tài)誤差無法同時(shí)滿足的問題。

1" FxGMCC算法

FxGMCC算法結(jié)構(gòu)圖如圖1所示，其中P（z）是噪聲源至誤差傳感器的初級(jí)通道傳遞函數(shù)，S（z）是揚(yáng)聲器至誤差傳感器的次級(jí)通道傳遞函數(shù)，S′（z）是對(duì)于S（z）的估計(jì)值。

系統(tǒng)輸入信號(hào)x（n）和自適應(yīng)濾波器的權(quán)系數(shù)w（n）表示為

x（n）=T，

w（n）=T，

式中，L為濾波器的長度。誤差信號(hào)

e（n）=d（n）-y′（n）=d（n）-y（n）*s（n），

式中，系統(tǒng)初級(jí)噪聲d（n）=x（n）*p（n），次級(jí)噪聲y′（n）=y（n）*s（n），*表示卷積運(yùn)算，控制器輸出信號(hào)

y（n）=wTx（n）。

廣義高斯核是采用廣義高斯密度（GGD）的函數(shù)，定義

κGMCC=α2βΓ（1/β）exp-X-Yβα，

式中，α、β分別描述指數(shù)衰減率和分布的離散度，Γ（·）表示函數(shù)Γ（·）=∫+∞0xc-1e-xdx，cgt;0。

為了便于處理，將廣義核歸一化為

κGMCC（X-Y）=λαexp（-ηX-Yα），

式中，λα=α2βΓ（1/α），η=1/βα作為上式中的核寬參數(shù)。

因此，X與Y之間的廣義熵表示為

G（X，Y）=∫λαexp（-ηXYα）dFXY（x，y）。

假設(shè)有限樣本為{（xi，yi）}Mi=1，則X和Y的廣義熵可近似為

V^GMCC（X，Y）≈1MMi=1λα，βexp（-ηx（i）-y（i）α）。

將上式中的項(xiàng)Mi=1（·），近似為當(dāng)前值（M=1），則FxGMCC算法的代價(jià)函數(shù)為

JFxGMCC=λα，βexp（-ηe（n）α）。

采用梯度下降法，得到FxGMCC算法的權(quán)值更新規(guī)則為

w（n+1）=w（n）+μgexp（-ηe（n）α）sign（e（n））e（n）α-1x′（n），

式中，μg=μλα，βαη，x′（n）=x（n）*s（n），sign（·）表示符號(hào)函數(shù)。

2" SSFxGMCC算法

2.1" SSFxGMCC算法設(shè)計(jì)

在FxGMCC算法中，增大算法的步長可以實(shí)現(xiàn)快速收斂，不過會(huì)使得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差變差；相應(yīng)的步長取小可以實(shí)現(xiàn)良好的穩(wěn)態(tài)誤差，但會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的收斂速度變慢。傳統(tǒng)的FxGMCC算法由于采取定步長，這就造成了快速收斂和低穩(wěn)態(tài)誤差無法同時(shí)滿足的問題。針對(duì)于這一問題，本文給出了變步長FxGMCC算法來應(yīng)對(duì)快速收斂和低穩(wěn)態(tài)誤差無法同時(shí)滿足的問題。變步長FxGMCC算法的關(guān)鍵是給出可行的步長和誤差之間的計(jì)算公式，使得步長跟隨誤差的變化不斷更新，在初始迭代時(shí)，由于誤差值較大，使得步長值也較高，實(shí)現(xiàn)了算法快速收斂的目的。伴隨著算法的不斷迭代，誤差值逐漸減小，步長值隨之降低，實(shí)現(xiàn)了低穩(wěn)態(tài)誤差的目的。變步長FxGMCC算法的權(quán)系數(shù)迭代公式為

w（n+1）=w（n）+μg（n）exp（-ηe（n）α）sign（e（n））e（n）α-1x′（n）。

本文提出的SFxGMCC算法應(yīng)用sigmoid函數(shù)來更新步長的數(shù)值，計(jì)算公式如下：

μg（n）=β11-e-α1|e（n）|21+e-α1|e（n）|2，

式中，α1是調(diào)節(jié)曲線形狀的參數(shù)，β1是決定步長最大值的參數(shù)。

取β1=1，通過改變?chǔ)?的取值，得到SFxGMCC中步長隨著誤差變化曲線，如圖2所示。從圖中可以看到，當(dāng)α1取值較大時(shí)，即使在誤差值較低時(shí)，步長也會(huì)取得較大值，最終導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)誤差值較大；當(dāng)α1取值較小時(shí)，即使在誤差值較高時(shí)，步長會(huì)取得較小值，最終導(dǎo)致算法的收斂速度降低。由上述可知，SFxGMCC算法的優(yōu)點(diǎn)是其收斂速度較快，但不足之處在于穩(wěn)態(tài)誤差高。

