數(shù)學(xué)試題的創(chuàng)新情境類(lèi)型與應(yīng)用

廖如舟

? 浙江省衢州第二中學(xué)

新教材(人民教育出版社2019年國(guó)家教材委員會(huì)專(zhuān)家委員會(huì)審核通過(guò))、新課程〔《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》〕、新高考的“三新”對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革的四點(diǎn)啟示是價(jià)值導(dǎo)向、綜合化、情境化與開(kāi)放化.

在高考數(shù)學(xué)試題的命制中,合適的問(wèn)題情境是考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體之一.數(shù)學(xué)問(wèn)題創(chuàng)新情境包括現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境等,每種情境又可以分為數(shù)學(xué)的情境、關(guān)聯(lián)的情境、綜合的情境等.一個(gè)情境是否合適,并不僅僅取決于情境本身,而在于所提出的問(wèn)題是否能夠揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì),以及是否能夠有效考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等.

本文中結(jié)合高考數(shù)學(xué)試題命制中常見(jiàn)的情境類(lèi)型及其應(yīng)用加以實(shí)例剖析,展示情境問(wèn)題的特色與應(yīng)用.

1 “新定義”情境

“新定義”情境是基于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題背景或?qū)W術(shù)問(wèn)題背景,給出一些新概念,提出一些新問(wèn)題等,要求學(xué)生理解并主動(dòng)思考,建立新知識(shí)與已掌握知識(shí)之間的聯(lián)系,進(jìn)而分析和解決問(wèn)題.

例1(2023屆浙江省寧波市高考數(shù)學(xué)一模試卷)(多選題)如果定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:對(duì)任意x>y,有f2(x)≤f(y),則稱(chēng)其為“好函數(shù)”,所有“好函數(shù)”f(x)形成集合Γ.下列結(jié)論正確的有( ).

A.任意f(x)∈Γ,均有f(x)≥0

B.存在f(x)∈Γ及x0∈R,使f(x0)=2 022

C.存在實(shí)數(shù)M,對(duì)于任意f(x)∈Γ,均有f(x)≤M

D.存在f(x)∈Γ,對(duì)于任意x∈R,均有f(x)≥x

分析：從題設(shè)中的“新定義”情境入手,結(jié)合“好函數(shù)”的定義及各選項(xiàng)中的具體條件,通過(guò)歸納推理、反證法的應(yīng)用等來(lái)分析與求解.

解析：對(duì)于選項(xiàng)A,任意f(x)∈Γ,取y>x,則有f(x)≥f2(y)≥0,即f(x)≥0.故選項(xiàng)A正確.

對(duì)于選項(xiàng)B,假如存在f(x)∈Γ及x0∈R,使f(x0)=2 022.

令n→+∞,得f(x0-δ)=+∞,這表明δ→0,f(x)在x0處無(wú)定義,與f(x)定義在R上矛盾.故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)C,利用反證法,反設(shè)結(jié)論對(duì)于任意M∈R,存在f(x)∈Γ,使得f(x)>M,那么取M=2 021,存在x0∈R,使得f(x0)=2 022>2 021,由選項(xiàng)B中的分析知有矛盾,所以假設(shè)不成立,因此原命題為真.故選項(xiàng)C正確.

對(duì)于選項(xiàng)D,若此選項(xiàng)成立,則f(x)→+∞(x→+∞),與選項(xiàng)C中的結(jié)論矛盾.故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選擇答案:AC.

點(diǎn)評(píng)：本題以“新定義”情境來(lái)合理創(chuàng)設(shè),結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)、抽象函數(shù)與函數(shù)不等式等知識(shí),有效考查邏輯推理等能力及函數(shù)與方程思想、分類(lèi)討論思想等,特別是歸納推理、反證法等的應(yīng)用,導(dǎo)向數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.

