基于哈特曼探測(cè)器的光波相位三維顯示方法

徐 雷， 陸欣怡， 李靜妮， 孫會(huì)娟， 樊麗娜， 陸煥鈞， 毛紅敏*， 曹召良*

（1. 蘇州科技大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 江蘇省微納熱流技術(shù)與能源應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 蘇州 215009；2. 北京聯(lián)合大學(xué) 數(shù)理部， 北京 100101）

1 引言

夏克-哈特曼波前探測(cè)器是一種由微透鏡陣列和CCD 相機(jī)組成的光學(xué)測(cè)量設(shè)備［1］，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、操作簡(jiǎn)便、抗干擾能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，在自適應(yīng)光學(xué)領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用［2-8］。近年來(lái)，哈特曼探測(cè)器還廣泛應(yīng)用于大氣湍流測(cè)量、眼科應(yīng)用和光學(xué)檢測(cè)等領(lǐng)域。在大氣湍流測(cè)量方面，哈特曼探測(cè)器用于測(cè)量大氣湍流的大氣相干長(zhǎng)度、格林伍德頻率等參數(shù)，為大氣湍流強(qiáng)度的評(píng)估提供支撐數(shù)據(jù)［9-13］。在眼科應(yīng)用中，哈特曼波前探測(cè)器能夠?qū)崟r(shí)探測(cè)人眼像差，進(jìn)而通過(guò)波前校正器進(jìn)行像差校正，以實(shí)現(xiàn)高分辨率視網(wǎng)膜成像［14-15］。其還用于人眼像差的測(cè)量，通過(guò)求解Zernike 多項(xiàng)式以探測(cè)人眼高階像差［16-17］。在光學(xué)檢測(cè)領(lǐng)域，哈特曼探測(cè)器可以用于大口徑平面鏡面形的高精度檢測(cè)［18］，還廣泛應(yīng)用于光學(xué)元件的像差檢測(cè)，能測(cè)量同一鏡片不同區(qū)域的波前像差以及相同區(qū)域不同鏡片的波前像差［19-20］。

綜上所述，目前哈特曼探測(cè)器主要應(yīng)用在不同領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)像差探測(cè)和大氣湍流參數(shù)測(cè)量。為此，本文擬進(jìn)一步拓寬其應(yīng)用領(lǐng)域，以期利用哈特曼探測(cè)器的波前探測(cè)功能，實(shí)現(xiàn)光的相位的三維立體顯示。光是一種電磁波，具有振幅和相位。一般而言，其振幅比較容易測(cè)量和觀測(cè)，因?yàn)槿搜酆透鞣N探測(cè)器都是振幅敏感型器件。但是，光的相位卻無(wú)法直接觀測(cè)，這極大地影響了人們對(duì)光的全面認(rèn)識(shí)和理解。邁克爾遜干涉儀等基于雙光束干涉的方法，雖然可以采用干涉條紋展示光的相位分布，但是極易受到振動(dòng)等環(huán)境的干擾，對(duì)實(shí)驗(yàn)條件要求苛刻，且成本較高。

本文基于哈特曼探測(cè)器可以對(duì)光束進(jìn)行相位測(cè)量且對(duì)振動(dòng)環(huán)境不敏感的特點(diǎn)，研究實(shí)現(xiàn)光波相位的三維顯示方法并研制出相位三維顯示系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)光的相位的三維顯示，便于研究者直觀觀測(cè)光的相位分布。

2 哈特曼探測(cè)器的相位探測(cè)能力

2.1 哈特曼探測(cè)器的工作原理

圖 1 單個(gè)子孔徑光斑的質(zhì)心計(jì)算示意圖Fig.1 Schematic diagram of single subaperture spot centroid calculation

哈特曼探測(cè)器是由CCD 相機(jī)和微透鏡陣列組成的光學(xué)測(cè)量設(shè)備。微透鏡陣列由N×N個(gè)大小相同的微透鏡構(gòu)成。每個(gè)微透鏡把不同區(qū)域光波會(huì)聚在焦平面上，形成光斑陣列，由CCD 相機(jī)進(jìn)行探測(cè)。平面波入射時(shí)，在焦平面上形成分布均勻的光斑；當(dāng)波面發(fā)生畸變時(shí)，焦平面上的光斑會(huì)偏離中心位置，如圖1 所示。假設(shè)平行光入射時(shí)，參考質(zhì)心的坐標(biāo)為（Xc0，Yc0）；待測(cè)波面入射時(shí)，根據(jù)單個(gè)微透鏡光斑質(zhì)心位置（Xc，Yc）可以計(jì)算出光斑質(zhì)心在X和Y方向上的偏移：

