施托克豪森STUDIE II非平均律音階模型與聲音合成微探

史歷偉

摘 要：作為當(dāng)代著名的先鋒電子音樂(lè)作曲家，施托克豪森的創(chuàng)作觀念以及多元化的技術(shù)手段整合達(dá)到了新的維度。曲子《STUDIE II》以新的音階模型打破了對(duì)于傳統(tǒng)十二平均律聽(tīng)覺(jué)上的局限，并且嘗試在新的音階模型上對(duì)聲音合成達(dá)到邏輯化的音色重塑。無(wú)論是傳統(tǒng)的人工調(diào)式還是人工音階，都基于十二平均律，并結(jié)合了邏輯性和隨機(jī)性，而施托克豪森則在1954年模擬時(shí)代下，依靠有限的硬件設(shè)備計(jì)算出25律制，并且將其均等分，將其不同頻率下的正弦波以加法合成的形式進(jìn)行音色重塑，將其獨(dú)有的音階模型與聲音合成進(jìn)行多維度的融合，改變對(duì)固有的十二平均律聽(tīng)覺(jué)上的心理感受。

關(guān)鍵詞：施托克豪森；十二平均律；非平均律音階模型；聲音合成；練習(xí)曲二（STUDIE Ⅱ）

中圖分類(lèi)號(hào)：J614文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：2096-0905（2023）33-0-03

傳統(tǒng)的調(diào)式音階或是當(dāng)代人工調(diào)式、音階，都基于傳統(tǒng)的聽(tīng)覺(jué)十二平均律，作曲家在“調(diào)性”與“無(wú)調(diào)性”作品之間相互交錯(cuò)，他們?cè)趥鹘y(tǒng)的音階調(diào)式上做邏輯化的音高材料組織。早期勛伯格的無(wú)調(diào)性音樂(lè)研究走向十二音的體系，同樣梅西安的《我的音樂(lè)語(yǔ)言的技巧》中提出了有關(guān)人工調(diào)式概念的建立。再到后期德彪西、巴托克的對(duì)于人工調(diào)式的運(yùn)用，橫向?qū)τ谌斯ふ{(diào)式內(nèi)的音高動(dòng)機(jī)細(xì)胞的使用，縱向音高音程和聲構(gòu)建都與十二平均律密不可分。

而對(duì)于平均律的概念早在古希臘時(shí)期便被提出，但當(dāng)時(shí)并未合理地運(yùn)算出結(jié)果，而到我國(guó)明朝時(shí)期朱載育根據(jù)數(shù)學(xué)來(lái)定制十二平均律。而在文藝復(fù)興時(shí)期對(duì)于音準(zhǔn)的概念還未被真正定義，早期大量的鍵盤(pán)樂(lè)器、樂(lè)曲調(diào)式調(diào)性層見(jiàn)疊出，這就導(dǎo)致音樂(lè)作品之間音高體系的割裂，每一首作品每一件樂(lè)器好似一個(gè)單一的系統(tǒng)。針對(duì)這種情況才有了新的律制，同樣的旋律便可以用到其他的音高組織上，而之后的鋼琴鍵盤(pán)樂(lè)器的出現(xiàn)，便是平均律最好的展現(xiàn)形式。十二平均律貫穿了后續(xù)古典主義、浪漫主義以及當(dāng)代音樂(lè)，與我們現(xiàn)在的生活息息相關(guān)。這便于我們從聽(tīng)覺(jué)心理上對(duì)音高“準(zhǔn)”與“不準(zhǔn)”有了一個(gè)平衡判斷的標(biāo)準(zhǔn)。同樣，從縱向角度看，“和聲”是由不同音高在同一時(shí)刻有組織地同時(shí)發(fā)出，從而形成可辨識(shí)的音色，當(dāng)代電子音樂(lè)從聲音的本質(zhì)出發(fā)，一切皆以復(fù)合波中諧波和基波的組合而產(chǎn)生各種不同可能性的音色形態(tài)。

