基于誤差補償?shù)腞V減速器擺線齒廓二次共軛修形方法

杜雪松，劉思奇，李昌斌，魏沛堂，宋海藍

(重慶大學(xué) 高端裝備機械傳動全國重點實驗室，重慶，400044)

RV(rotate vector)減速器具有體積小、傳動比大、精度高、剛度高等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于航空航天、工業(yè)機器人等領(lǐng)域[1-4]。作為RV減速器的核心組件，擺線針輪傳動對整機的傳動精度、傳動效率和承載能力有重大影響。為了便于裝配和潤滑，需對RV 減速器中的擺線輪齒廓進行修形[5-7]?，F(xiàn)有的擺線輪修形方法(理論修形方法)中，修形量在設(shè)計階段進行確定，但在工程實踐中發(fā)現(xiàn)，零部件的不同誤差組合可能導(dǎo)致裝配干涉或側(cè)隙過大，在批量化生產(chǎn)中進行分組裝配時，理論修形方法無法提供有效的分組依據(jù)，因此，對于考慮加工誤差及其組合的擺線輪齒廓修形方法的研究具有重要的理論和工程應(yīng)用價值。

目前，國內(nèi)學(xué)者針對擺線齒廓修形問題進行了大量研究，而國外文獻較少。李力行等[8-9]建立了包含等距、移距和轉(zhuǎn)角修形的通用擺線齒廓方程，并提出了最佳修形量的計算公式；秦爭爭等[10]考慮擺線輪彈性變形的影響，提出了一種可以補償擺線輪彈性變形的擺線輪齒廓修形方法；何衛(wèi)東等[11]提出了負等距加負移距的擺線輪修形方法，并通過逼近轉(zhuǎn)角修形齒廓建立起優(yōu)化模型；陸龍生等[12-13]針對擺線針輪回差優(yōu)化問題，提出一種可以補償擺線針齒間彈性變形的修形方法，并針對承載優(yōu)化問題，提出一種新型等距加移距組合修形方法；劉亭亭等[14]提出了一種用擺線齒廓修形補償零部件尺寸偏差，以回差最小為優(yōu)化目標的擺線齒廓修形方法，研究了尺寸偏差對機構(gòu)回差的影響規(guī)律，但未給出修形量的確定方法；REN 等[15]提出了一種將擺線齒廓分為多段、每段修形量根據(jù)具體的嚙合要求來確定的反向修形方法；趙博等[16]提出了一種拋物線修形方法，與傳統(tǒng)修形方法相比，修形后的齒廓更加逼近共軛齒廓，在此基礎(chǔ)上，柯慶勛等[17]提出一種二階對數(shù)修形方法；李晉凡等[18]基于擺線輪齒廓壓力角分布規(guī)律，提出一種直線修形方法。以上修形方法雖有一定理論創(chuàng)新，但設(shè)計的擺線輪難以加工和測量。

綜上所述，以上方法均未考慮零件加工誤差的影響，為此，本文作者提出一種可以補償加工誤差的二次共軛修形方法，首先建立了一種誤差補償模型，將零件加工誤差通過等距或移距修形量進行等效替換，進而確定一次修形量，得到理論零側(cè)隙擺線齒廓，然后以給定的徑向間隙、回差作為約束條件，通過建立的共軛齒廓優(yōu)化模型確定二次修形量，得到共軛擺線齒廓。該方法可在零件誤差組合條件下對加工誤差進行有效補償，從而滿足設(shè)計要求。

1 影響RV 減速器傳動精度的主要誤差

RV 減速器由兩級行星齒輪傳動機構(gòu)組成(圖1)，第一級為漸開線齒輪行星傳動機構(gòu)，第二級為擺線針輪行星齒輪傳動機構(gòu)。漸開線行星傳動部分包括輸入齒輪軸和行星輪；擺線針輪傳動部分包括曲柄軸、擺線輪、針齒、針齒殼、行星架、法蘭盤等。

