對(duì)數(shù)函數(shù)的單元教學(xué):知識(shí)全面梳理,應(yīng)用巧妙解讀*

白亞蘭

? 甘肅省張掖市第二中學(xué)

對(duì)數(shù)函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的一種基本初等函數(shù),是最為重要的一個(gè)基本函數(shù)模型,也是每年高考數(shù)學(xué)必考的重點(diǎn)函數(shù)類型與內(nèi)容之一.以對(duì)數(shù)函數(shù)為問(wèn)題場(chǎng)景,結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)與指數(shù)之間的轉(zhuǎn)化、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)等知識(shí)加以全面梳理,以細(xì)致周到的應(yīng)用來(lái)創(chuàng)設(shè),全面針對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的單元教學(xué)與學(xué)習(xí)進(jìn)行合理設(shè)計(jì)與研究.

1 函數(shù)概念問(wèn)題

分析：結(jié)合分段函數(shù)場(chǎng)景,融入含參的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù),利用函數(shù)值的應(yīng)用來(lái)求解對(duì)應(yīng)的參數(shù)值,并結(jié)合不等式的確立,通過(guò)分類討論思想來(lái)分析與解決涉及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的基本概念與基本應(yīng)用問(wèn)題.

點(diǎn)評(píng)：涉及對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式、定義域、值域以及函數(shù)值的求解等基本問(wèn)題,是基于對(duì)數(shù)函數(shù)模塊的基礎(chǔ)知識(shí)之一,要求熟練掌握并會(huì)加以應(yīng)用.

2 函數(shù)圖象問(wèn)題

例2〔2022年內(nèi)蒙古通遼市高考數(shù)學(xué)模擬試卷(4月份)〕若函數(shù)f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0,且a≠1)在R上既是奇函數(shù)又是減函數(shù),則函數(shù)g(x)=loga|x+k|的大致圖象是( ).

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性來(lái)確定相關(guān)參數(shù)的值,并利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)確定參數(shù)的取值范圍,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域與單調(diào)性來(lái)判斷復(fù)雜函數(shù)的圖象.

解析：若函數(shù)f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0,且a≠1)在R上是奇函數(shù),則有f(0)=0,即(k-1)-1=0,解得k=2,此時(shí)函數(shù)f(x)=ax-a-x為奇函數(shù),滿足條件.

又函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù),則知0

所以g(x)=loga|x+k|=loga|x+2|,其定義域?yàn)閧x|x≠-2},則知函數(shù)g(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞增,在(-2,+∞)上單調(diào)遞減,其大致圖象為選項(xiàng)B中的函數(shù)圖象

故選擇答案:B.

點(diǎn)評(píng)：在判斷指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用中的函數(shù)圖象問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵要通過(guò)相關(guān)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等來(lái)確定參數(shù)的值或取值范圍,由此及彼,合理過(guò)渡,實(shí)現(xiàn)兩個(gè)基本初等函數(shù)之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化.

3 大小比較問(wèn)題

A.c

C.a

分析：以對(duì)數(shù)函數(shù)為場(chǎng)景,結(jié)合對(duì)數(shù)值的構(gòu)建來(lái)判斷代數(shù)式的大小比較問(wèn)題,破解的關(guān)鍵就是直接利用對(duì)數(shù)運(yùn)算加以合理變形,并借助對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)合理放縮處理,從而得以正確判斷.

故選擇答案:C.

點(diǎn)評(píng)：在處理此類大小比較及其相關(guān)應(yīng)用問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵在于借助對(duì)數(shù)運(yùn)算加以合理變形與轉(zhuǎn)化,結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、不等式的基本性質(zhì)以及其他一些相關(guān)的知識(shí)加以合理放縮.

4 函數(shù)模型問(wèn)題

例4(多選題)已知函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0,且f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=-1,下列說(shuō)法正確的是( ).

