動(dòng)靜相融通 圖形顯本質(zhì)

戴惠

［摘? 要］ 以大單元整體化教學(xué)對(duì)“平行四邊形復(fù)習(xí)課”進(jìn)行設(shè)計(jì)，從圖形變換的角度整合平行四邊形與圖形變換知識(shí)，加深學(xué)生對(duì)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念以及它們之間的關(guān)系的理解.學(xué)生在折A4紙的實(shí)踐操作中進(jìn)行直觀想象、合情推理、演繹推理，形成平行四邊形的整體認(rèn)識(shí)，建構(gòu)自己的大單元圖譜，逐漸形成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 大單元；平行四邊形；圖形變換；核心素養(yǎng)

在平行四邊形復(fù)習(xí)課中，很多一線教師都會(huì)有知識(shí)點(diǎn)多且散的教學(xué)困惑. 筆者嘗試從圖形變換的視角，將圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折與平行四邊形進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，引導(dǎo)學(xué)生了解平行四邊形相關(guān)知識(shí)的產(chǎn)生與來(lái)源、結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生建構(gòu)平行四邊形的知識(shí)結(jié)構(gòu)大單元圖譜，培養(yǎng)學(xué)生用動(dòng)態(tài)的眼光看待幾何問(wèn)題，形成科學(xué)的思維模式. 本節(jié)課收到了較好的教學(xué)效果，現(xiàn)將教學(xué)與思考予以分享，供研討.

教學(xué)流程概述

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）：以動(dòng)成圖，重識(shí)變換

問(wèn)題1如圖1，線段AB=6，將線段AB平移4個(gè)單位得到線段A′B′，連接AA′，BB′，

（1）求證：四邊形ABB′A′是平行四邊形；

（2）求四邊形ABB′A′的周長(zhǎng)；

（3）若∠A=60°，求四邊形ABB′A′的面積.

教學(xué)預(yù)設(shè)學(xué)生易得AB=A′B′，AB∥A′B′，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等證得平行四邊形，不會(huì)繼續(xù)思考有無(wú)其他證明方法. 學(xué)生對(duì)平移的基本特征中“對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行且相等”的理解運(yùn)用不到位，教師用幾何畫(huà)板演示線段AB平移的過(guò)程，啟發(fā)學(xué)生得到AA′=BB′，AA′∥BB′，進(jìn)而復(fù)習(xí)兩組對(duì)邊分別平行、兩組對(duì)邊分別相等都是證明平行四邊形的方法. 學(xué)生能夠輕松答對(duì)問(wèn)題（2）（3），復(fù)習(xí)平行四邊形周長(zhǎng)和面積公式的同時(shí)，活躍本節(jié)課的氣氛.

問(wèn)題2如圖3，將△OAB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到△OA′B′，連接AB′，BA′，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為180°時(shí)，

（1）求證：四邊形ABA′B′是平行四邊形；

（2）△OAB滿足什么條件時(shí)，平行四邊形是矩形、菱形、正方形？

教學(xué)預(yù)設(shè)根據(jù)三角形旋轉(zhuǎn)可得△OAB≌△OA′B′，從而得到OA=OA′，OB=OB′，但這里不能說(shuō)明四邊形ABA′B′是平行四邊形.? 在學(xué)生出錯(cuò)后，教師用幾何畫(huà)板演示△OAB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過(guò)程，強(qiáng)調(diào)條件中旋轉(zhuǎn)角為180°時(shí)，保證A，O，A′三點(diǎn)共線，B，O，B′三點(diǎn)共線，才能證得平行四邊形，復(fù)習(xí)平行四邊形的中心對(duì)稱性和第四種判定方法：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形. 在證明問(wèn)題2（1）的基礎(chǔ)上，學(xué)生能很快解決問(wèn)題2（2），復(fù)習(xí)矩形、菱形、正方形是特殊的平行四邊形.

設(shè)計(jì)意圖區(qū)別于先知識(shí)回顧，再習(xí)題練評(píng)的傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)課教學(xué)模式，以動(dòng)成圖，助力學(xué)生重新認(rèn)識(shí)圖形邊、角之間的關(guān)系. 師生在一起解決問(wèn)題的過(guò)程中，喚醒學(xué)生記憶，激活學(xué)生思維，重構(gòu)學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu). 同時(shí)借助幾何畫(huà)板的演示讓學(xué)生感悟圖形平移、旋轉(zhuǎn)變化的基本特征，從動(dòng)態(tài)的角度再次認(rèn)識(shí)平行四邊形的產(chǎn)生與來(lái)源，掌握矩形、菱形、正方形是特殊的平行四邊形. 在加深學(xué)生對(duì)矩形、菱形、正方形性質(zhì)和判定的理解的同時(shí)，讓學(xué)生體會(huì)從一般到特殊的研究問(wèn)題的方法，提升學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）：以折為媒，探求本質(zhì)

活動(dòng)1拿出手邊的A4紙，將A4紙抽象成矩形ABCD，請(qǐng)你折出對(duì)稱中心O.