圖1 RV減速器傳動原理圖Fig.1 Principle diagram of RV reducer transmission

現(xiàn)有文獻研究結(jié)果表明[12,19-20]，第二級擺線針輪傳動相比第一級漸開線行星傳動對整機傳動精度的影響大得多，擺線針輪傳動各誤差敏感性指數(shù)如圖2所示。從圖2可以看出：針齒殼中心圓半徑誤差、針齒半徑誤差、針齒銷孔圓周位置度誤差對RV減速器的傳動誤差影響較大?，F(xiàn)有的加工技術(shù)可以較好地控制擺線輪周節(jié)累計誤差、等距修形誤差和移距修形誤差[19]，故本文主要針對針齒殼中心圓半徑誤差、針齒半徑誤差、針齒銷孔圓周位置度誤差的補償展開研究。

圖2 擺線針輪傳動各誤差敏感性指數(shù)Fig. 2 Error sensitivity indices of cycloid pin wheel drive

2 基于誤差補償?shù)臄[線齒廓二次共軛修形方法

2.1 誤差補償模型及一次修形量確定

2.1.1 對針齒半徑誤差δrrp的補償

針齒半徑誤差補償原理如圖3 所示，圖中，op、oc分別為針輪和擺線輪的中心點，rp為針齒殼中心圓半徑，a為曲柄軸偏心距。當針齒半徑rrp存在正偏差時，針齒與擺線輪之間會產(chǎn)生干涉，為消除干涉且實現(xiàn)零側(cè)隙，擺線輪可采用正等距修形；同理，當針齒半徑rrp存在負偏差時，針齒與擺線輪之間會產(chǎn)生間隙，可對擺線輪進行負等距修形補償間隙。

2.1.2 對針齒殼中心圓半徑誤差δrp的補償

針齒殼中心圓半徑誤差補償原理如圖4 所示。當針齒殼中心圓半徑rp存在正偏差時，針齒與擺線輪之間會產(chǎn)生間隙，擺線輪可采用正移距修形補償間隙；同理，當針齒殼中心圓半徑rp存在負偏差時，可對擺線輪進行負移距修形消除干涉。

圖4 針齒殼中心圓半徑誤差補償原理Fig. 4 Error compensation principle of center circle radius of needle tooth shell

2.1.3 對針齒銷孔圓周位置度誤差δt的補償

針齒銷孔圓周位置度誤差補償原理如圖5 所示，當針齒銷孔圓周位置度誤差δt為正偏差時，針齒與擺線輪之間會產(chǎn)生干涉，擺線輪可采用正等距修形；同理，當針齒銷孔圓周位置度誤差δt為負偏差時，針齒與擺線輪之間會產(chǎn)生間隙，可對擺線輪進行負等距修形。

圖5 針齒銷孔圓周位置度誤差補償原理Fig. 5 Compensation principle of pinhole circumferential position error

2.1.4 一次修形量的確定

通過以上分析可以看出，各誤差可利用等距或移距修形方式進行補償。誤差補償量可以通過將誤差在擺線輪分布圓上引起的圓周側(cè)隙等效替換為相應(yīng)的等距和移距修形量來確定。各因素在分布圓上引起的圓周側(cè)隙如下[20]：

式中：jD、js、jrp、jt、jp分別為等距修形Δrrp、移距修形Δrp、針齒半徑誤差δrrp、針齒銷孔圓周位置度誤差δt、針齒殼中心圓半徑誤差δrp在擺線輪分布圓上引起的圓周側(cè)隙；k為擺線輪移距修形時的短幅系數(shù)，k=azp/(rp+Δrp)。

進行補償時，令jrp=jD，jt=jD，jp=js，便可求得單項誤差的補償修形量。表1給出了補償各單項誤差所采用的修形方式和補償修形量。

表1 單項誤差補償?shù)男扌畏绞胶脱a償修形量Table 1 Modification mode and compensation modification amount corresponding to single error compensation

