數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

■山東省菏澤市牡丹區(qū)第二十一初級中學(xué) 王存革

隨著素質(zhì)教育改革的不斷深入，各學(xué)科對學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展越發(fā)重視，新標(biāo)準(zhǔn)也因此對學(xué)生的培養(yǎng)提出了更高的要求。在此背景下，繼續(xù)堅持傳統(tǒng)教學(xué)模式只會越來越難以滿足學(xué)生的成長需求。以往“以分?jǐn)?shù)論英雄”的時代已經(jīng)過去，教師必須及時轉(zhuǎn)變自身的教育理念，根據(jù)數(shù)學(xué)這門學(xué)科的特點(diǎn)，做好圖形與數(shù)字的巧妙結(jié)合，幫助學(xué)生更好地克服對數(shù)學(xué)知識的理解障礙，充分調(diào)動學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，切實(shí)推動學(xué)生數(shù)學(xué)思維乃至綜合素養(yǎng)的發(fā)展。

一、數(shù)形結(jié)合思想及價值概述

數(shù)學(xué)知識一般比較抽象，學(xué)生在學(xué)習(xí)時難免會感覺枯燥乏味，特別是對初中生來說，有些理論知識理解起來比較困難，很容易增加他們的畏懼情緒。為了幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識，增強(qiáng)初中階段的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)效，教師要積極使用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣與效率。比如，對那些比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論，單憑初中生的認(rèn)知水平可能無法充分理解其中的邏輯，這時教師便可以發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作用。在課堂教學(xué)中，教師可以將原本難以理解的抽象化的知識轉(zhuǎn)化為學(xué)生可以直觀理解的圖表，讓學(xué)生清楚觀察其中發(fā)生的變化，如此一來，學(xué)生就可以更方便地學(xué)習(xí)，有效掌握該知識點(diǎn)。因此，數(shù)形結(jié)合思想經(jīng)常被教師應(yīng)用于課堂教學(xué)中，讓數(shù)學(xué)知識變得更為生動可感，從而有效激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，使其積極主動地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

除此之外，在初中階段的數(shù)學(xué)課堂上積極使用數(shù)形結(jié)合思想，可以深化學(xué)生對抽象知識的理解，有效發(fā)展他們的想象力與創(chuàng)造力，幫助學(xué)生對所學(xué)知識點(diǎn)形成更牢固的記憶，同時推動學(xué)生從多個角度對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行自主分析，促使他們穩(wěn)步提升自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，從而更好地解決數(shù)學(xué)問題，有助于其數(shù)學(xué)思維的形成與發(fā)展。

二、數(shù)形結(jié)合的常見形式分析

（一）以數(shù)化形

講到圓形、三角形、多邊形、柱體、錐體等幾何圖形時，教師可以讓學(xué)生仔細(xì)觀察圖形，引導(dǎo)他們仔細(xì)思考涉及的知識點(diǎn)。在以數(shù)化形的幫助下，原本面對課后習(xí)題百思不得的學(xué)生，可以準(zhǔn)確洞悉圖形中存在的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而有效提升對知識的領(lǐng)會能力，大幅提高做題速度。而且，教師使用該思想進(jìn)行知識傳授的時候，可以使學(xué)生在幾何圖形思維的引導(dǎo)下，對其中的數(shù)量關(guān)系形成更直觀的理解。

（二）以形變數(shù)

在教授學(xué)生幾何知識的時候，教師會經(jīng)常使用“以形變數(shù)”的技巧，這樣可以讓學(xué)生更全面地了解題目中設(shè)置的隱藏條件，進(jìn)而方便學(xué)生實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)問題的高效解答。

（三）數(shù)形互變

這種方法主要被用于直角坐標(biāo)系和函數(shù)教學(xué)中，借助直角坐標(biāo)系圖形與函數(shù)的相互轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生準(zhǔn)確找出實(shí)數(shù)的對應(yīng)位置，然后結(jié)合代數(shù)方面的知識求取函數(shù)問題的答案。

三、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

（一）研讀課標(biāo)，分析數(shù)形結(jié)合與數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系

