類比教學(xué)法在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程中的應(yīng)用
——以連續(xù)型隨機(jī)變量為例

錢欣潔，劉 歡

（金陵科技學(xué)院 理學(xué)院，江蘇 南京 211169）

引言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象的學(xué)科，將隨機(jī)現(xiàn)象“量化”成隨機(jī)變量，并用隨機(jī)變量的不同取值表示隨機(jī)現(xiàn)象的不同的試驗(yàn)結(jié)果。設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω，對(duì)每個(gè)ω∈Ω，總有一個(gè)實(shí)數(shù)X（ω）與之對(duì)應(yīng)，則稱Ω上的單值實(shí)函數(shù)X（ω）為一個(gè)隨機(jī)變量［1］。隨機(jī)變量可分為離散型隨機(jī)變量、混合型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。混合型隨機(jī)變量較復(fù)雜，一般本科教材只介紹離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。由于離散型隨機(jī)變量表現(xiàn)形式簡(jiǎn)單，學(xué)生很容易掌握。但學(xué)生對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量的相關(guān)內(nèi)容理解不深，掌握不牢。連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)、函數(shù)的分布和條件概率密度是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中的基礎(chǔ)，通過總結(jié)往年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生學(xué)習(xí)這些內(nèi)容時(shí)較吃力，很多學(xué)生只是死記硬背，無法從本質(zhì)上理解掌握這部分內(nèi)容，在做題時(shí)也經(jīng)常出錯(cuò)。

類比教學(xué)法［2］是課堂教學(xué)活動(dòng)中應(yīng)用較廣泛的方法之一，將類比的思維用到課堂教學(xué)活動(dòng)中，通過將兩件事情做類比，可以自然而然將學(xué)習(xí)者的原有經(jīng)驗(yàn)，和需要學(xué)習(xí)的新知識(shí)，通過某種微妙的相似性建立起連接，從而幫助學(xué)生有效地理解新知識(shí)。本文利用類比教學(xué)法，將連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布和條件概率密度分別與離散型隨機(jī)變量分布律、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布和條件分布律做類比，化繁為簡(jiǎn)、深入淺出地使連續(xù)型隨機(jī)變量的相關(guān)內(nèi)容具體化，有趣生動(dòng)地幫助學(xué)生從本質(zhì)上理解這部分內(nèi)容，徹底掌握連續(xù)型隨機(jī)變量的相關(guān)知識(shí)。

一、類比連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)與離散型隨機(jī)變量分布律

本節(jié)只討論一維隨機(jī)變量，二維隨機(jī)變量的類比方法與一維相同，這里不再做詳細(xì)闡述。對(duì)于一維離散型隨機(jī)變量，我們用分布律表示它的所有可能的取值及取每個(gè)值的概率。設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能的取值為xi，X取xi的概率為pi（i∈N,i≥1；），則隨機(jī)變量X的分布律為：P{X=xi}=pi,i∈N,i≥1。它滿足性質(zhì)：

這兩條性質(zhì)是分布律的本質(zhì)，任給一個(gè)滿足這兩條性質(zhì)的函數(shù)可作為某個(gè)隨機(jī)變量的分布律。用分布律來研究離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，簡(jiǎn)單易懂，一目了然。

對(duì)于一維連續(xù)型隨機(jī)變量，我們也想用如此直接的方法，將隨機(jī)變量每個(gè)取值處的概率列舉出來，但這時(shí)隨機(jī)變量的取值點(diǎn)是不可列的。那如何像離散情況那樣給出隨機(jī)變量每個(gè)點(diǎn)的概率呢？或者說，如何得到一個(gè)定義在隨機(jī)變量取值點(diǎn)的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)與取值點(diǎn)的概率有關(guān)呢？我們采取了高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常用的方法，討論“一個(gè)點(diǎn)”的概率情況，我們可以稍微擴(kuò)范圍，考慮一個(gè)無窮小區(qū)間上的概率，這個(gè)區(qū)間概率除以區(qū)間長(zhǎng)度就得到了“平均概率”，而當(dāng)這個(gè)無窮小區(qū)間趨近于零時(shí)，“平均概率”的極限就是我們需要的函數(shù)，這里Δx表示區(qū)間長(zhǎng)度，ΔF表示區(qū)間上的概率。

若分布函數(shù)F（x）處處可導(dǎo)，則處處存在，這樣可以定義函數(shù)，稱之為概率密度函數(shù)。但是現(xiàn)實(shí)生活中隨機(jī)現(xiàn)象的分布函數(shù)往往不能處處可導(dǎo)，所以以上概率密度函數(shù)的定義有缺陷。為了研究更多現(xiàn)實(shí)生活中的隨機(jī)現(xiàn)象，我們需要降低對(duì)分布函數(shù)F（x）的要求，即雖然分布函數(shù)F（x）不是處處可導(dǎo)，但是存在一個(gè)函數(shù)f（x），使其變上限積分為F（x），具體地定義如下。

定義1［3］42：如果對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F（x），存在非負(fù)函數(shù)f（x），使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x有

則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中f（x）稱為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)滿足性質(zhì)：