教學(xué)預(yù)設(shè)學(xué)生容易折出圖5、圖6的兩種折法，在圖6中，學(xué)生有點(diǎn)O就是對(duì)稱中心的直觀猜想，但在說(shuō)理方面解釋不清. 圖7、圖8的折法很少學(xué)生能夠折出，學(xué)生從整體對(duì)稱性的角度認(rèn)識(shí)圖形的意識(shí)不強(qiáng).

設(shè)計(jì)意圖數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活， A4紙是學(xué)生日常生活中熟悉的材料，折紙活動(dòng)是學(xué)生喜歡的游戲，將A4紙抽象成矩形，轉(zhuǎn)變?yōu)榻虒W(xué)資源. 學(xué)生人人參與折紙，在手腦協(xié)同的過(guò)程中，復(fù)習(xí)鞏固矩形、菱形的中心對(duì)稱性和軸對(duì)稱性，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.

活動(dòng)2在活動(dòng)1的基礎(chǔ)上，請(qǐng)你折出以點(diǎn)O為對(duì)稱中心的平行四邊形.

教學(xué)預(yù)設(shè)不少學(xué)生能夠很快反應(yīng)出圖6、圖7、圖8折出來(lái)的四邊形AECF就是平行四邊形，教學(xué)時(shí)安排小組討論，得到圖9、圖10、圖11的折法. 請(qǐng)小組代表在全班展示，并說(shuō)出證明方法，發(fā)現(xiàn)當(dāng)折痕過(guò)對(duì)稱中心時(shí)，根據(jù)對(duì)角線互相平分證得四邊形是平行四邊形.

活動(dòng)3在活動(dòng)2的基礎(chǔ)上，如何折出菱形？

教學(xué)預(yù)設(shè)學(xué)生根據(jù)活動(dòng)1、2的經(jīng)驗(yàn)，自然聯(lián)想到只要保證過(guò)對(duì)稱中心O的兩條折痕互相垂直，就可以得到菱形.

設(shè)計(jì)意圖根據(jù)矩形的對(duì)稱性設(shè)置問(wèn)題，將折菱形的問(wèn)題細(xì)化，從一般的平行四邊形到特殊的菱形，讓學(xué)生經(jīng)歷由一般到特殊的分析問(wèn)題的方法. 同時(shí)在實(shí)際操作中，學(xué)生經(jīng)歷了觀察猜想、推理驗(yàn)證的活動(dòng)過(guò)程，在自主、合作、交流中不斷優(yōu)化方法，提升思維，形成平行四邊形的整體認(rèn)識(shí).

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）：以題為介，加深理解

活動(dòng)4A4紙的長(zhǎng)和寬分別為210 mm×297 mm，我們近似取20 cm×30 cm，如圖12，在折出的菱形AECF中，你可以提出哪些問(wèn)題，如何解決？

教學(xué)預(yù)設(shè)學(xué)生提出求線段AC，BE，AE，EF的長(zhǎng)度，求菱形AECF的面積、周長(zhǎng)等問(wèn)題. 關(guān)注學(xué)生的解題方法，鼓勵(lì)一題多解，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)幾何圖形中求線段長(zhǎng)的常用方法：勾股定理列方程、等積法、三角函數(shù)、相似等.

設(shè)計(jì)意圖對(duì)于開(kāi)放性的試題，每位學(xué)生都能發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題，在一個(gè)個(gè)問(wèn)題得到解決后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖12中所有的量都可求. 在此過(guò)程中，學(xué)生從做題者變成出題者，增加了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.

活動(dòng)5如圖13，老師將A4紙沿AC對(duì)折，點(diǎn)E，F(xiàn)為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接AE，AF，四邊形AECF是菱形嗎？連接B′D，你又可以提出哪些新問(wèn)題呢？

教學(xué)預(yù)設(shè)由軸對(duì)稱性質(zhì)，得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)E，F(xiàn)的連線被折痕AC垂直平分，只需證明四邊形AECF是平行四邊形就可證得菱形. 或者根據(jù)對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角相等，易證四條邊相等，從而證得菱形. 學(xué)生很容易提出求線段B′D的問(wèn)題，但在解決上遇到困難. 根據(jù)上一問(wèn)總結(jié)的求線段長(zhǎng)的方法，發(fā)現(xiàn)B′D∥AC，根據(jù)△ACF∽△B′DF，求得B′D.