本文提出的ShFxGMCC算法通過雙曲正弦函數(shù)更新步長的大小，其步長的計(jì)算公式為

μg（n）=β2eα2e（n）-e-α2e（n）2，

式中，α2、β2為曲線的形狀調(diào)節(jié)參數(shù)。

通過固定β2的值，改變?chǔ)?的取值，得到ShFxGMCC中步長隨誤差變化曲線，如圖3所示。從圖中可知步長的取值對(duì)于誤差值的變化不敏感，無論誤差的大小如何變化，步長的取值都很低。因此，ShFxGMCC算法的優(yōu)點(diǎn)是穩(wěn)態(tài)誤差低，不過其收斂速度較慢。

通過結(jié)合SFxGMCC和ShFxGMCC算法，給出了SSFxGMCC算法，其步長的計(jì)算公式為

μg（n）=

β31-e-α3|e（n）|21+e-α3|e（n）|2，""" |e（n）|≥b，

β4eα4|e（n）|-e-α4|e（n）|2，|e（n）|lt;b，

式中，α3、α4、β3、β4是曲線的形狀調(diào)節(jié)參數(shù);b的作用是決定算法的選取，是步長計(jì)算公式進(jìn)行改變的前提條件。在其他取值不變的前提下，b的取值越大，算法的收斂速度相對(duì)較慢，但穩(wěn)定誤差相對(duì)較低；反之，則算法的收斂速度相對(duì)較快，但穩(wěn)定誤差相對(duì)較高。算法初始迭代時(shí)，由于誤差值較大，因此選用SFxGMCC算法實(shí)現(xiàn)算法快速收斂的目的；隨著算法的不斷迭代，誤差值逐漸減小，選用ShFxGMCC算法實(shí)現(xiàn)算法低穩(wěn)態(tài)誤差的目的。

2.2" 計(jì)算復(fù)雜度分析

計(jì)算復(fù)雜度是衡量噪聲主動(dòng)控制算法性能的一項(xiàng)重要指標(biāo)，如果算法的計(jì)算復(fù)雜度過高，將會(huì)導(dǎo)致ANC的應(yīng)用成本過大。計(jì)算復(fù)雜度主要包含加減、乘除、指數(shù)等運(yùn)算。假設(shè)自適應(yīng)濾波器的長度為L，次級(jí)通道和估計(jì)的次級(jí)通道長度都為N，對(duì)本文所提出的SSFxGMCC算法與FxGMCC算法、SFxGMCC算法、ShFxGMCC算法進(jìn)行對(duì)比，得到4種算法迭代1次的計(jì)算復(fù)雜度，見表1。

由表1可以看出，在進(jìn)行一次迭代過程中，本文提出的SFxGMCC算法和FxGMCC算法相比增加了4次乘除運(yùn)算、2次加減運(yùn)算和2次指數(shù)運(yùn)算，ShFxGMCC算法和FxGMCC算法相比增加了4次乘除運(yùn)算、1次加減運(yùn)算和2次指數(shù)運(yùn)算。結(jié)合SFxGMCC和ShFxGMCC算法的SSFxGMCC算法，與SFxGMCC和ShFxGMCC算法相比增加了1次比較運(yùn)算。

3" 仿真分析

為了驗(yàn)證本文提出的SSFxGMCC算法性能，將SSFxGMCC算法與FxGMCC算法、IFxMMCC算法和本文提出的SFxGMCC算法以及ShFxGMCC算法，用alpha穩(wěn)定分布噪聲和混合噪聲兩種噪聲源來進(jìn)行性能比較。