課本內(nèi)容與課程標(biāo)準(zhǔn)是各科教師在教學(xué)工作中的重要依據(jù)，凝聚著無數(shù)教育工作者的智慧與汗水。教師只有正確理解課標(biāo)，才能充分明確關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想的具體使用，從而最大限度地對學(xué)生進(jìn)行素養(yǎng)培養(yǎng)，幫助他們深入開展學(xué)習(xí)活動。而要想實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，教師必須仔細(xì)研究新課標(biāo)及課本內(nèi)容，在掌握空間觀念、幾何直觀等重點(diǎn)的同時，做好對課程目標(biāo)及教學(xué)建議的全面把握，并認(rèn)真梳理各單元涉及數(shù)形結(jié)合的部分，只有這樣才能更好地應(yīng)用該思想。比如，講到“代數(shù)式”的時候，教師便可以通過數(shù)軸的形式來直觀地表示有理數(shù)，并借此幫助學(xué)生理解相反數(shù)、絕對值等概念；在講解實(shí)數(shù)的過程中，教師也可以借助實(shí)數(shù)與數(shù)軸點(diǎn)之間的對應(yīng)關(guān)系來輔助學(xué)生理解；至于平方差公式，則可以通過拼圖的方式實(shí)現(xiàn)以形助數(shù)。又如，在講到“一元一次方程”的時候，教師可以讓學(xué)生通過線段圖的方式來分析等量關(guān)系，由此得出方程。再如，針對函數(shù)的教學(xué)，教師可以利用圖像來代表函數(shù)，讓學(xué)生更方便、直觀地分析函數(shù)中不同變量之間的關(guān)系。

（二）因材施教，尊重學(xué)生認(rèn)知規(guī)律

由于年齡等方面的原因，各年級的學(xué)生在學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出的心理特征也會有所差異，進(jìn)而表現(xiàn)出不同的學(xué)習(xí)特點(diǎn)。以七年級的學(xué)生為例，由于剛剛從小學(xué)升入初中，因此在學(xué)習(xí)中仍然以形象思維為主導(dǎo)；而進(jìn)入八年級之后，學(xué)生的思維與心理都得到了一定的發(fā)展，但課堂上仍需要教師的引導(dǎo)，面對比較抽象的知識時很容易出現(xiàn)畏難情緒；到了九年級，學(xué)生則能夠自主運(yùn)用抽象思維來處理問題。因此，開展教學(xué)活動之前，教師應(yīng)留心學(xué)生所在的年級，全面了解他們的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，由此實(shí)施針對性的教學(xué)策略。比如，在為初一的學(xué)生講授數(shù)學(xué)知識時，應(yīng)盡量選擇直觀的教學(xué)方式，這樣可以幫助他們更好地理解圖像的意義，從而鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)畫圖能力；在為初二的學(xué)生講授數(shù)學(xué)知識時，教師應(yīng)從“形”和“數(shù)”兩個方面入手，逐步引導(dǎo)學(xué)生理解課程內(nèi)容，切實(shí)體會數(shù)學(xué)圖形的美觀性與直觀性，從而了解代數(shù)方法的精準(zhǔn)作用；而在教授初三學(xué)生數(shù)學(xué)知識時，教師應(yīng)當(dāng)向?qū)W生系統(tǒng)介紹數(shù)形結(jié)合思想，鼓勵他們通過畫圖、數(shù)軸、坐標(biāo)系等方法自主對問題進(jìn)行歸納，逐步培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的邏輯推理能力，促使其不斷發(fā)展。而在具體的教學(xué)過程中，教師還應(yīng)注意因材施教，充分考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)優(yōu)勢與個性特點(diǎn)，科學(xué)合理地指導(dǎo)他們應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想。

（三）聯(lián)系現(xiàn)實(shí)，降低數(shù)形結(jié)合難度

在素質(zhì)教育背景下，教師要采取措施，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，使課堂教學(xué)充分滿足其發(fā)展需求。從教學(xué)實(shí)踐來看，不少初中生都不能主動使用數(shù)形結(jié)合技巧來解決問題，原因在于他們對該思想缺乏深入理解。為此，教師應(yīng)認(rèn)真反思所創(chuàng)設(shè)的教學(xué)情境是否真正滿足了學(xué)生的學(xué)習(xí)需求、采用的教學(xué)方法是否激起了學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣、教學(xué)流程及活動設(shè)計是否合理、是否為學(xué)生提供了科學(xué)的數(shù)形結(jié)合運(yùn)用指導(dǎo)等。比如，在七年級上冊“有理數(shù)”的教學(xué)中，其中包含許多相反意義的內(nèi)容，剛進(jìn)入初中的學(xué)生想完成知識過渡不太容易。教師可以在引入數(shù)軸的基礎(chǔ)上，選擇生活中常見的溫度計作為教學(xué)實(shí)例，通過分析溫度測量中零下與零上這兩種不同的表達(dá)形式，幫助學(xué)生初步理解“正負(fù)”?！安还苁橇闵隙嗌俣冗€是零下多少度，都是基于‘0’來劃分的，低于零度的溫度數(shù)據(jù)用‘-’表示，高于零度的溫度數(shù)據(jù)則用‘+’表示”，完成對零下及零上溫度表示的講解后，教師可以讓學(xué)生橫著觀察溫度計，這時就可以將溫度計視為一個特殊的數(shù)軸，“0”刻度線左邊就是負(fù)數(shù)區(qū)域，右邊則為正數(shù)區(qū)域，從而實(shí)現(xiàn)對抽象概念的圖像化、直觀化，方便學(xué)生深化對“負(fù)數(shù)與正數(shù)”這兩個相反量的理解，在數(shù)形結(jié)合的幫助下推動學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率的有效提升。

