活用教材，激活思維

張惠芬

［摘? 要］ 教材是教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的主要資源，用好教材能夠幫助學(xué)生建構(gòu)知識體系，深化知識理解，對教學(xué)效果起到事半功倍的作用. 教師要深入研究教材，明確教學(xué)目標(biāo)，立足學(xué)情，有效整合教學(xué)內(nèi)容，靈活運用教材，滲透數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中激活思維，感受數(shù)學(xué)的價值，落實核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 研究教材；激活思維；三線八角

教材是教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的主要資源，用好教材對提高教學(xué)效果具有極其重要的作用. 教師應(yīng)深入研究教材內(nèi)容，厘清教材編寫脈絡(luò)，明確教材知識編排的明線和暗線，挖掘教材潛藏的思想方法，領(lǐng)悟教材的價值意蘊，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力. 本文以“三線八角”的教學(xué)為例，談一談在教學(xué)中如何靈活使用教材，來激活學(xué)生的思維，點燃學(xué)生的求知欲，促進智慧課堂的生成.

教學(xué)實錄

1. 復(fù)習(xí)導(dǎo)入，溫故知新

問題1? 同學(xué)們在小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些有關(guān)“角”的知識，相信大家一定還有印象，現(xiàn)在你們能說出角的概念嗎？

生1：角的概念有兩種，一種是通過一個公共端點引出的兩條射線組成的圖形，另一種是一條射線OA從原來的位置繞著它的端點O旋轉(zhuǎn)到另外一個位置OB形成的圖形.

師：我們學(xué)過兩條直線相交形成的角與角之間的關(guān)系，誰能說一說圖1中每對角之間有什么關(guān)系呢？

生2：圖1中的四個角互為對頂角或鄰補角，如∠1和∠2互為鄰補角，∠1和∠3則互為對頂角.

師：很好，這些角存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

生3：∠1和∠3，∠2和∠4互為對頂角，對頂角相等；∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4以及∠4和∠1互為鄰補角，互為鄰補角的兩個角的和等于180°.

設(shè)計意圖通過角的概念的復(fù)習(xí)，喚醒學(xué)生對角的記憶，激活學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗，為新知導(dǎo)入奠定基礎(chǔ).

2. 探究新知，深度學(xué)習(xí)

問題2? 同學(xué)們已經(jīng)熟練掌握了兩條直線相交構(gòu)成的角之間的關(guān)系，那么三條直線相交構(gòu)成的角之間又有怎樣的關(guān)系呢？

生4：三條直線相交按照交點個數(shù)可以分成以下兩種情況.第一種情況，如圖2所示，三條直線相交于一點；第二種情況，如圖3所示，三條直線相交有兩個交點.

師：很好，同學(xué)們思考這個問題時采用了數(shù)學(xué)中一種常見的研究方法——分類討論法. 我們能不能將圖2和圖3中的角進行分類呢？能否按照我們學(xué)過的對頂角和鄰補角進行分類呢？

生5：圖2中的∠1和∠3以及圖3中的∠1和∠5既不屬于對頂角也不屬于鄰補角，因此我們不能按照對頂角和鄰補角進行分類，但是我們可以將兩幅圖中的角分為有公共頂點的角和沒有公共頂點的角.

師：非常好，大家進行分類討論時，首先要明確的是分類標(biāo)準(zhǔn). 生5發(fā)現(xiàn)對頂角和鄰補角都有公共頂點，因此按照是否有公共頂點分類可以將圖中所有的角都包含進去. 在圖3中，直線AB，CD與EF相交構(gòu)成了八個角，今天我們就來重點研究其中沒有公共頂點的角.

請同學(xué)們觀察圖3中的∠1和∠5，∠6，∠7，∠8的位置，∠2和∠5，∠6，∠7，∠8的位置，它們之間具有哪些共同特征？

生6：它們的頂點以及一條邊都在直線EF上.

師：是的，觀察得非常仔細(xì). 因為直線EF與AB，CD相交，所以我們稱直線EF為直線AB，CD的截線. 也可以稱直線AB，CD被直線EF所截.

師：接下來我們一起探究圖3中的∠1和∠5具有怎樣的位置關(guān)系. 大家先觀察這兩個角的邊以及具體的位置關(guān)系.

生7：∠1和∠5都有一條邊在截線EF的左邊，并且∠1和∠5分別在直線AB和CD的上方.