而作為二十世紀(jì)先鋒作曲家，施托克豪森在電子音樂(lè)的創(chuàng)作中展現(xiàn)了多元化的創(chuàng)作觀念和技術(shù)手段。從橫向的音高頻率組織到縱向“和聲化”的音色重塑，從傳統(tǒng)的視角到新維度平衡構(gòu)建，在其不同的創(chuàng)作時(shí)期融合了不同風(fēng)格，形成了新式思維的創(chuàng)作構(gòu)想。施托克豪森于1954年創(chuàng)作的《STUDIE II》，便能夠體現(xiàn)出音樂(lè)最基本的音高組織，音色構(gòu)建的新式維度思考。

一、十二平均律與非平均律

“十二平均律”指在一個(gè)八度之內(nèi)的等比音程頻率，均等分12份，每個(gè)音與音之間叫一個(gè)半音，簡(jiǎn)稱(chēng)“平均律”，同時(shí)也叫十二等比律制。此時(shí)的均等分12份，并不是作以除法計(jì)算，而以指數(shù)函數(shù)計(jì)算。在鍵盤(pán)樂(lè)器上十二平均律的應(yīng)用，每個(gè)八度的倍頻程為2∶1，所以兩個(gè)半音頻率比為，因此波長(zhǎng)比和音程比就有了以下的對(duì)照關(guān)系：

波長(zhǎng)比例為2：1時(shí)，頻率比為2∶1，此時(shí)呈現(xiàn)了八度的音程關(guān)系；

波長(zhǎng)比例為3∶2時(shí)，頻率比為3∶2，此時(shí)呈現(xiàn)純五度的音程關(guān)系；

（以小字一組a為例，頻率相差2Hz）

波長(zhǎng)比例為5∶4時(shí)，頻率比為5∶4，此時(shí)呈現(xiàn)大三度的音程關(guān)系。

（以小字一組a為例，頻率相差108Hz）

設(shè)想，對(duì)于十二平均律以兩個(gè)半音頻率比為來(lái)計(jì)算的話，被開(kāi)方數(shù)“2”作為每個(gè)倍頻程比例為2∶1，放在國(guó)際音高頻率對(duì)照表里，a1≈440HZ，那么a2≈880HZ；而“12”作為根指數(shù)意為在每個(gè)倍頻程2∶1的規(guī)則下平均分成12份，那么也就有我們十二平均律最為詳細(xì)的定義，在每個(gè)倍頻程里以2∶1的規(guī)則，被開(kāi)方12份；也就是每個(gè)八度之比為2∶1，一個(gè)八度里有12個(gè)半音。十二平均律被稱(chēng)以“平均律”，那從音高體系里均以“平均律”來(lái)運(yùn)算，即作為所有音高的奠定基礎(chǔ)，那么施托克豪森電子音樂(lè)作品《STUDIE II》中的“音高”定義皆“非平均律”來(lái)作為其音階模型，作為動(dòng)機(jī)細(xì)胞來(lái)發(fā)展。施托克豪森的作品對(duì)于“音高”的定義并非在我們傳統(tǒng)的平均律樂(lè)器里，而是采用了在20世紀(jì)純模擬時(shí)代下壓控振蕩器（VCO）來(lái)作為一個(gè)個(gè)的發(fā)音單元，與傳統(tǒng)的平均律樂(lè)器不同的是，該單元發(fā)聲器可以輸出任意頻率下的純音（正弦波）信號(hào)，而施托克豪森在這首樂(lè)曲中采用的非平均律音階模型，運(yùn)用81個(gè)正弦波，從100Hz到17200Hz不等，以作為每個(gè)正弦波之間的恒定比，相比平均律的每個(gè)音級(jí)恒定比差10%。

在這首樂(lè)曲中，施托克豪森將頻率四舍五入到最接近的整數(shù)，但是值得注意的是，直到第35號(hào)音在893Hz出現(xiàn)了一些差異，第35號(hào)音或許是作曲家唯一一個(gè)計(jì)算錯(cuò)誤或者是四舍五入到893Hz上面的，而并非到892Hz，同樣在70-72號(hào)音也有缺失，這就對(duì)于施托克豪森在計(jì)算非平均律數(shù)值上略有降低偏差（見(jiàn)表1）。

