基于課標(biāo)重構(gòu)素材 依托模型提升素養(yǎng)
——以“1.4二次函數(shù)的應(yīng)用(第1課時(shí))”為例

徐建兵 王 丹

? 浙江省衢州市衢江區(qū)第一初級中學(xué) ? 浙江省衢州市衢江區(qū)東港初中

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡稱《課標(biāo)2022》)指出數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)提供了學(xué)習(xí)主題、知識結(jié)構(gòu)和基本線索,是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源.《課標(biāo)2022》在初中階段函數(shù)內(nèi)容的要求中明確指出:要讓學(xué)生會求二次函數(shù)的最大值或最小值,并能確定相應(yīng)自變量的值, 能解決相應(yīng)的實(shí)際問題.給出如下例題:

例題如圖1,計(jì)劃利用長為am的繩子圍一個(gè)矩形圍欄,其中一邊是墻.試確定其余三條邊,使得圍出的圍欄面積最大.

圖1

結(jié)合課標(biāo)要求與實(shí)例分析,筆者對浙教版九年級上冊“1.4二次函數(shù)的應(yīng)用”進(jìn)行研究.“二次函數(shù)的應(yīng)用”共有5個(gè)例題,分3個(gè)課時(shí)來完成教學(xué)任務(wù).5個(gè)例題中有4個(gè)是圍繞二次函數(shù)的最值進(jìn)行設(shè)問的,這充分體現(xiàn)了二次函數(shù)的最值在其應(yīng)用中的重要地位.第一課時(shí)中例題的素材是一個(gè)半圓和矩形組成的窗戶,根據(jù)材料總長求最大透光面積.作為二次函數(shù)的第一課時(shí)這一素材存在一定的局限性,關(guān)系式過于復(fù)雜,計(jì)算數(shù)據(jù)過難,會影響本節(jié)課利用二次函數(shù)求最值的教學(xué)目標(biāo),而且第一課時(shí)的學(xué)習(xí)情況將會直接影響后面課時(shí)的學(xué)習(xí)效果.因此,筆者思考如何進(jìn)行教學(xué)素材的重構(gòu),在素養(yǎng)立意下落實(shí)課標(biāo)對“二次函數(shù)的應(yīng)用”內(nèi)容要求.《課標(biāo)2022》提出:教材的編寫要體現(xiàn)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求;要有利于引發(fā)學(xué)生思考;素材選取要貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)、真實(shí)可信;要注重教材創(chuàng)新[1].課標(biāo)的編寫建議是教師教學(xué)素材重構(gòu)的重要依據(jù).受其啟發(fā),筆者選擇貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)的校園“一米菜園”為背景,設(shè)計(jì)籬笆圍欄中矩形面積最大問題的研究,這很好地把問題與課標(biāo)的例題相融合,讓學(xué)生經(jīng)歷生活情景數(shù)學(xué)化、問題解決模型化的過程,掌握利用二次函數(shù)模型解決矩形面積最大問題的方法,形成基于背景、價(jià)值、關(guān)聯(lián)和應(yīng)用等層面的知識結(jié)構(gòu)體系,落實(shí)課標(biāo)要求,發(fā)展核心素養(yǎng).

1 教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1 在真實(shí)情境量化分析中感受數(shù)學(xué)抽象

(1)生活情境問題化

問題1校園實(shí)踐基地“一米菜園”的設(shè)計(jì):如圖2,學(xué)校計(jì)劃用20 m長的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園,請每位同學(xué)畫一種方案,同桌之間比較,看看誰設(shè)計(jì)的矩形面積更大,到底誰的設(shè)計(jì)矩形面積才是最大的呢?

圖2

設(shè)計(jì)意圖：這是一個(gè)非常開放的生活問題,在校園實(shí)踐基地“一米菜園”中,提出了利用菜園設(shè)置面積最大的數(shù)學(xué)問題.此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)有利于學(xué)生在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光和問題意識,同時(shí)借助生活背景,使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)問題來源于生活,又回歸于生活.

(2)量化分析數(shù)學(xué)化

問題2用20 m長的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園,在周長一定的情況下,同學(xué)們是否發(fā)現(xiàn),菜園的一邊隨著另一邊的變化而變化,此時(shí)矩形的面積是否也跟著變化?假設(shè)其中一邊長為x,則矩形的面積S是關(guān)于x的函數(shù)嗎?如果是,它屬于哪一種函數(shù)?

設(shè)計(jì)意圖：抽象能力主要是指通過對現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象,得到數(shù)學(xué)的研究對象,形成數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則和方法的能力[1].量化分析是生活情景數(shù)學(xué)化的重要路徑,讓學(xué)生感受變化過程中矩形邊長和面積數(shù)量化的過程,養(yǎng)成通過量化分析獲得數(shù)量關(guān)系的習(xí)慣,有利于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的提升.

1.2 在問題解決優(yōu)化過程中提升模型觀念

(1)問題解決模型化

問題3學(xué)校計(jì)劃用20 m長的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園,要使所圍成的矩形面積最大,矩形的兩邊長分別是多少呢?

(2)條件選擇效益化

問題4學(xué)校用20 m長的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園,為了使圍成的矩形菜園面積更大,又節(jié)約成本,有同學(xué)提出利用其中一面靠墻的方案,同時(shí)也提出了當(dāng)墻長分別為15 m和4 m時(shí),應(yīng)該如何設(shè)計(jì)矩形的邊長,才能使所圍成的矩形的面積最大呢?

