張拉整體機器人構(gòu)型設(shè)計及非線性力學(xué)特性分析

劉瑞偉，林勛濤，郭宏偉，王春龍，謝浩，唐振宇

(1.廣州航海學(xué)院船舶與海洋工程學(xué)院，廣東廣州 510725；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)機器人技術(shù)與系統(tǒng)國家重點實驗室，黑龍江哈爾濱 150001)

0 前言

近年來，隨著科技的發(fā)展，深空探測已成為航空航天領(lǐng)域的重要研究方向[1-2]。在深空探測任務(wù)中，傳統(tǒng)探測機器人存在造價貴、著陸方式復(fù)雜、投放數(shù)量少等問題[3-5]，因此，新型星球探測器的研制愈發(fā)迫切。

張拉整體結(jié)構(gòu)是由桿、索間的自應(yīng)力實現(xiàn)穩(wěn)定的空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，其設(shè)計特點是剛體懸掛在彈性元件的平衡張力網(wǎng)絡(luò)中。作為一種新興類型的軟機器人，在外載的作用下，它表現(xiàn)出柔順、輕巧、抗沖擊的特性，因其可進行折疊存儲、實現(xiàn)批量投放以及完成深空探測、深海探測、災(zāi)后救援等危險且未知性極高的任務(wù)，近年來成為各國橋梁建筑、航空航天、機器人等領(lǐng)域的研究熱點[6-10]。

目前對于張拉整體結(jié)構(gòu)的研究主要集中在找形及形狀優(yōu)化上，其中力密度法[11]、動力松弛法[12]、能量法[13]和迭代算法[14]等被廣泛應(yīng)用。清華大學(xué)ZHANG 等[15]提出了一種新型力密度法并成功應(yīng)用于張拉整體結(jié)構(gòu)的找形研究中，提高了找形效率。哈爾濱工業(yè)大學(xué)LU等[16]基于動態(tài)松弛法研究了張拉整體結(jié)構(gòu)力學(xué)特性，并提出多組實例進行驗證。東南大學(xué)CAI等[17-18]基于力密度和分組方法，提出了一種針對多應(yīng)力模態(tài)張拉整體的找形方法，通過最小化能量函數(shù)獲得張拉整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點和拉索的空間位置。西安電子科技大學(xué)林敏等人[19]針對傳統(tǒng)力密度法找形效率低下的問題，采用改進魚群算法與力密度法相結(jié)合，提高了張拉整體結(jié)構(gòu)找形效率。哈爾濱工程大學(xué)羅阿妮等[20]基于力平衡原理，依據(jù)構(gòu)件與節(jié)點連接矩陣定義，完成自應(yīng)力穩(wěn)定構(gòu)型及分析。

與找形相比，張拉整體概念在工程實踐中的應(yīng)用很少。典型的張拉整體結(jié)構(gòu)工程應(yīng)用有YOU和 PELLEGRINO[21]提出的可展開天線DMR，哈爾濱工業(yè)大學(xué)劉榮強教授團隊研制的張拉整體式天線結(jié)構(gòu)[9，22]，NASA提出的“SUPERball”六桿張拉整體機器人[23-24]及加州伯克利分校研制出“TT-X”系列張拉整體機器人[25-26]。

在深空探測工作中，張拉整體機器人將被直接從太空投放至星球表面，著陸時會受到很大的沖擊力。為防止因載荷過大而出現(xiàn)壓桿屈曲失效、拉索屈服失效等問題，從而導(dǎo)致探測任務(wù)失敗，研究載荷狀態(tài)下結(jié)構(gòu)力學(xué)特性十分必要。CAI等[27]基于典型的張拉整體結(jié)構(gòu)模型，研究了考慮初始缺陷的張拉整體結(jié)構(gòu)力學(xué)行為。TRAN和LEE[28]提出了一種用于張拉整體結(jié)構(gòu)彈性分析中大變形的數(shù)值方法，考慮了幾何和材料的非線性。