ΔX=Xc-Xc0，ΔY=Yc-Yc0。

單個(gè)微透鏡子孔徑對(duì)應(yīng)局部波前X方向和Y方向上的斜率分別為SX和SY：

其中：Φ為波前相位，f0為微透鏡焦距。因此，根據(jù)質(zhì)心偏移量便可以求出入射到各個(gè)微透鏡的波前斜率。

根據(jù)測(cè)量得到的波前斜率，可以利用Zernike多項(xiàng)式的模式法重構(gòu)波前［21］。此時(shí)，其波前如式（3）所示：

其中：ak是Zernike 多項(xiàng)式系數(shù)，Zk（x，y）為第k項(xiàng)Zernike。Zernike多項(xiàng)式的系數(shù)可由式（4）求解［21］：

Q中的元素為Zernike 在波前探測(cè)器子孔徑位置上的導(dǎo)數(shù)。把求得的Zernike 多項(xiàng)式系數(shù)ak代入公式（3）即可獲得被測(cè)光束的相位分布。此外，Zernike 多項(xiàng)式每一項(xiàng)的系數(shù)都代表一種像差，如a3為離焦量系數(shù)，a4為X向初級(jí)像散項(xiàng)系數(shù)，a5為Y向初級(jí)像散項(xiàng)系數(shù)。

2.2 屈光不正探測(cè)能力

為了便于理解，本文采用生活中常見(jiàn)的屈光不正矯正眼鏡來(lái)改變光束的相位分布并進(jìn)行三維顯示。屈光不正眼鏡有近視鏡、遠(yuǎn)視鏡和散光鏡，下邊分別分析哈特曼探測(cè)器針對(duì)屈光不正的探測(cè)能力。

動(dòng)態(tài)范圍θmax是指微透鏡作為波前傳感器時(shí)，能夠測(cè)量的最大角度偏移量：

其中，d是微透鏡的直徑。θmax對(duì)應(yīng)微透鏡焦平面上光斑的最大偏移量δymax。哈特曼探測(cè)器能夠測(cè)量的最大傾斜量δz為：

其中，D為微透鏡陣列的口徑，由哈特曼探測(cè)器的孔徑所決定。能夠測(cè)量的最大球冠高度hmax近似等于最大傾斜量δz的1/2。

2.3 球面波屈光度的測(cè)量方法

為了更加深刻地認(rèn)識(shí)和理解光的相位特性，在進(jìn)行相位三維顯示的同時(shí)，給出被測(cè)鏡的屈光不正度數(shù)。

根據(jù)離焦量系數(shù)計(jì)算哈特曼探測(cè)器探測(cè)到的波前球冠高度h：

則光波的曲率半徑R為：

經(jīng)過(guò)近視鏡形成的球面波在傳播過(guò)程中會(huì)不斷擴(kuò)散，a3為正數(shù)；而經(jīng)過(guò)遠(yuǎn)視鏡形成的球面波在傳播過(guò)程中會(huì)不斷收縮，a3為負(fù)數(shù)。

如圖2 所示，若測(cè)量鏡片為近視鏡，哈特曼波前探測(cè)器探測(cè)到的球面波和平行光束經(jīng)過(guò)近視鏡產(chǎn)生的球面波的曲率半徑不同，二者相差S，即哈特曼探測(cè)器的微透鏡陣列到眼鏡之間的距離。因此，眼鏡的焦距計(jì)算公式如式（9）所示：

則眼鏡的屈光度為：

2.4 柱面波屈光度的測(cè)量方法

當(dāng)使用散光鏡演示像散的三維顯示時(shí)，通過(guò)Zernike 多項(xiàng)式系數(shù)中獲得的離焦量以及X和Y兩個(gè)方向的像散量，哈特曼探測(cè)器處探測(cè)到的屈光度為JX' 和JY'［22-23］：

考慮到柱面波在傳播過(guò)程中也會(huì)出現(xiàn)擴(kuò)散或收縮，計(jì)算曲率半徑：

結(jié)合距離進(jìn)行修正：

結(jié)合微透鏡陣列的口徑得到相應(yīng)的X和Y兩個(gè)方向的屈光度JX和JY：

柱面波屈光度φ2為：

則眼鏡的屈光度為：

3 相位三維顯示系統(tǒng)光路設(shè)計(jì)

為了實(shí)現(xiàn)光波相位的三維立體顯示，整體光路結(jié)構(gòu)如圖3 所示，主要包括點(diǎn)光源、準(zhǔn)直系統(tǒng)、屈光矯正鏡、哈特曼探測(cè)器和控制計(jì)算機(jī)。半導(dǎo)體激光器波長(zhǎng)為635 nm，連接到發(fā)散角度為12.7°的光纖，作為點(diǎn)光源。點(diǎn)光源發(fā)出球面波，經(jīng)準(zhǔn)直透鏡形成平行光束，通過(guò)孔徑光闌改變光束直徑；該有效光束經(jīng)過(guò)鏡片后光波相位發(fā)生改變，然后入射到哈特曼探測(cè)器上；經(jīng)哈特曼探測(cè)器進(jìn)行波前探測(cè)，并在計(jì)算機(jī)上顯示鏡片的屈光不正程度以及光波相位的三維顯示圖和二維干涉圖。