二、非平均律音階模型構(gòu)建

施托克豪森在計(jì)算得出100Hz—17200Hz下81個(gè)非平均律音高之后，他將81個(gè)音高進(jìn)行邏輯化的結(jié)構(gòu)重組，使用以“5”為單位的音高組織模型，將5個(gè)不同頻率的正弦波進(jìn)行重疊式組合，組建一個(gè)縱向和聲式的音階框架模型，采用了偏移算法將其一一構(gòu)建。

第一階音階模型施托克豪森使用的頻率范圍在100Hz到2200Hz之間，使用偏移算法，按照音階的順序，將五個(gè)頻率進(jìn)行分組，構(gòu)建模型，因此得到了九組包含五個(gè)正弦波的音階模型組合，分別以“100，107，114，121，129；138，147，157，167，178；190，203，217，231，246……”依次按照音高對(duì)照表構(gòu)建五音模型。在一類(lèi)音階模型里，一共記有45組，全曲共193組。

同樣按照第二類(lèi)音階模型，施托克豪森創(chuàng)建了一組新的音階順序，這一組通過(guò)逐一跳過(guò)非平均律音階的一個(gè)頻率，然后將這些跳過(guò)的頻率進(jìn)行偏移重組，因此在二類(lèi)的音階模型里，第一組也跳過(guò)了原非平均律里的107Hz與121Hz等，分別以“100，144，129，147，167；217，246，280，318；362，412，469，533，607……”依次類(lèi)推。所以，所得到的音階模型被不斷擴(kuò)充延展，一共記有45組，全曲共193組[1]。

在第三類(lèi)音階模型中，施托克豪森采用了逐一跳過(guò)兩個(gè)音級(jí)，進(jìn)一步擴(kuò)大了縱向音階模型的距離，同樣再次從100Hz開(kāi)始，第一個(gè)跳過(guò)的頻率融合在下一級(jí)音階模型中，同樣在這一類(lèi)的音階模型里，跳過(guò)了107Hz，114Hz，129Hz等，分別以“100，121，147，178，217；263，318，386，469，569；690，837，1015，1231，1401……”依此類(lèi)推。第三類(lèi)音階模型一共有45組，全曲共193組。

第四類(lèi)音階模型，施托克豪森繼續(xù)采用偏移算法，進(jìn)一步擴(kuò)大縱向音級(jí)距離，逐一跳過(guò)兩個(gè)音級(jí)來(lái)排列，同樣是從100Hz開(kāi)始，分別以“100，129，167，217，280；362，469，607，785，1015；1313，1699，2844，3679……”依此類(lèi)推。從第四類(lèi)音階模型跳過(guò)兩個(gè)音級(jí)來(lái)算，縱向“和聲化”的聽(tīng)感和之前略有所區(qū)別，縱向“和聲化”聽(tīng)感音色結(jié)構(gòu)略微稀疏。第四類(lèi)音階模型一共有45組，全曲共193組。

第五類(lèi)音階模型同樣運(yùn)用偏移算法，不過(guò)第五類(lèi)跳過(guò)的頻率不再被下一組進(jìn)行模型重新組建。只有被選定的頻率才會(huì)進(jìn)行重組，此類(lèi)音階模型類(lèi)似“五度相生律”算法，將五個(gè)選定的頻率進(jìn)行分組，然后重復(fù)到下一組，分別以“100，138，190，263，500；690，952，1310，1810；2500，3450，4760，6570，9060……”依此類(lèi)推。第五類(lèi)音階模型一共有13組，全曲第一類(lèi)至第五類(lèi)分別45，45，45，45，13組，共計(jì)193組。