設(shè)計(jì)意圖：校園實(shí)踐基地“一米菜園”位于學(xué)校圍墻邊,利用圍墻現(xiàn)有的條件分析實(shí)際背景中所包含的變量及其對應(yīng)關(guān)系較為復(fù)雜,需要選擇最優(yōu)化的方案,在活學(xué)活用中理解二次函數(shù)在分析和解決實(shí)際問題中條件的重要作用,進(jìn)一步感受建立數(shù)學(xué)模型的重要性,在落實(shí)“四基”和“四能”的同時(shí)發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用與創(chuàng)新意識.

圖3

當(dāng)墻長為4 m時(shí),方案設(shè)計(jì)可分為兩種情況,如圖4.

圖4

本環(huán)節(jié)通過觀察函數(shù)圖象、小組交流、分類討論和模型再探,讓學(xué)生感受方案優(yōu)選效益化的同時(shí),進(jìn)一步理解二次函數(shù)自變量范圍對求最值的影響.

1.3 在分類討論、歸納探究中尋求模型本質(zhì)

問題5學(xué)校用20 m長的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園,為了使圍成的矩形菜園面積更大,又節(jié)約成本,有同學(xué)發(fā)現(xiàn)選擇其中一面靠墻,墻長只有am,此時(shí)矩形兩邊滿足什么條件時(shí)(可用含a的代數(shù)式表示),才能使所圍成的矩形的面積最大呢?

問題6在矩形周長一定的條件下,兩邊滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí),矩形的面積最大,為什么?

教學(xué)中要注重引導(dǎo)學(xué)生立足已有信息,抓住關(guān)鍵線索進(jìn)行分析聯(lián)想,從特殊到一般,利用數(shù)形結(jié)合、分類討論、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)思想去開展“數(shù)”與“形”的觀察、聯(lián)想、類比、感悟和抽象等,直達(dá)問題本質(zhì).引導(dǎo)學(xué)生在構(gòu)建模型、運(yùn)用模型、驗(yàn)證模型、優(yōu)化模型的同時(shí),形成有條理的模型意識.將所學(xué)的知識應(yīng)用到解決實(shí)際問題中去,通過選擇方案和優(yōu)化方案的過程,體會數(shù)學(xué)的價(jià)值,幫助學(xué)生獲得生活經(jīng)驗(yàn),發(fā)展應(yīng)用意識.

1.4 在框架結(jié)構(gòu)梳理提煉中總結(jié)模型應(yīng)用

問題7請根據(jù)圖5的結(jié)構(gòu),說一說本節(jié)課在解決實(shí)際問題過程中的方法和策略.

圖5

設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合框圖,將解決問題的過程與方法進(jìn)行梳理與提升,讓學(xué)生回顧利用二次函數(shù)模型解決矩形面積最大問題的方法,重溫生活情景問題化、量化分析數(shù)學(xué)化、問題解決模型化、方案優(yōu)選效益化和方法提練抽象化等過程,在知識體系與系統(tǒng)建構(gòu)中培養(yǎng)模型觀念和應(yīng)用意識.

2 教學(xué)反思

二次函數(shù)是初中階段繼一次函數(shù)、反比例函數(shù)之后,另一種描述現(xiàn)實(shí)世界中變量之間關(guān)系的重要函數(shù)模型.二次函數(shù)的應(yīng)用貫穿了從實(shí)際問題到建構(gòu)模型,再到利用模型解決實(shí)際問題的整個(gè)過程.教學(xué)中要基于數(shù)量關(guān)系,立足整體建構(gòu),讓學(xué)生在比較、分析、探究中揭示問題的規(guī)律和本質(zhì),落實(shí)課標(biāo)要求,發(fā)展核心素養(yǎng).

2.1 創(chuàng)設(shè)問題情境,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)邏輯與數(shù)學(xué)建模的前提,情境與問題是一個(gè)整體[2],教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)施中要重視情境與問題的關(guān)聯(lián),結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),選擇貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)、真實(shí)可信的素材,關(guān)聯(lián)合適的情境與問題,引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象,發(fā)現(xiàn)并提出問題,引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言描述背景、表達(dá)問題,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.

2.2 建構(gòu)模型體系,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識

《課標(biāo)2022》指出,模型觀念是指對利用模型解決實(shí)際問題有清晰的認(rèn)識,數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系的基本途徑.教學(xué)設(shè)計(jì)中要有關(guān)注數(shù)學(xué)建模的一般過程,通過方案的選擇與對比,在優(yōu)化方案的過程中,讓學(xué)生感受“建?！薄斑x?！薄膀?yàn)?zāi)！焙汀坝媚！钡日麄€(gè)過程,在縱向與橫向的聯(lián)系中建構(gòu)知識體系.通過對關(guān)系模型的認(rèn)識與探究,發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識[3].

2.3 關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識取決于對數(shù)學(xué)的心靈感悟,這是接近數(shù)學(xué)、走近數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的不竭動(dòng)力源泉[4].教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生探索實(shí)際問題中數(shù)與形蘊(yùn)涵的關(guān)系和規(guī)律,掌握一些有效地表示、處理和交流數(shù)量關(guān)系以及變化規(guī)律的模型工具,順應(yīng)抽象、推理、建模的基本思想,幫助學(xué)生從整體上把握知識結(jié)構(gòu),理解知識的內(nèi)在聯(lián)系.感悟數(shù)學(xué)本質(zhì),積累數(shù)學(xué)思維和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),發(fā)展學(xué)生模型觀念和推理能力[3].在數(shù)學(xué)建模過程中提升學(xué)生的創(chuàng)新意識、應(yīng)用能力和人文素養(yǎng).