師：是的. 我們可以從圖中觀察到∠1和∠5這兩個角不僅都在截線EF的同一側(cè)，而且都在直線AB，CD的同一方，我們將具有這樣位置關(guān)系的一對角稱為同位角. 我們在圖3中還能發(fā)現(xiàn)具有這種位置關(guān)系的角嗎？

生8：同位角還有∠2和∠6，∠4和∠8，∠3和∠7.

師：找得很準(zhǔn)確，那么我們找同位角有什么訣竅嗎？請大家總結(jié)尋找同位角的方法.

生9：我認(rèn)為找同位角時可根據(jù)它的定義去確定，先確定兩個角都在截線的左側(cè)或右側(cè)，再確定兩個角在直線AB，CD的上方或下方.

師：這位同學(xué)總結(jié)得非常準(zhǔn)確，我們能否根據(jù)這位同學(xué)總結(jié)的“秘訣”來分析其他沒有公共頂點的角的位置關(guān)系呢？能否仿照同位角的定義給其他角命名呢？

生10：∠1和∠6由于處在截線的兩側(cè)，因此不屬于同位角，但是這兩個角都位于直線AB，CD的上方，因此可以把這兩個角的位置關(guān)系命名為同向錯角.

師：很好，根據(jù)生10的解釋，我們還能在圖3中找出其他同向錯角嗎？

生11：圖3中的同向錯角還有∠2和∠5，∠4和∠7，∠3和∠8.

師：很好，圖3中除了同向錯角和同位角這兩種位置關(guān)系外，還有其他位置關(guān)系嗎？

生12：圖3中還有∠1和∠7以及∠1和∠8的位置關(guān)系不屬于同位角和同向錯角. ∠1和∠7在截線EF的兩邊，并且∠1和∠7分別在直線AB和CD的外側(cè)，所以∠1和∠7的位置關(guān)系可以稱為異向錯角或外錯角.

師：非常好，那么圖3中還有其他外錯角嗎？

生13：還有∠2和∠8.

師：再觀察圖3，還有其他角的位置關(guān)系沒有討論嗎？

生14：∠1和∠8的位置關(guān)系與前面的都不一樣，因為∠1和∠8都在截線EF的同一邊，并且∠1和∠8分別在直線AB和CD的外側(cè)，兩個角這樣的位置關(guān)系，我們可以稱為同旁外角. ∠2和∠7也同樣是同旁外角.

師：剛才我們討論了“三線八角”中的同位角、同向錯角、外錯角以及同旁外角的關(guān)系，現(xiàn)在根據(jù)我們討論的結(jié)果，請大家填寫表1.

師：請同學(xué)們根據(jù)表1的統(tǒng)計，觀察圖3中還有哪些沒有公共頂點，也沒有討論過它們位置關(guān)系的一對角？

生15：根據(jù)表1的統(tǒng)計我們發(fā)現(xiàn)，∠3和∠5，∠3和∠6，∠4和∠5，∠4和∠6的位置關(guān)系還沒有討論.

師：下面讓我們根據(jù)討論同位角、同向錯角、外錯角、同旁外角的經(jīng)驗來分析以上四對角的位置關(guān)系.

生16：因為∠3和∠5在截線EF的兩側(cè)，并且∠3和∠5在被截線AB和CD的內(nèi)側(cè)，根據(jù)剛才的討論經(jīng)驗，可稱∠3和∠5為內(nèi)錯角. ∠4和∠6也是內(nèi)錯角.

生17：由于∠3和∠6在截線EF的同一邊，并且∠3和∠6在被截線AB和CD的內(nèi)側(cè)，因此可稱∠3和∠6為同旁內(nèi)角. ∠4和∠5也是同旁內(nèi)角.

師：很好，現(xiàn)在圖3中所有沒有公共頂點的角的位置關(guān)系我們都討論了. 接下來請同學(xué)們觀看表2，將一對角不同的位置關(guān)系填寫下來.

設(shè)計意圖? 本環(huán)節(jié)中，通過連續(xù)追問的方式引領(lǐng)學(xué)生利用分類討論思想探究“三線八角”中沒有公共頂點的一對角的位置關(guān)系，使學(xué)生理解同位角、同向錯角、內(nèi)錯角、外錯角以及同旁外角和同旁內(nèi)角的概念，并逐步掌握數(shù)學(xué)研究的一般方法，實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)和深度探究.