三、非平均律音階模型下的音色構(gòu)建

（一）傅里葉分析

19世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家約瑟夫·傅里葉（Joseph Fourier）在其著作《分析的數(shù)學(xué)原理》中首次提出了傅里葉級(jí)數(shù)的概念，然而這一概念對(duì)于模擬時(shí)代與數(shù)字時(shí)代下構(gòu)建與生成聲音有著重要的作用。傅里葉運(yùn)算，又稱(chēng)傅里葉分析，是一種數(shù)學(xué)技術(shù)，用于將一個(gè)復(fù)雜的信號(hào)或函數(shù)分解成一系列簡(jiǎn)單的正弦和余弦波成分，這些成分被稱(chēng)為頻譜。同樣，聲音是由不同頻率的波形組成的，除去正弦波之外的任何聲音波形被統(tǒng)稱(chēng)為復(fù)合波，復(fù)合波是由基波和不同若干諧波組成的。基波是諧波中最低的頻率成分，通常對(duì)應(yīng)于信號(hào)的最低頻率?；ㄔ趶?fù)合波中具有重要地位，其通常決定了聲音的音高或信號(hào)的基本頻率。諧波分析是音頻合成和音樂(lè)樂(lè)譜分析的重要組成部分，通過(guò)控制不同諧波的振幅和相位可以合成不同音色的聲音[2]。

（二）加法合成

任何聲音的構(gòu)建和生成都是可以看作若干頻率不同、相位不同、振幅不同的正弦波組合，加法合成是一種用于生成復(fù)雜波形的技術(shù)，它是基于將多個(gè)不同頻率的正弦波相加以創(chuàng)建新的波形。加法合成的原理源自上述提到的傅里葉分析，有些時(shí)候加法合成也會(huì)被叫作傅里葉合成（Fourier Synthesis）。加法合成在聲音合成、信號(hào)構(gòu)建技術(shù)上屬于較早的技術(shù)，但是在早期模擬時(shí)代，加法合成需要大量的振蕩器來(lái)實(shí)現(xiàn)音色縱向化的構(gòu)建，從技術(shù)手段的實(shí)現(xiàn)，到大量振蕩器成本上的運(yùn)用，所以較為難以實(shí)現(xiàn)。但是在當(dāng)今數(shù)字時(shí)代下，電子管算力到晶體管算力的更新迭代，計(jì)算機(jī)的優(yōu)勢(shì)得以展現(xiàn)。所以該技術(shù)在當(dāng)今數(shù)字時(shí)代才得以展現(xiàn)其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。

（三）STUDIE II非平均律音階模型音色實(shí)現(xiàn)

施托克豪森的這首作品采用公式，算得的音階作為每個(gè)正弦波的頻率實(shí)現(xiàn)加法合成，將每組音階模型縱向“和聲化”音色構(gòu)建。施托克豪森將5個(gè)音作為一組，以此來(lái)實(shí)現(xiàn)音色的重塑。雖然每個(gè)頻率都來(lái)自公式運(yùn)算，但是在每組模型里垂直頻率范圍呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)。

在數(shù)字系統(tǒng)中，通過(guò)對(duì)每個(gè)音階模型實(shí)現(xiàn)音色重塑，將所有五個(gè)頻率為基波的音階模型按照順序進(jìn)行循環(huán)播放，并且對(duì)每個(gè)聲音進(jìn)行了混響處理，以數(shù)字的方式實(shí)現(xiàn)了這些選定的音階模型組合，如#89、#94、#99、#104、#25，代表了不同序列下音階模型的組合順序。以下對(duì)#89與#25做了和聲重塑與原曲聲音頻譜分析。