在實際工程中，各誤差是組合出現(xiàn)的，擺線齒廓總補償修形量為各單項誤差補償修形量的代數(shù)和，由此可得一次修形的總修形量為：

式中：Δrrp1、Δrrp2、Δrp1分別為針齒半徑誤差δrrp、針齒銷孔圓周位置度誤差δt、針齒殼中心圓半徑誤差δrp的補償修形量。

在負載條件下，擺線輪與針齒間會產(chǎn)生彈性變形。為降低彈性變形的影響，需計算出擺線輪和針齒在接觸擠壓過程中的形變量函數(shù)δ(φ)，將其補償?shù)降染嗉右凭嘟M合修形擺線齒廓方程當中[12]。

式中：φ為針齒相對于轉(zhuǎn)臂的轉(zhuǎn)角；δmax為受力最大的擺線輪齒的彈性變形量。

將式(2)中得到的修形量(Δr′rp， Δr′p)和式(3)的形變量函數(shù)δ(φ)代入等距加移距組合修形擺線齒廓方程[8]，得到一次修形后的理論零側(cè)隙擺線齒廓方程為：

式中：iH為擺線輪與針輪的相對傳動比，iH=zp/zc；zp、zc分別為針輪和擺線輪的齒數(shù)；s=1+k2-2kcosφ。

2.2 擺線齒廓二次共軛修形量確定

通過一次修形得到的理論零側(cè)隙擺線齒廓僅具有理論意義，為了便于裝拆和潤滑，擺線輪齒根、齒頂處需留有徑向間隙Δr，必須對該齒廓進行二次修形。擺線輪轉(zhuǎn)角修形可以實現(xiàn)共軛嚙合，但無法在齒根、齒頂處形成徑向間隙，故二次修形仍采用等距加移距組合修形方法，通過逼近一次修形擺線齒廓嚙合工作段來確定二次修形量，進而得到共軛擺線齒廓，該齒廓既能滿足徑向間隙的要求，又可與針齒實現(xiàn)共軛傳動(圖6)。

圖6 二次共軛修形原理Fig. 6 Quadratic conjugate modification principle

在逼近理論零側(cè)隙擺線齒廓嚙合工作段的過程中，工作段上、下界限點的選擇可以從傳動角度出發(fā)，使得工作段內(nèi)壓力角均值最小，此時可求得理論零側(cè)隙擺線齒廓嚙合工作段兩界限點B′、C′對應(yīng)的針齒相對于轉(zhuǎn)臂的轉(zhuǎn)角分別為φb和φc[21]，兩界限點的X軸坐標值為xb和xc(圖7)，將此工作段在X軸方向上分為m等份，并代入式(4)得到B′C′段上的坐標點集為(x′zi，y′zi)(i=1，2，…，m)，給定一組等距加移距組合成二次修形量Δrr*p和Δrp*，可計算出B*C*段上的另一坐標點集為(x*zi，y*zi)(i=1，2，…，m)，兩個點集Y坐標差絕對值的均值為

圖7 二次修形擺線齒廓Fig. 7 Cycloid tooth profile of secondary modification

均值越小，表明兩者逼近程度越高。事實上，在有徑向間隙的情況下，若要保證二次修形后的齒廓光滑連續(xù)，則B′C′與B*C*段齒廓不會重合，在擺線輪分布圓處必然存在圓周側(cè)隙，必須根據(jù)回差的設(shè)計要求對圓周側(cè)隙加以約束，兩齒廓間的圓周側(cè)隙j的計算式為

式中：k1和k2分別為一次修形和二次修形擺線齒廓的短幅系數(shù)，k1=azp/(rp+Δr′p)，k2=azp/(rp+Δr*p)。

由圓周側(cè)隙j可計算出擺線針輪傳動的回差γ為

第二次修形后，擺線輪與針齒在齒根、齒頂處產(chǎn)生的徑向間隙Δr為

為滿足高精度設(shè)計要求，工程中通常約束等距修形量|Δr*rp|≤0.20 mm， 徑向間隙0 ＜Δr≤0.03 mm，回差精度γ≤1′。

綜上，建立的二次修形量優(yōu)化模型為：

用最小二乘法對式(9)進行迭代求解，可求出最佳二次修形量為Δr*rp和Δr*p。

3 實例分析

為驗證本文修形方法的正確性，以RV-80E 型減速器為樣機建立有限元仿真模型，樣機參數(shù)如表2所示，其中，修形量為不考慮誤差的理論修形量。后續(xù)將從傳動精度和嚙合性能兩方面對文中修形方法和理論修形方法進行對比分析。