設(shè)計(jì)意圖圖12、圖13的折法不同，但得到的菱形是相同的，再次鞏固菱形的判定方法. 幾何圖形添加一條線，圖形變復(fù)雜，研究的量就會(huì)多很多，此時(shí)從圖形整體的角度，從中心對(duì)稱性和軸對(duì)稱性的角度思考問(wèn)題是一條很好的思路，引導(dǎo)學(xué)生從更高層面重構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提升邏輯推理能力.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四）：歸納總結(jié)，提升能力

教學(xué)預(yù)設(shè)學(xué)生根據(jù)折對(duì)稱中心、折平行四邊形、折菱形、求線段長(zhǎng)等經(jīng)歷，總結(jié)知識(shí)點(diǎn)；教師引導(dǎo)學(xué)生從動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題解題策略、圖形變換等角度總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容.

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生素養(yǎng)的提升來(lái)自課后的總結(jié)反思. 學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐中鞏固知識(shí)，提升能力.

教學(xué)思考

1. “動(dòng)靜融通”彰顯圖形本質(zhì)

幾何學(xué)習(xí)需要突出圖形的形成過(guò)程，關(guān)注知識(shí)應(yīng)用與發(fā)展的完整過(guò)程. 本節(jié)課之前，學(xué)生對(duì)平行四邊形以及特殊的平行四邊形的認(rèn)識(shí)比較單一，能夠記憶它們的性質(zhì)與判定，但不會(huì)靈活運(yùn)用. 本節(jié)課通過(guò)線段的平移、三角形繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)、矩形折紙，在整合平行四邊形與圖形變換知識(shí)的同時(shí)，師生共同復(fù)習(xí)平行四邊形這一章節(jié)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn). 教師以平行四邊形為依托，在圖形變換中以題帶點(diǎn)，帶領(lǐng)學(xué)生再次認(rèn)識(shí)矩形、菱形、正方形是特殊的平行四邊形. 在解決問(wèn)題的過(guò)程中學(xué)生進(jìn)行多元化的問(wèn)題拓展，復(fù)習(xí)三大變換的性質(zhì)和平行四邊形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，重構(gòu)知識(shí)體系.

2. “大單元結(jié)構(gòu)教學(xué)”設(shè)計(jì)幾何復(fù)習(xí)課

溫故而知新. 作為復(fù)習(xí)課，在“溫故”的基礎(chǔ)上如何引導(dǎo)學(xué)生“知新”，如何將復(fù)習(xí)課上得讓學(xué)生感興趣，并且讓每一位學(xué)生都能有所收獲，是備課時(shí)筆者遇到的幾個(gè)難題. 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（下稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出：在教學(xué)中要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系［1］. 根據(jù)大單元整體教學(xué)理念，將初中階段所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行合理整合，可以有效提高幾何復(fù)習(xí)課的教學(xué)效率. 此時(shí)需要教師回歸課本，研究《標(biāo)準(zhǔn)》，并結(jié)合本校學(xué)生情況，確定教學(xué)目標(biāo). 在本節(jié)課中，筆者以圖形變換為主線，綜合考慮不同層次的學(xué)生學(xué)情，設(shè)置出四個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié). 每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)均以基礎(chǔ)性問(wèn)題為起點(diǎn)，讓學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐中經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決問(wèn)題的過(guò)程，梳理了知識(shí)、訓(xùn)練了技能，并在最后的綜合探究中加深了對(duì)知識(shí)的理解. 整節(jié)課筆者引導(dǎo)學(xué)生從“知識(shí)—方法—思想”的角度重新審視平面幾何問(wèn)題，對(duì)已學(xué)知識(shí)進(jìn)行重組和整合，優(yōu)化原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的深度思維，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

3. “做數(shù)學(xué)”助力核心素養(yǎng)的發(fā)展

史寧中說(shuō)：“做數(shù)學(xué)”的核心在于“做”，實(shí)踐“做中看”“做中思”“做中說(shuō)”“做中悟”的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)“促進(jìn)認(rèn)知，讓學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)；激發(fā)情感，讓學(xué)生愿學(xué)數(shù)學(xué)；啟迪智慧，讓學(xué)生慧學(xué)數(shù)學(xué)；塑造品格，讓學(xué)生品學(xué)數(shù)學(xué)”. 教師需要充分發(fā)掘日常生活中的教學(xué)資源，帶領(lǐng)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”. 如本課中的將A4紙抽象成矩形，學(xué)生在折對(duì)稱中心、折平行四邊形、折菱形的過(guò)程中思考背后的原理，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言向全班同學(xué)表達(dá)自己的觀點(diǎn). 在折紙活動(dòng)中，人人都可以折，人人都可以提出一些問(wèn)題，獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.? 教學(xué)模式從教師的教轉(zhuǎn)變成學(xué)生的學(xué)，教師對(duì)學(xué)生提出的稍難的題進(jìn)行啟發(fā)引導(dǎo)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，培養(yǎng)了空間觀念、幾何直觀、邏輯推理等能力，發(fā)展了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.