A.f(1)=0

B.函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減

分析：根據(jù)題設(shè)條件,通過(guò)關(guān)系式f(xy)=f(x)+f(y)的結(jié)構(gòu)特征及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)loga(xy)=logax+logay加以合理聯(lián)想,化抽象為具體,并結(jié)合題設(shè)中的相關(guān)條件合理配湊對(duì)數(shù)函數(shù)中的相關(guān)系數(shù),進(jìn)而構(gòu)建特殊對(duì)數(shù)函數(shù)模型,利用特殊化處理來(lái)巧妙解決問(wèn)題.

解析：令函數(shù)f(x)=log0.5x,則該函數(shù)f(x)滿足題設(shè)條件.

于是f(1)=0,且f(x)在R上是單調(diào)遞減函數(shù),故選項(xiàng)A,B正確.

故選擇答案:ABD.

點(diǎn)評(píng)：借助對(duì)數(shù)函數(shù)模型來(lái)特殊化解決此類問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵要熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征以及與之相關(guān)的運(yùn)算特征,其中對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=logax(a>0,a≠1)中的底數(shù)決定函數(shù)的單調(diào)性,特別地,真數(shù)可以與常數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)募訙p配湊來(lái)決定常數(shù)情況,根據(jù)具體場(chǎng)景加以合理正確選取.特別要注意的是,該方法對(duì)于選擇題而言,雖可快速作出選擇,但不夠嚴(yán)謹(jǐn).

5 實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

例5〔2023年四川省雅安市部分學(xué)校數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷(4月份)〕住房的許多建材都會(huì)釋放甲醛.甲醛是一種無(wú)色、有著刺激性氣味的氣體,對(duì)人體健康有著極大的危害.新房入住時(shí),空氣中甲醛濃度不能超過(guò)0.08 mg/m3,否則,該新房達(dá)不到安全入住的標(biāo)準(zhǔn).若某套住房自裝修完成后,通風(fēng)x(x=1,2,3,……,50)周與室內(nèi)甲醛濃度y(單位:mg/m3)之間近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=0.48-0.1f(x)(x∈N*),其中f(x)=loga[k(x2+2x+1)](k>0,x=1,2,3,……,50),且f(2)=2,f(8)=3,則該住房裝修完成后要達(dá)到安全入住的標(biāo)準(zhǔn),至少需要通風(fēng)( ).

A.17周 B.24周 C.28周 D.26周

分析：根據(jù)題設(shè)條件,結(jié)合已知的函數(shù)值,合理構(gòu)建相應(yīng)的關(guān)系式,通過(guò)變形與轉(zhuǎn)化來(lái)確定并求解對(duì)應(yīng)的參數(shù)值,進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式,并結(jié)合不等式的構(gòu)建與應(yīng)用來(lái)求解.

解析：依題知f(x)=loga[k(x2+2x+1)]=loga[k(x+1)2]=logak+2loga(x+1).

由f(2)=2,f(8)=3,可得logak+2loga(2+1)=2,logak+2loga(8+1)=3.

以上兩式對(duì)應(yīng)相減,可得loga9=1,解得a=9,則有l(wèi)ogak+2=3,解得k=9.

所以f(x)=1+2log9(x+1).

若該住房裝修完成后要達(dá)到安全入住的標(biāo)準(zhǔn),則有0.48-0.1f(x)≤0.08,可得f(x)≥4,即1+2log9(x+1)≥4,解得x≥26,故至少需要通風(fēng)26周.

故選擇答案:D.

點(diǎn)評(píng)：結(jié)合實(shí)際應(yīng)用中的創(chuàng)新情境設(shè)置,合理構(gòu)建與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)模型,合理結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算與應(yīng)用、對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式與基本性質(zhì)等來(lái)分析與處理,并反饋到實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中去,給出科學(xué)的決策或分析.

作為高考數(shù)學(xué)中最重要的一種基本初等函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)有其自身的顯著特點(diǎn),同時(shí)又可以很好地聯(lián)系起冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等,串聯(lián)起抽象函數(shù)和復(fù)合函數(shù),基本性質(zhì)與結(jié)構(gòu)特征明顯,對(duì)知識(shí)的理解與掌握有其獨(dú)特的要求.全面梳理知識(shí)體系,構(gòu)建完整應(yīng)用題型,從知識(shí)入手,滲透思想方法,融入數(shù)學(xué)能力,形成數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系與解題思維,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).Z