基于該設(shè)計(jì)光路，利用Zemax 光學(xué)設(shè)計(jì)軟件，進(jìn)行具體元件設(shè)計(jì)及整體光路仿真，如圖4 所示。在未加屈光矯正鏡的情況下，仿真結(jié)果如圖5（a）所示，可以看出波前為平面波。近視鏡對(duì)波前相位分布的改變?nèi)鐖D5（b）所示，波前為內(nèi)凹的球面波。遠(yuǎn)視鏡對(duì)波前相位分布的改變?nèi)鐖D5（c）所示，波前為外凸的球面波。不同波面對(duì)應(yīng)不同的相位顯示狀態(tài)。

圖4 光波相位三維顯示系統(tǒng)仿真示意圖Fig.4 Simulation of the three-dimensional display system of optical phase

圖5 相位三維顯示仿真結(jié)果。（a）原始光路；（b）近視鏡；（c）遠(yuǎn)視鏡。Fig.5 Results of the three-dimensional phase display system. （a） Original phase distribution （b） Myopic glasses and（c） Presbyopic glasses.

4 相位三維顯示實(shí)驗(yàn)

4.1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

本實(shí)驗(yàn)使用的哈特曼探測(cè)器的主要技術(shù)參數(shù)如表1 所示。選擇使用近視鏡、遠(yuǎn)視鏡和散光鏡作為屈光矯正鏡，改變光波的波前相位。哈特曼探測(cè)器微透鏡直徑d=0.4 mm，根據(jù)式（5）可得θmax=0.033 rad。已知微透鏡陣列口徑D=6.8 mm，帶入公式（6）可得δz=227 μm，則hmax=114 μm。最后，根據(jù)式（7）～式（8），在未考慮距離影響的情況下，可以計(jì)算出哈特曼探測(cè)器的球面鏡測(cè)量范圍為0.00～4.90 D。眼鏡與哈特曼探測(cè)器的距離為S=10 cm，考慮到距離的影響，根據(jù)式（9）～式（10），經(jīng)過(guò)近視鏡后球面波會(huì)擴(kuò)散，近視鏡的測(cè)量范圍為0.00～9.61 D。光波經(jīng)過(guò)遠(yuǎn)視鏡后球面波會(huì)收縮，遠(yuǎn)視鏡的測(cè)量范圍為0.00～3.29 D。實(shí)驗(yàn)中，我們選用-2.00 D 的近視鏡和1.00 D 遠(yuǎn)視鏡進(jìn)行測(cè)量。

表1 哈特曼探測(cè)器主要參數(shù)Tab.1 Main parameters of Hartmann detector

根據(jù)式（11）～式（19）和表1 中的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出哈特曼探測(cè)器的柱面鏡測(cè)量范圍為0.00～5.40 D，本文選用0.50 D 的散光鏡進(jìn)行測(cè)量。

搭建的實(shí)驗(yàn)光路如圖6 所示。激光經(jīng)光纖形成點(diǎn)光源，通過(guò)準(zhǔn)直透鏡形成平面波，可調(diào)光闌限制平行光束直徑，去掉外圍雜散程度較高的部分。最后，經(jīng)過(guò)屈光矯正鏡，入射到哈特曼探測(cè)器。

圖6 屈光鏡測(cè)量實(shí)驗(yàn)圖Fig.6 Experimental diagram of measuring lens

為了抑制雜光及灰塵的影響，保證系統(tǒng)密閉性，同時(shí)為了在不同地方測(cè)量并演示，設(shè)計(jì)了光波相位實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的外殼，如圖7 所示。為方便被測(cè)鏡片的更換，在光波相位實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)外殼的中心處設(shè)計(jì)通光孔和干板夾固定裝置的開(kāi)孔。光源和圖7 顯示的系統(tǒng)連接顯示器可以實(shí)現(xiàn)相位的三維顯示和測(cè)量。

圖7 光路及外殼系統(tǒng)圖Fig.7 System diagram for optical path and outer cover

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

準(zhǔn)直系統(tǒng)發(fā)出的平行光束受到系統(tǒng)裝調(diào)精度、環(huán)境擾動(dòng)以及哈特曼探測(cè)器對(duì)準(zhǔn)精度的影響，光束會(huì)產(chǎn)生傾斜、離焦和像散等像差。為了消除像差的影響，首先在不放置矯正鏡片時(shí)，利用哈特曼探測(cè)器測(cè)量系統(tǒng)像差，如圖8（a）所示。利用哈特曼探測(cè)器的相對(duì)測(cè)量功能進(jìn)行系統(tǒng)像差的修正。此時(shí)，波前近似為理想的平面波，如圖8（b）所示。在系統(tǒng)光路中放入不同類型的鏡片，利用控制軟件測(cè)量波前相位分布并實(shí)現(xiàn)三維顯示。

圖8 相對(duì)測(cè)量前后的二維干涉圖。（a）未修正；（b）已修正。Fig.8 Two dimensional interferogram before and after relative measurement. （a） Uncorrected； （b） Corrected.