文獻(xiàn)提出的IFxMMCC算法的權(quán)向量更新公式為

w（n+1）=w（n）+μηpe（n）p-12exp--e（n）p2σ21+

（1-η）exp--e（n）p2σ22pe（n）p-12〗x′（n）sign（e（n）），

式中，η是混合參數(shù)，σ1、σ2為核寬，p為范數(shù)。

在仿真分析中，初級(jí)通道P（z）和次級(jí)通道S（z）的設(shè)置為

P（z）=z-4-0.3+0.2z-6，

S（z）=

0.172 5+0.756 8z-1+1.554 5z-2-1.437 1z-3+0.158 4z-4-

0.283 3z-5+0.243 4z-6-0.450 5z-7+0.190 5z-8-0.296 4z-9+

0.245 5z-10-0.080 3z-11+0.313 5z-12+0.146 4z-13+0.085 5z-14+

0.059 5z-15+0.132 3z-16-0.045 9z-17+0.050 7z-18-0.080 4z-19。

假設(shè)自適應(yīng)濾波器W（z）的長度L=10，其中算法的采樣次數(shù)為10 000次，所有的算法仿真曲線圖都是獨(dú)立運(yùn)行160次后平均得到的。本文引入平均噪聲衰減量（Averaged Noise Reduction，ANR）對(duì)算法的收斂性能進(jìn)行對(duì)比，其表達(dá)式為

ANR=20lgAe（n）Ad（n），

Ae（n）=λAe（n-1）+（1-λ）e（n），" Ae（0）=0，

Ad（n）=λAd（n-1）+（1-λ）d（n），" Ad（0）=0，

式中，λ為遺忘因子，本文取λ=0.99。

在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中都存在非高斯噪聲，其顯著特點(diǎn)是隨機(jī)性、脈沖性以及重尾特性。本文通過標(biāo)準(zhǔn)對(duì)稱alpha穩(wěn)定（symmetric α-stable，SαS）分布模擬非高斯噪聲，其特征函數(shù)為

φ（t）=exp（-tα）。

圖4為不同α取值下的SαS分布概率密度函數(shù)圖。從圖中可以看出，α值越小，對(duì)應(yīng)分布具有越重的拖尾，脈沖特性越顯著。隨著α值不斷增大，分布的拖尾也變得越輕，脈沖特性也越弱。

3.1" alpha穩(wěn)定分布噪聲實(shí)驗(yàn)

分別取α=1.4和α=1.8的alpha穩(wěn)定分布噪聲，對(duì)于本文提出的SSFxGMCC算法性能進(jìn)行驗(yàn)證。α=1.4和α=1.8的alpha穩(wěn)定分布噪聲如圖5所示。

在仿真實(shí)驗(yàn)中，F(xiàn)xGMCC算法步長取0.005，其余4種算法在仿真實(shí)驗(yàn)中的參數(shù)設(shè)置見表2。

不同算法在α=1.4的alpha穩(wěn)定分布噪聲的條件下的降噪性能對(duì)比如圖6（a）所示，可以看出：首先，F(xiàn)xGMCC、SFxGMCC、IFxMMCC、ShFxGMCC、SSFxGMCC算法的平均降噪值分別為-8.366 2、-9.189 2、-9.403 2、-9.685 0、-9.744 9 dB，SFxGMCC、IFxMMCC、ShFxGMCC、SSFxGMCC算法與FxGMCC算法相比分別提升了9.8%、12.3%、15.7%、16.5%；其次，本文提出的SSFxGMCC算法，在處理α=1.4的alpha穩(wěn)定分布噪聲的過程中，初始迭代階段，由于誤差較大，使用收斂速度快的SFxGMCC算法，當(dāng)算法將要收斂時(shí)，由于誤差值的降低，使用穩(wěn)態(tài)誤差更小的ShFxGMCC，解決FxGMCC算法在噪聲主動(dòng)控制時(shí)存在快速收斂和低穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾；最后，雖然FxGMCC算法在第1 200次左右達(dá)到收斂，其余算法在第1 800次左右收斂，但是以SSFxGMCC算法為例，其提升了16.5%。

不同算法在α=1.8的alpha穩(wěn)定分布噪聲的條件下的降噪性能對(duì)比如圖6（b）所示，可以看出：首先，F(xiàn)xGMCC、SFxGMCC、IFxMMCC、ShFxGMCC、SSFxGMCC算法的平均降噪值分別為-12.188 0、-12.599 2、-12.659 0、-12.727 8、-12.865 2 dB，SFxGMCC、IFxMMCC、ShFxGMCC和SSFxGMCC算法與FxGMCC算法相比分別提升了3.4%、3.9%、4.4%和5.6%；其次，本文提出的SSFxGMCC算法在處理α=1.8的alpha穩(wěn)定分布噪聲的過程中，由于初始迭代階段誤差較大，使用收斂速度快的SFxGMCC算法，當(dāng)算法將要收斂時(shí)，由于誤差值的降低，使用穩(wěn)態(tài)誤差更小的ShFxGMCC，解決FxGMCC算法在噪聲主動(dòng)控制時(shí)存在快速收斂和低穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾；最后，F(xiàn)xGMCC、SFxGMCC、IFxMMCC和SSFxGMCC算法都在迭代1 400次左右收斂，而ShFxGMCC算法在迭代3 000次左右收斂。