因此，本文作者針對六桿張拉整體結(jié)構(gòu)，通過節(jié)點矩陣和連接矩陣，建立張拉整體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合ANSYS軟件，建立六桿張拉整體結(jié)構(gòu)的非線性力學(xué)分析模型，進行六桿張拉整體結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能分析和結(jié)構(gòu)參數(shù)的敏感度分析，得出提高六桿張拉整體結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的有效方法；最后研制六桿張拉整體機器人樣機進行翻滾實驗，驗證六桿張拉整體機器人的運動性能。

1 六桿張拉整體機器人構(gòu)型設(shè)計

圖1所示為美國航空局AMES研究中心提出的六桿張拉整體機器人進行地外行星探測的任務(wù)示意。

在MATLAB環(huán)境中，通過建立節(jié)點矩陣、連接矩陣及矢量矩陣，構(gòu)建了一種六桿張拉整體結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型，為后續(xù)力學(xué)性能分析提供基礎(chǔ)。

1.1 節(jié)點矩陣

因此，可以得到任一節(jié)點坐標，坐標通式可以表示為

(1)

式中：ni(i=1，2，3，…，12)表示第i個節(jié)點的坐標；Xi、Yi、Zi表示第i節(jié)點的坐標。

因此，六桿張拉整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點矩陣可以表示為

(2)

1.2 構(gòu)件連接矩陣

在張拉整體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型中，通過構(gòu)建連接矩陣可以反映各個構(gòu)件和節(jié)點之間的函數(shù)關(guān)系。六桿張拉整體結(jié)構(gòu)每個節(jié)點上連接1根桿構(gòu)件和4根索構(gòu)件，在連接矩陣中，構(gòu)件起點對應(yīng)元素為“-1”，構(gòu)件終點對應(yīng)元素為“1”。桿構(gòu)件及其連接節(jié)點具體連接情況如表1所示。

表1 桿構(gòu)件與節(jié)點的連接Tab.1 Connection relationship between bars and nodes

根據(jù)桿單元及其連接節(jié)點的情況，可以推導(dǎo)出桿構(gòu)件的連接矩陣為

(3)

同理，可以通過相同的方法獲得索構(gòu)件及其兩端節(jié)點的連接矩陣：

(4)

1.3 構(gòu)件矢量矩陣

利用節(jié)點矩陣和連接矩陣可以獲得相應(yīng)構(gòu)件向量。所有桿構(gòu)件組成結(jié)構(gòu)的桿構(gòu)件矢量矩陣，其表達形式為

(5)

式中：bi(i=1，2，…，6)表示第i根桿向量。

同理，所有索構(gòu)件組成結(jié)構(gòu)的索構(gòu)件矢量矩陣表達形式為

(6)

式中：si(i=1，2，…，24)表示第i根索向量。

設(shè)原點為直線n1n2中點O，n1、n2和n5為著地點，并作為全約束節(jié)點。通過上述分析，即可在MATLAB軟件中計算六桿張拉整體結(jié)構(gòu)節(jié)點坐標矩陣、連接矩陣及構(gòu)件矢量矩陣，建立六桿張拉整體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，如圖2所示，為后續(xù)力學(xué)性能分析提供基礎(chǔ)。

圖2 六桿張拉整體結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型Fig.2 Mathematical model of six-bar tensegrity structure： (a)left view；(b)front view

2 六桿張拉整體結(jié)構(gòu)非線性力學(xué)特性分析

2.1 基于ANSYS的六桿張拉整體結(jié)構(gòu)模型

由于張拉整體結(jié)構(gòu)通過索-桿間張緊力維持平衡，預(yù)應(yīng)力數(shù)值的變化會影響張拉整體結(jié)構(gòu)的幾何剛度矩陣，存在幾何非線性問題，進而影響結(jié)構(gòu)的承載剛度及結(jié)構(gòu)剛度，因此在分析中需考慮這種影響。六桿張拉整體結(jié)構(gòu)索、桿單元和材料的屬性如表2所示。