第89號(hào)音階模型在全曲第25秒處得以實(shí)現(xiàn)，并且在基于Max/MSP環(huán)境下“Additive Synthesis Patch”中得以實(shí)現(xiàn)音階模型音色重塑，在該組建中，設(shè)定基波為362Hz，依次輸入第二號(hào)到第五號(hào)振蕩器剩余89號(hào)音階模型的頻率最終得以實(shí)現(xiàn)，通過(guò)不同維度的聲音數(shù)據(jù)可視化，最后得以還原原曲的音階模型音色。第25號(hào)音階模型在全曲第1分24秒處得以實(shí)現(xiàn)，在該組建中，設(shè)定基波為362Hz，依次輸入第二號(hào)到第五號(hào)振蕩器剩余25號(hào)音階模型的頻率最終得以實(shí)現(xiàn)，還原原曲的音階模型音色，因此，不同的音階模型所反映出來(lái)的頻譜結(jié)構(gòu)也是大有區(qū)別的[3]。

（四）STUDIE II結(jié)構(gòu)分析

施托克豪森的這首曲子的縱向音階模型與橫向結(jié)構(gòu)都可以數(shù)字“5”來(lái)解釋?zhuān)瑥暮暧^的整個(gè)曲子結(jié)構(gòu)到微觀的音階模型，聲音合成都離不開(kāi)“5”。早在理查德·途譜（Richard Toop）對(duì)這首曲子的草圖圖表框架研究中，作品的每個(gè)樂(lè)段都由5個(gè)部分組成，然而每個(gè)樂(lè)段都由5個(gè)樂(lè)句組成，每個(gè)樂(lè)句都由1-5個(gè)音階模型組成，每一個(gè)模型都由5個(gè)音組成。但在這首作品中，也會(huì)存在一些例外。在整個(gè)樂(lè)曲的宏觀結(jié)構(gòu)中，也并非所有的微觀組成都是數(shù)字“5”，部分微觀音色結(jié)構(gòu)包含6個(gè)純波，并非局限于5個(gè)，施托克豪森的這種非一致性或許與這部作品獨(dú)一無(wú)二的電子樂(lè)譜呈現(xiàn)形式有關(guān)，通過(guò)對(duì)樂(lè)曲頻譜圖分析得以發(fā)現(xiàn)，斯托克豪森生成了總共193組非平均律音高頻率并將其邏輯化音階模型有機(jī)組合，但并不是所有193個(gè)音高頻率都被使用，但在整首作品中，100Hz至17200Hz之間的所有頻率都曾被播放，或者通過(guò)諧波被激發(fā)，或包含在其他音階模型之中。例如，音階模型第43、44和45號(hào)包含頻率386Hz等。

四、結(jié)束語(yǔ)

《Studie II》非平均律下的音階模型從傳統(tǒng)的十二平均律脫離開(kāi)，十二平均律可以被視為音樂(lè)的本體論表達(dá)，它基于音的存在和實(shí)體屬性，將音樂(lè)看作一種客觀實(shí)體。這引發(fā)了關(guān)于音樂(lè)的本質(zhì)是什么以及音樂(lè)存在的形而上學(xué)問(wèn)題。非平均律則挑戰(zhàn)了這一本體論觀點(diǎn)，因?yàn)樗鼘⒁舻膶傩砸暈橄鄬?duì)的，可以隨意改變，非平均律下的音階模型是對(duì)傳統(tǒng)音樂(lè)結(jié)構(gòu)的突破，也同時(shí)引發(fā)了關(guān)于音樂(lè)實(shí)體的多元性和主觀性的討論。

音樂(lè)的平均律選擇涉及審美標(biāo)準(zhǔn)。十二平均律的規(guī)則性和可預(yù)測(cè)性可能會(huì)被認(rèn)為是符合傳統(tǒng)審美標(biāo)準(zhǔn)的，而非平均律可能會(huì)引發(fā)對(duì)審美多樣性和相對(duì)性的討論。人在長(zhǎng)期的非平均律聽(tīng)感下，再回頭聽(tīng)十二平均律，也會(huì)注意到音準(zhǔn)是否準(zhǔn)確的問(wèn)題，這牽涉到審美哲學(xué)的問(wèn)題，即如何評(píng)價(jià)音樂(lè)的美和音樂(lè)審美標(biāo)準(zhǔn)是否普遍適用。

參考文獻(xiàn)：

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