3.2" 混合噪聲實(shí)驗(yàn)

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)SSFxGMCC算法降噪的性能，本實(shí)驗(yàn)的輸入信號(hào)采用文獻(xiàn)中的混合噪聲：

x（n）=2sin（2π×n×5008 000）+v（n），

式中，v（n）是alpha穩(wěn)定分布噪聲，α取1.6。

不同算法在α=1.6時(shí)的降噪性能如圖6（c）所示，可以看出：首先，F(xiàn)xGMCC、IFxMMCC、SFxGMCC、ShFxGMCC和SSFxGMCC算法的平均降噪值分別為-18.070 9、-20.530 5、-20.790 7、-21.155 7、-21.224 3 dB，IFxMMCC、SFxGMCC、ShFxGMCC和SSFxGMCC算法與FxGMCC算法相比分別提升了13.6%、15.1%、17.1%和17.4%；其次，本文提出的SSFxGMCC算法，在處理混合噪聲的過程中，由于初始迭代階段誤差較大，使用收斂速度快的SFxGMCC算法，當(dāng)算法將要收斂時(shí)，由于誤差值的降低，使用穩(wěn)態(tài)誤差更小的ShFxGMCC，解決FxGMCC算法在噪聲主動(dòng)控制時(shí)存在快速收斂和低穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾。最后，F(xiàn)xGMCC、SFxGMCC、IFxMMCC、ShFxGMCC和SSFxGMCC算法都在迭代1 200次左右收斂。

4" 結(jié)論

針對(duì)FxGMCC算法在處理噪聲主動(dòng)控制時(shí)快速收斂和低穩(wěn)態(tài)誤差無法同時(shí)滿足的問題，給出了一種SSFxGMCC算法。為了驗(yàn)證本文提出的SSFxGMCC算法性能，將SSFxGMCC算法與FxGMCC算法和本文提出SFxGMCC算法以及ShFxGMCC算法，分別用alpha穩(wěn)定分布噪聲和混合噪聲兩種噪聲源進(jìn)行性能仿真比較。結(jié)果表明：在alpha穩(wěn)定分布噪聲和混合噪聲兩種噪聲源的主動(dòng)控制中，與FxGMCC以及IFxMMCC算法相比，采用SSFxGMCC算法在收斂速度得到提升的前提下，平均降噪量也分別提升了16.5%和17.4%。由此可知，SSFxGMCC算法有效解決了FxGMCC算法在應(yīng)對(duì)噪聲主動(dòng)控制時(shí)快速收斂和低穩(wěn)態(tài)誤差無法同時(shí)滿足的問題。

［" 參" 考" 文" 獻(xiàn)" ］

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［責(zé)任編輯：李 莉］

Improved FxGMCC algorithm based on the sigmoid-sinh segmentation function

HU Xueyan，" CUI Likun，" MEI Yilin

School of Mechanical Engineering， Shaanxi University of Technology， Hanzhong 723000， China

Abstract：" To resolve the conflict between fast convergence and low steady state error of the filter-x generalised maximum entropy criterion （FxGMCC） algorithm in dealing with noisy active control， a varied step-size FxGMCC algorithm based on the sigmoid function （SFxGMCC） and a varied step-size FxGMCC algorithm based on the sinh function were respectively presented by using the sigmoid function and the sinh function （ShFxGMCC）. Then a sigmoid-sinh segmented function SSFxGMCC algorithm is proposed by analysing the variable step size property of SFxGMCC algorithm and ShFxGMCC algorithm. In order to verify the property of the SSFxGMCC algorithm， the property simulation tests of the SSFxGMCC algorithm with the FxGMCC algorithm and the SFxGMCC algorithm with the ShFxGMCC algorithm are carried out by using the alpha-stable distribution noise and the mixed noise as the input signals， respectively. The outcomes reveal that， in contrast to the FxGMCC algorithm， using the SSFxGMCC algorithm in dealing with the alpha stable distribution noise and the mixed noise， the average noise reduction is improved by 16.5% and 17.4%， respectively， on the premise that the convergence speed has been enhanced. It can be seen that the SSFxGMCC algorithm effectively solves the problem that fast converse and low steady state error cannot be satisfied simultaneously by the FxGMCC algorithm when dealing with noise active control.

Key words：" active noise control; FxGMCC algorithm; adaptive variable step size; generalized maximum correlation entropy; impulse noise