這兩條性質(zhì)是概率密度函數(shù)的本質(zhì)，任給一個(gè)滿足這兩條性質(zhì)的函數(shù)可作為某個(gè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。概率密度函數(shù)的規(guī)范性與分布律的規(guī)范性類似，因?yàn)榭梢钥醋鞑煌瑴y(cè)度集上的兩種積分定義方式。

由以上分析可知，離散型隨機(jī)變量用分布律來表示隨機(jī)變量取值點(diǎn)及其概率，連續(xù)型隨機(jī)變量是用一個(gè)定義在隨機(jī)變量每個(gè)取值點(diǎn)處的概率密度函數(shù)來揭示其統(tǒng)計(jì)規(guī)律。分布律與概率密度函數(shù)具有的性質(zhì)十分類似，都滿足非負(fù)性和規(guī)范性。

二、類比連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布與離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

本節(jié)只討論一維隨機(jī)變量。對(duì)于一維離散型隨機(jī)變量函數(shù)g（x）的分布問題，我們可以直接將函數(shù)代入到隨機(jī)變量的分布律中得到新的隨機(jī)變量Y=g（X）的分布律［4］。具體地，將隨機(jī)變量X中任一取值點(diǎn)t代入函數(shù)g（x），得到新的取值點(diǎn)y=g（t），而y發(fā)生的概率等于t發(fā)生的概率，最后將相同取值點(diǎn)的概率相加，就得到了隨機(jī)變量Y的分布律。

對(duì)于一維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題，類比于離散型隨機(jī)變量，我們也想通過直接將連續(xù)函數(shù)g（x）代入到連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)fX（x）中得到新的連續(xù)型隨機(jī)變量Y=g（X）的概率密度函數(shù)fy（y）。但是概率密度函數(shù)“相當(dāng)于”分布函數(shù)F（x）的導(dǎo)函數(shù)，而求概率密度函數(shù)fy（y）就是求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，我們無法直接從導(dǎo)函數(shù)fx（x）推出復(fù)合函數(shù)導(dǎo)函數(shù)fY（y），所以需要討論復(fù)合原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來得出fY（y）。也就是說，先由隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)推導(dǎo)出隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，再由此推出隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)，最后求導(dǎo)得到隨機(jī)變量Y的概率密度函數(shù)。具體流程如圖1所示。

圖1 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)概率密度推導(dǎo)過程

由以上分析可知，連續(xù)型與離散型隨機(jī)變量函數(shù)分布問題的求解方法具有一定的相似性，討論離散型隨機(jī)變量函數(shù)分布問題就是求解分布律，可將此函數(shù)直接代入原有分布律求得。而討論連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)分布問題就是求解概率密度函數(shù)，可將此函數(shù)代入新的分布函數(shù)并求導(dǎo)得到。這兩種方法之間具有相似性，可以進(jìn)行對(duì)比學(xué)習(xí)。

三、類比連續(xù)型隨機(jī)變量條件概率密度與離散型隨機(jī)變量條件分布律

對(duì)于條件概率，我們只討論二維隨機(jī)變量。二維離散型隨機(jī)變量（X,Y），如果固定j，并且P，則稱［3］68

為在Y=yj條件下X的條件分布律。

對(duì)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X,Y），我們也想討論條件概率P{X=xi|Y=yj}的值，但連續(xù)型隨機(jī)變量在一點(diǎn)的概率為零，即P{X=xi,Y=yj}，所以考慮一點(diǎn)處的條件概率并沒有意義，需要討論一個(gè)區(qū)間的條件概率，即討論條件分布函數(shù)P{X≤x|Y=y} 。對(duì)于此分布函數(shù)，類似于公式（2），我們希望用公式

來定義。然而P{Y=y}=0，公式（3）沒有定義。那我們將公式（3）如何變形才能得出正確的條件分布函數(shù)的定義呢？我們用類似于高等數(shù)學(xué)中“可去間斷點(diǎn)”的想法來將公式（3）變形。因?yàn)楣剑?）在y點(diǎn)沒有定義，那么稍微擴(kuò)大討論范圍，討論在區(qū)間（y,y+ε］上的條件概率P{X≤x|y＜Y≤y+ε}，然后再令ε→0+，這樣得到。若此極限處處存在，則它可作為條件分布函數(shù)的定義。

這里0＜δ1,δ2＜ε。由此，固定y，當(dāng)fY(y)＞0，我們可以定義Y=y條件下X的條件分布函數(shù)為?，F(xiàn)在條件分布函數(shù)的定義得出了，那條件概率密度如何定義呢？類似于第一節(jié)的討論，我們可以用“導(dǎo)數(shù)的觀點(diǎn)”推導(dǎo)出條件概率密度的定義Y=y，即條件下X的條件概率密度就是

結(jié)語

本文通過將連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)，條件概率密度分別與離散型隨機(jī)變量分布律，條件分布律做類比，一步一步引出連續(xù)型隨機(jī)變量、概率密度函數(shù)和條件概率密度的概念，這樣比直接給學(xué)生定義更能讓學(xué)生接受，也更利于學(xué)生理解此概念。