“新定義”情境試題要求考生能夠借助數(shù)量關(guān)系與空間形式,直接抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念和規(guī)則等,進(jìn)而歸納并形成簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題,合理利用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)方法解決簡(jiǎn)單問(wèn)題,有效考查數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

2 “新圖形”情境

“新圖形”情境是基于真實(shí)的事物或事物的背景,提取其中主要的數(shù)學(xué)特征等,建立相應(yīng)的幾何模型,形成圖形與數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系,要求學(xué)生在理解模型的基礎(chǔ)上運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

例2〔福建省泉州市2023屆高中畢業(yè)班質(zhì)量監(jiān)測(cè)(三)數(shù)學(xué)試卷(3月)〕圖1中,正方體ABCD-EFGH的每條棱與正八面體MPQRSN(八個(gè)面均為正三角形)的一條棱垂直且互相平分.將該正方體的頂點(diǎn)與正八面體的頂點(diǎn)連接,得到圖2的十二面體,該十二面體能獨(dú)立密鋪三維空間.若AB=1,則點(diǎn)M到直線RG的距離等于( ).

圖1

圖2

分析：從題設(shè)中的“新圖形”情境入手,結(jié)合空間圖形的結(jié)構(gòu)特征,借助空間中點(diǎn)、線、面的關(guān)系與對(duì)應(yīng)的性質(zhì)、定理等加以合理推理與論證,通過(guò)相應(yīng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)確定點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題.

圖3

解析：如圖3所示,設(shè)AB與MP交于點(diǎn)K,RN與GH交于點(diǎn)T,連接KT.

依題意,由圖形特征,在正八面體MPQRSN中,MP=PN=NR=RM.

由對(duì)稱(chēng)性可知MN=PR,所以四邊形MPNR是正方形,則MR⊥RN.

又MR⊥CD,CD∥GH,所以MR⊥GH.

而RN∩GH=T,所以MR⊥平面RGNH,所以MR⊥RG.

故選擇答案:A.

點(diǎn)評(píng)：本題以“新圖形”情境來(lái)合理創(chuàng)設(shè),主要考查基本立體圖形,空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系與度量關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),有效考查空間想象、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解等能力及化歸與轉(zhuǎn)化等思想,體現(xiàn)基礎(chǔ)性,應(yīng)用性,導(dǎo)向?qū)χ庇^想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.

“新圖形”情境試題,要求考生能夠在熟悉的情境中,借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,體會(huì)圖形與圖形、圖形與數(shù)量的關(guān)系,或借助圖形的性質(zhì)和變換發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律,或通過(guò)圖形直觀認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題等,有效考查直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3 “新公式”情境

“新公式”情境類(lèi)似于數(shù)學(xué)的“新定義”情境,只是更加聚焦于數(shù)學(xué)學(xué)科中的公式、法則等,要求學(xué)生調(diào)動(dòng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等,在理解新公式的基礎(chǔ)上解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題.

表1

Y01P1-pp

分析：從題設(shè)中的“新公式”情境入手,結(jié)合X,Y的散度D(X‖Y)創(chuàng)新公式的給出及對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)信息,利用創(chuàng)新公式來(lái)合理構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,利用數(shù)學(xué)運(yùn)算與函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新公式所對(duì)應(yīng)關(guān)系式的取值范圍的求解.

故填答案:[0,+∞).

點(diǎn)評(píng)：本題以“新公式”情境來(lái)合理創(chuàng)設(shè),結(jié)合創(chuàng)新定義的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì),借助數(shù)據(jù)的分析與處理,考查概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)、函數(shù)的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),導(dǎo)向?qū)?shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.

“新公式”情境試題,要求考生能夠在熟悉的情境中,借助一些事實(shí)和命題來(lái)合理推理分析,用歸納或類(lèi)比的方法,發(fā)現(xiàn)數(shù)量或圖形的性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系或圖形關(guān)系,了解數(shù)學(xué)命題的條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系,掌握一些基本命題與定理的證明,并有條理地表述論證過(guò)程等,能有效考查邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

在“三新”(新教材、新課程、新高考)背景下,進(jìn)一步落實(shí)新改革理念,積極貫徹《總體方案》要求.數(shù)學(xué)創(chuàng)新情境類(lèi)試題成為考查考生“四基”的一個(gè)新陣地,此類(lèi)新情境試題的題量與分值大體占全卷題量與分值的20%左右,難度控制在0.3～0.7,可以有效區(qū)別各層次考生的數(shù)學(xué)能力與核心素養(yǎng),進(jìn)行合理化的高考選拔,實(shí)現(xiàn)新高考改革的導(dǎo)向與引領(lǐng)作用,推進(jìn)高中教育的全面改革與創(chuàng)新.Z