表2 RV-80E型減速器擺線針輪設(shè)計參數(shù)Table 2 Design parameters of cycloid pin wheel of RV-80E reducer

3.1 有限元模型的建立及驗證

為了提高計算效率，在建立有限元分析模型時，僅考慮第二級擺線針輪傳動，包括擺線輪、曲柄軸、針齒殼和針齒等主要承載構(gòu)件。擺線輪和曲柄軸材料為20CrMnMo，彈性模量為211 GPa，泊松比為0.28；針齒殼和針齒材料為GCr15，彈性模量為219 GPa，泊松比為0.3。擺線輪與針齒、曲柄軸與擺線輪之間的接觸為摩擦接觸，摩擦因數(shù)為0.1；針齒與針輪的接觸為綁定接觸。針齒殼外圈施加固定約束；擺線輪3個軸承孔內(nèi)表面與擺線輪圓心OC建立耦合約束，只釋放耦合點繞Z軸的旋轉(zhuǎn)自由度和X軸、Y軸的平移自由度；曲柄軸外表面與針齒殼圓心OP建立耦合約束，只釋放耦合點繞Z軸的旋轉(zhuǎn)自由度。有限元模型如圖8所示。

圖8 有限元模型Fig. 8 Finite element model

分析時采用3 個載荷步進行加載：1) 給曲柄軸施加一個微小角位移，使擺線輪與針齒間接觸；2) 給單片擺線輪施加負載至額定轉(zhuǎn)矩226.6 N·m[22]；3) 給曲柄軸施加360°的角位移。為了提高計算精度，細化擺線針輪接觸區(qū)域的網(wǎng)格邊長為0.04 mm[23]，共計262 460個節(jié)點。

施加負載后，采用解析法[22]和有限元法計算的擺線輪接觸應(yīng)力分布如圖9 所示。從圖9 可見：二者結(jié)果趨勢相符，且最大接觸應(yīng)力都在同一個齒上，最大接觸應(yīng)力相對誤差在10%范圍內(nèi)[24]。

圖9 擺線輪接觸應(yīng)力分布Fig. 9 Contact stress distribution diagram of cycloid gear

在不同工作力矩(6.8、56.7、113.3、169.9、226.6 N·m)和載荷下，擺線針輪傳動誤差及其峰峰值計算結(jié)果如圖10 所示，可以看出：擺線針輪傳動誤差峰峰值與載荷呈線性正相關(guān)關(guān)系，與文獻[25]中的相同，表明了本文所建有限元模型的正確性。

3.2 本文修形方法驗證

針對樣機的誤差項設(shè)計正交實驗，根據(jù)表2的設(shè)計公差確定誤差范圍，每個誤差項選取3 個水平，誤差因素水平如表3所示。

表3 誤差因素水平表Table 3 Error factor level tablemm

選取L9(34)正交表安排試驗，正交試驗方案如表4 所示，建立了9 組試驗?zāi)Ｐ秃? 組無誤差對比模型(模型10)，并給出了每組模型對應(yīng)的二次修形量。其中，模型2、4、5只包含單項誤差，其他模型為多項誤差組合。在模型1、4、5、7 的誤差條件下，理論修形方法會使擺線齒廓產(chǎn)生干涉，故無計算結(jié)果。

表4 正交實驗方案Table 4 Orthogonal experiment scheme

3.2.1 單項誤差模型計算結(jié)果分析

圖11 所示為模型2、4、5 經(jīng)本文修形方法得到的共軛擺線齒廓。從圖11 可見：在模型2 的誤差條件下，針輪和理論修形齒廓產(chǎn)生了過大間隙；在模型4、5 的誤差條件下，針輪和理論修形齒廓發(fā)生了干涉。