（四）科學(xué)引導(dǎo)，促進(jìn)數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化

所謂數(shù)學(xué)語言，是一種表示事物數(shù)量、因果、位置等關(guān)系的基本形式，主要包括圖像、文字、符號三種，它們都具有獨(dú)特的表達(dá)優(yōu)勢，往往能在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中起到相當(dāng)重要的作用。而運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的過程，就是借助這三種語言間的來回轉(zhuǎn)換處理數(shù)學(xué)問題的過程，其融合轉(zhuǎn)化有助于提升學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的理解，實(shí)現(xiàn)高效學(xué)習(xí)。在教學(xué)過程中，經(jīng)常會遇到一些不擅長分析題目的學(xué)生，主要原因在于他們對數(shù)形表征缺乏足夠的語言概括及轉(zhuǎn)化能力。因此，在初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)積極指導(dǎo)學(xué)生，加強(qiáng)對他們的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化訓(xùn)練。比如，在講到九年級下冊“垂徑定理”的時候，教師就可以采取文字描述的方式進(jìn)行講解，在平分圓弦及其對應(yīng)的弧的同時使之垂直于圓的直徑。然后配以相應(yīng)的圖形，方便學(xué)生理解，如圖1 所示，以英文符號標(biāo)出對應(yīng)的點(diǎn)，CD 是圓O 的直徑，AB 則為經(jīng)過AB 的一條弦，假設(shè)線段AB 與線段CD 相互垂直，將二者的垂足命名為點(diǎn)M，則線段BM 與線段AM 的長度相等，圓弧BD 與圓弧AD、圓弧BC 與圓弧AC的長度均為相等關(guān)系。結(jié)合圖像、符號、文字等，進(jìn)行綜合性的轉(zhuǎn)化表述訓(xùn)練，可以讓學(xué)生親身體會數(shù)學(xué)語言的方便與簡潔，有助于激發(fā)他們在做題時運(yùn)用數(shù)形結(jié)合技巧的主動性，從而有效推動其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量與效率的提升。

圖1 垂徑定理的圖形表達(dá)

（五）培養(yǎng)習(xí)慣，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合應(yīng)用

根據(jù)新課標(biāo)的相關(guān)要求，教師應(yīng)盡可能實(shí)現(xiàn)以下教學(xué)目標(biāo)：讓學(xué)生準(zhǔn)確掌握物體位置、圖形性質(zhì)等特點(diǎn)，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的空間意識，構(gòu)建完善的幾何直觀，能夠自覺以圖形的方式來考慮問題，而這也要求教師必須做好對數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用。在解答不等式方程問題的時候，有的學(xué)生對函數(shù)圖像的運(yùn)用能力較弱，對解題方法的選擇也不夠簡潔、合理，以至于在處理問題時難以做到對圖像的有效利用。為此，教師必須重點(diǎn)加強(qiáng)對學(xué)生數(shù)形結(jié)合習(xí)慣的培養(yǎng)，讓他們在遇到問題時能夠自覺主動地進(jìn)行圖形想象，做到準(zhǔn)確畫圖、仔細(xì)讀圖和高效用圖。以數(shù)學(xué)領(lǐng)域中比較常見的“行程問題”為例，教師可以讓學(xué)生以線段圖的形式求解，這樣有助于將路程、用時及行駛速度等因素的關(guān)系生動地表現(xiàn)出來，讓學(xué)生清晰地掌握問題中存在的數(shù)學(xué)關(guān)系。又如，遇到函數(shù)問題的時候，教師可以引導(dǎo)學(xué)生改變代數(shù)運(yùn)算的固定思維模式，積極進(jìn)行圖形轉(zhuǎn)換，通過畫圖收集各種有效信息，借此分析函數(shù)的具體性質(zhì)，進(jìn)而客觀梳理不等式、方程、函數(shù)之間關(guān)系，為問題找出最合適的解決方法?？偠灾?，教師要重點(diǎn)加強(qiáng)對學(xué)生的習(xí)慣培養(yǎng)，使其能夠熟練使用圖形分析遇到的問題，盡可能將其中的復(fù)雜關(guān)系簡單化，在降低解題難度的同時增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)自信。