3. 總結(jié)歸納，提煉升華

師：今天我們用一節(jié)課的時間在合作探究中分析了三條線相交構(gòu)成的沒有公共頂點的一對角的位置關(guān)系——經(jīng)過分類討論一共找到了六種不同的位置關(guān)系，教材主要討論的是表3所示的三種不同的位置關(guān)系. 學(xué)習(xí)同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯角主要是為學(xué)習(xí)“平行線及其判定”做準(zhǔn)備，而外錯角、同旁外角、同向錯角這三種位置關(guān)系可以在平行線中根據(jù)已知的三種位置關(guān)系（同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯角）推導(dǎo)出來.

生18：剛剛老師提到了平行線，我突然想到三條線相交是不是還有其他情形呢？假設(shè)直線AB與直線CD相交，可以再構(gòu)成四個角，所以我覺得應(yīng)該是“三線十二角”，只有當(dāng)直線AB與直線CD不相交時，才是“三線八角”. 而要滿足直線AB與直線CD不相交，應(yīng)該就是這兩條直線平行.

師：生18思考得非常嚴(yán)密，假設(shè)直線AB與直線CD相交，就會構(gòu)成圖4所示的“三線十二角”，那么這十二個角之間又存在怎樣的位置關(guān)系呢？

生19：我們可以用研究圖3的方法，分類討論圖4中的角，即將其分成有公共頂點的角和沒有公共頂點的角兩大類. 根據(jù)已有知識，我們知道有公共頂點的角是對頂角或鄰補角，而沒有公共頂點的角的位置關(guān)系的確定關(guān)鍵是明確截線和兩個角的頂點以及邊的關(guān)系. 其中八個角的頂點與一條邊都在同一條直線上，這條直線就是截線，接下來再確定截線的方向.

師：很好，但是這種討論方法過于煩瑣，我們有無其他更加清晰的討論方法呢？

生20：圖4中的直線相交的情形比圖3更復(fù)雜，如果我們?nèi)匀话凑請D3的情形進行分類，顯得比較煩瑣. 我覺得可以截線和被截線分類. 例如，第一類是“EF是截線，AB，CD是被截線”；第二類是“CD是截線，AB，EF是被截線”，以此類推，這樣的分類討論會更加清晰.

師：非常好，同學(xué)們不僅學(xué)會了探究“三線八角”的方法，還總結(jié)和遷移了這種探究方法，能夠熟練運用分類討論思想，能靈活使用分類標(biāo)準(zhǔn)探討不同位置的角的關(guān)系，掌握了探究角的位置關(guān)系的“訣竅”，相信同學(xué)們可以將這種討論探究問題的方法應(yīng)用到更多的數(shù)學(xué)問題中.

課例評價

在講述同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角的概念時，教師一般會先直接講述概念，使學(xué)生初步認(rèn)識不同位置的角的關(guān)系，接著通過練習(xí)讓學(xué)生掌握和鞏固這些概念. 這樣的教學(xué)方法能夠使學(xué)生基本掌握本節(jié)課的知識點，經(jīng)過反復(fù)練習(xí)也許能達(dá)到熟練的程度. 但是這樣的教學(xué)方法始終使學(xué)生處于被動接受狀態(tài)，學(xué)生只能被教師牽著走，通過強行記憶掌握知識，沒有真正理解“三線八角”的本質(zhì)以及掌握研究“三線八角”的數(shù)學(xué)思想和方法，缺少思維鍛煉，無法點燃學(xué)習(xí)熱情，喪失了學(xué)習(xí)興趣. 結(jié)合本節(jié)課案例，筆者有以下幾點感想.

1. 滲透數(shù)學(xué)思想，提升思維能力

講解“三線八角”的內(nèi)容時，教師引導(dǎo)學(xué)生分類討論圖2和圖3中的角，不僅使學(xué)生深刻掌握了分類標(biāo)準(zhǔn)和基礎(chǔ)，還幫助學(xué)生提升了思維能力.

2. 整合教材內(nèi)容，提升教學(xué)效果

教師靈活使用教材，沒有按照教材中的內(nèi)容按部就班地教學(xué)，而是依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點進行整合和設(shè)計，踐行“用教材教，而不是教教材”的教育理念. 同時教師對教材中的三種角的位置關(guān)系進一步進行闡述，拓寬了學(xué)生的視野，使學(xué)生能夠自然地領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想方法，不僅知其然而且知其所以然.

教材是教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的工具，是知識的載體，是師生互動的橋梁和紐帶. 在教學(xué)中，教師要研究教材的內(nèi)容和結(jié)構(gòu)，將教材體系轉(zhuǎn)化為學(xué)生的學(xué)習(xí)體系，使之滿足學(xué)生學(xué)習(xí)的要求，讓學(xué)生煥發(fā)活力，讓課堂彰顯靈性.