圖11 模型2、4、5共軛擺線齒廓Fig. 11 Tooth profiles of models 2, 4 and 5 conjugate cycloids

圖12 所示為模型2、4、5 誤差補償后的擺線輪接觸應(yīng)力和傳動誤差。從圖12 可見：在單項誤差條件下，本文修形方法可使擺線輪最大接觸應(yīng)力、傳動誤差及其峰峰值接近于無誤差模型狀態(tài)，而模型2的針齒半徑誤差經(jīng)補償后的傳動誤差比模型10 的小，其原因是針齒半徑減小，二次修形后擺線輪增大[22]。說明本文修形方法可以對單項誤差進行較好補償。

圖12 模型2、4、5擺線輪接觸應(yīng)力分布和傳動誤差Fig. 12 Contact stress distribution of cycloid wheel and transmission errors in models 2, 4 and 5

3.2.2 組合誤差模型計算結(jié)果分析

以模型3為例進行分析。圖13所示為模型3誤差補償前后的擺線齒廓圖。從圖13 可見：在保證齒頂及齒根徑向間隙的前提下，本文修形方法既能在齒廓工作段逼近理論零側(cè)隙擺線齒廓滿足共軛關(guān)系，又有一定的嚙合側(cè)隙，便于裝拆與潤滑。

圖13 模型3擺線齒廓Fig.13 Cycloid tooth profiles of model 3

圖14 所示為模型3 誤差補償前后的擺線輪接觸應(yīng)力和傳動誤差。從圖14 可見：誤差補償后，擺線輪最大接觸應(yīng)力、傳動誤差最大值及峰峰值都有所降低，說明本文修形方法在組合誤差條件下既可以提高傳動精度，也可有效改善齒面受力。

圖14 模型3擺線輪接觸應(yīng)力分布和傳動誤差Fig. 14 Contact stress distribution of cycloid wheel and transmission errors in model 3

表5所示為各誤差模型下理論修形方法和文中修形方法得到的傳動誤差和接觸應(yīng)力計算結(jié)果對比。從表5可以看出，現(xiàn)有的理論修形方法對零件加工誤差的補償能力有限(模型1、4、5及7均出現(xiàn)裝配干涉)，相比于理論修形方法，本文所提出的二次共軛修形方法在零件組合誤差條件下均實現(xiàn)了誤差補償，可使傳動誤差最大值平均降低32%，傳動誤差峰峰值平均降低26%，擺線輪最大接觸應(yīng)力平均降低11%，驗證了本文修形方法的正確性。

表5 正交試驗結(jié)果Table 5 Orthogonal test results

4 結(jié)論

1) 本文修形方法在零件單誤差及組合誤差條件下均可對加工誤差進行合理補償，得到的擺線齒廓既能保證在非工作段的齒根、齒頂處留有徑向間隙，又能在工作段實現(xiàn)擺線針輪共軛傳動，滿足回差精度要求。

2) 相比于理論修形方法，本文修形方法在保證傳動精度的條件下，可以改善齒面受力狀態(tài)，降低擺線輪最大接觸應(yīng)力。

3) 本文修形方法既可應(yīng)用于RV減速器設(shè)計階段，也可推廣到裝配階段，以達到降低成本的目的，具有重要的工程應(yīng)用價值。在RV減速器的設(shè)計階段，通過將難加工零件尺寸的制造公差合理放大，使其按照經(jīng)濟精度加工，然后根據(jù)各零件尺寸的公差帶，采用文中修形方法可確定擺線輪的修形量范圍。在分組裝配階段，測出加工后針齒殼、針齒等零件的誤差和擺線輪的實際修形量，將其各分為若干組，將不同組合的誤差數(shù)據(jù)代入本文模型，確定能進行誤差補償?shù)臄[線輪修形量范圍，為分組裝配提供理論依據(jù)。在單件小批量生產(chǎn)過程中，可將擺線輪修形量作為裝配尺寸鏈的修配環(huán)，將測量的針齒殼、針齒等零件的誤差作為組成環(huán)，利用本文模型可以計算滿足裝配精度要求的擺線輪修形量。