（六）重視基礎(chǔ)，加強(qiáng)對理論概念的講解

無論何時，基礎(chǔ)知識都是每個學(xué)生必不可少的學(xué)習(xí)內(nèi)容。而現(xiàn)實(shí)生活中，不少學(xué)生對課本中的數(shù)學(xué)定義與概念缺乏足夠的重視，覺得這些東西非常簡單，與考試無關(guān)，根本用不著專門研究，只要能在做題的時候運(yùn)用就可以了。但事實(shí)是，數(shù)學(xué)定理與概念中蘊(yùn)含著非常寶貴的數(shù)學(xué)思想，打牢這方面的基礎(chǔ)可以幫學(xué)生更輕松地進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化，方便其找出問題的答案。比如，在教學(xué)實(shí)踐中經(jīng)常會有學(xué)生在判定三角形相似和全等關(guān)系的時候出錯，證明過程總是存在這樣或那樣的邏輯漏洞，對問題解決過程的描述也不夠清晰，這在很大程度上就是因?yàn)閷W(xué)生未能理解公式的本質(zhì)，沒有意識到直角三角形邊長之間的關(guān)系。因此，教師應(yīng)注意加強(qiáng)對基礎(chǔ)知識方面的講解，帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)真分析課本中的公式和定義，不斷增加學(xué)習(xí)積累，唯有如此，才能為其數(shù)形轉(zhuǎn)換打下堅實(shí)的理論基礎(chǔ)。

（七）全面融入，實(shí)現(xiàn)全課型應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用可以體現(xiàn)在不同課型的不同階段。比如，引入新課內(nèi)容的時候，教師可以通過對圖形、坐標(biāo)系、數(shù)軸等直觀表達(dá)方式的運(yùn)用來幫助學(xué)生認(rèn)識抽象的數(shù)學(xué)理論。需要注意的是，引入新的數(shù)學(xué)定理或公式時，教師在關(guān)注學(xué)生對知識理論學(xué)習(xí)情況的同時，還要在課堂上盡可能呈現(xiàn)這些知識的實(shí)質(zhì)，特別是在講解性質(zhì)、定理或概念的時候，要積極引入相關(guān)圖形，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行直觀探討，使其親自感受生活中的具體知識逐步被抽象的過程，幫助他們對數(shù)形轉(zhuǎn)換形成一個大致認(rèn)知，為后續(xù)運(yùn)用打好基礎(chǔ)。

以七年級上冊“有理數(shù)及其運(yùn)算”教學(xué)為例，教師可以針對相反數(shù)的概念，利用數(shù)軸來輔助講授，引導(dǎo)學(xué)生更直觀地了解相反數(shù)的特點(diǎn)，明白所謂的相反數(shù)就是數(shù)軸上與0 點(diǎn)的距離完全相同而方向相反的一組數(shù)，幫助學(xué)生對這一概念形成相應(yīng)的圖形符號認(rèn)知，有效促進(jìn)其數(shù)感及幾何直觀能力的養(yǎng)成。而在習(xí)題訓(xùn)練階段，教師可以為學(xué)生列舉一個與課程知識有關(guān)的具體問題，針對性地講解該怎樣進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)換，使學(xué)生初步形成相應(yīng)的問題思考意識后，為其安排合適的題目進(jìn)行實(shí)踐。例如：在方程求解問題中，教師可以在黑板上畫出相應(yīng)的函數(shù)圖像，然后借助圖像來分析問題；而如果是幾何問題且題目中沒有具體圖形，教師則應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生按照題目條件畫出相應(yīng)的幾何圖像，再根據(jù)所畫圖形找出隱藏的數(shù)學(xué)關(guān)系，進(jìn)而正確解決問題。

四、結(jié)語

初中是學(xué)生成長的重要時期，數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量對學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)以及思維品質(zhì)的提升都具有重要意義，可以為其未來發(fā)展打下良好的基礎(chǔ)，而數(shù)形結(jié)合思想在課堂教學(xué)中的運(yùn)用對學(xué)生建立健全數(shù)學(xué)知識體系、理解課程知識理論具有重要作用。因此，教師在開展教學(xué)活動的過程中，必須積極地從多角度挖掘數(shù)形結(jié)合的作用，以直觀的問題分析與解決來促進(jìn)學(xué)生邏輯思維的發(fā)展，進(jìn)而帶動其數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的提升，切實(shí)提高初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。