首先放入近視鏡片，測(cè)量結(jié)果如圖9所示。為了更直觀地顯示光波的相位分布，通過(guò)程序?qū)崿F(xiàn)二維干涉條紋圖和三維立體顯示圖，展現(xiàn)光波的波前相位?？梢钥闯?，利用控制軟件可以形象直觀地顯示光的相位分布，且可以通過(guò)控制鼠標(biāo)實(shí)現(xiàn)不同角度的光波相位展示。平面波經(jīng)過(guò)近視鏡后被發(fā)散成球面波，因此立體顯示的波前相位分布呈凹陷的半球形。

圖9 近視鏡測(cè)量結(jié)果。（a）二維干涉圖；（b）視角1；（c）視角2；（d）視角3。Fig.9 Myopic lens measurement results.（a） Two-dimensional pattern； （b） Perspective 1； （c） Perspective 2； （d） Perspective 3.

其次，放入遠(yuǎn)視鏡片，測(cè)量結(jié)果如圖10 所示。平面波經(jīng)過(guò)遠(yuǎn)視鏡后被會(huì)聚，因此立體顯示的波前相位分布呈突起的半球形。

圖10 遠(yuǎn)視鏡測(cè)量結(jié)果。（a）二維干涉條紋圖；（b）三維顯示圖。Fig.10 Results of hyperscopic measurements. （a） Twodimensional diagram； （b） Three-dimensional pattern.

最后，放入散光鏡片，測(cè)量結(jié)果如圖11 所示。平面波經(jīng)過(guò)散光鏡后像散量發(fā)生改變，立體顯示的波前相位分布呈馬鞍形。

圖11 散光鏡測(cè)量結(jié)果。（a）二維干涉條紋圖；（b）三維顯示圖。Fig.11 Results of the astigmatic measurements. （a） Twodimensional diagram； （b） Three-dimensional pattern.

根據(jù)球面鏡和柱面鏡的屈光不正測(cè)量方法對(duì)不同屈光鏡進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量結(jié)果如圖12 所示?？梢钥闯觯瑴y(cè)量結(jié)果和鏡片本身的度數(shù)基本一致，說(shuō)明本文的測(cè)量方法有效。測(cè)量度數(shù)的誤差是由于哈特曼探測(cè)器和屈光矯正鏡的距離S不精確引起的，進(jìn)行更為精確的測(cè)量可以減小誤差。

圖12 屈光矯正鏡測(cè)量結(jié)果Fig.12 Dioptric measurements

5 結(jié)論

本文基于哈特曼探測(cè)器的波前探測(cè)功能，實(shí)現(xiàn)了光波相位的三維立體顯示。首先，分析哈特曼探測(cè)器的相位測(cè)量能力，并通過(guò)求解Zernike多項(xiàng)式系數(shù)的方式設(shè)計(jì)屈光不正計(jì)算方法。然后，選取合適的光源，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的整體設(shè)計(jì)，并使用Zemax 軟件進(jìn)行測(cè)量系統(tǒng)性能仿真。根據(jù)使用的哈特曼探測(cè)器參數(shù)，獲得此系統(tǒng)球面波測(cè)量范圍為0.00～4.90 D，柱面波測(cè)量范圍為0.00～5.40 D。通過(guò)程序控制進(jìn)行系統(tǒng)像差的扣除，實(shí)現(xiàn)相對(duì)測(cè)量，進(jìn)一步提高哈特曼探測(cè)器對(duì)環(huán)境的適應(yīng)能力。通過(guò)對(duì)已知屈光度的3 種矯正鏡：近視鏡、遠(yuǎn)視鏡和散光鏡進(jìn)行測(cè)量，顯示出不同的二維圖和三維圖，同時(shí)測(cè)量出屈光不正度。此方法能快速測(cè)量并顯示三維光波相位，方便研究者直觀觀測(cè)光波相位分布。基于哈特曼探測(cè)器設(shè)計(jì)的相位三維實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，拓寬了哈特曼探測(cè)器的應(yīng)用范圍，具有更好的環(huán)境適應(yīng)能力。