表2 材料屬性Tab.2 Material properties

在ANSYS中建立分析模型如圖3所示。

圖3 六桿張拉整體有限元分析模型Fig.3 Finite element model of six-bar tensegrity structure： (a)left view；(b)front view

2.2 軸向載荷對結(jié)構(gòu)變形影響

六桿張拉整體機器人應(yīng)用于深空探測時，投放下落過程存在著很大的軸向載荷，這個軸壓載荷對其橫向振動特性影響很大，會造成壓桿屈曲失效、拉索屈服失效等，從而導(dǎo)致探測工作失敗，因此研究軸向載荷對結(jié)構(gòu)變形的影響尤為重要。

為研究結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移與載荷的關(guān)系，對頂部的3個節(jié)點n7、n8和n12依次施加沿z軸負方向的軸向載荷，圖4所示為施加載荷方向，橙色箭頭為軸向載荷方向。

分析過程中固定模型底部的3個節(jié)點n1、n2和n5，對頂部3個節(jié)點n7、n8和n12施加沿z軸負方向的載荷，施加載荷的大小從0 N逐漸變化到7 000 N，共進行了8次模擬分析，結(jié)構(gòu)變形如圖5所示。其中虛線框架為變形前的模型，圖中的標尺為節(jié)點位移量，紅色表示節(jié)點位移量最大，藍色最小。

在不同軸向載荷下，分析得到軸向與徑向變形的變化規(guī)律，如表3所示。六桿張拉整體結(jié)構(gòu)的軸向、徑向變形隨著軸向載荷的增加而增加，其中軸向變形從0 mm增加到0.94 mm，增幅趨勢較平緩；徑向變形從0 mm增加到0.28 mm，增幅趨勢平緩。

表3 不同軸向載荷下的節(jié)點最大位移量Tab.3 Maximum displacement of nodes under different axial loads

由此可得，軸向載荷對軸向、徑向變形的非線性力學(xué)特性影響較小。

2.3 扭轉(zhuǎn)載荷對結(jié)構(gòu)變形影響

按上述研究方法，對上端面頂部3個節(jié)點連線方向依次施加扭轉(zhuǎn)載荷，圖6所示為施加載荷方向，黑色箭頭為扭轉(zhuǎn)載荷方向。

分析過程中固定模型底部的3個節(jié)點n1、n2和n5，對頂部3個節(jié)點n7、n8和n12施加扭轉(zhuǎn)載荷，載荷大小從0 N·m逐漸變化到4 200 N·m，結(jié)構(gòu)變形如圖7所示。

圖7 扭轉(zhuǎn)載荷下六桿張拉整體結(jié)構(gòu)變形示意Fig.7 Deformation of six-bar tensegrity structure under torsional load：(a)left view；(b)front view

在不同扭轉(zhuǎn)載荷下，分析軸向、徑向及扭轉(zhuǎn)變形的變化規(guī)律如表4所示。

表4 不同扭轉(zhuǎn)載荷下的節(jié)點最大位移量Tab.4 Maximum displacements of nodes under different torsional loads

由表4可得：隨著扭轉(zhuǎn)載荷的增加，軸向變形量逐漸增加，且在0.6～3 kN·m上升速率較高，3～4.8 kN·m上升速度放緩，增幅趨勢較明顯；徑向變形從0 mm增加到1.08 mm，增幅趨勢較平緩；扭轉(zhuǎn)角從0 rad增加到0.03 rad，增幅趨勢平緩。

由此可得，扭轉(zhuǎn)載荷對軸向變形的非線性力學(xué)特性影響大，對徑向變形的非線性力學(xué)特性影響較小，對扭轉(zhuǎn)角呈線性變化。

2.4 預(yù)應(yīng)力對結(jié)構(gòu)變形影響

為分析預(yù)應(yīng)力變化對六桿張拉整體結(jié)構(gòu)變形的影響，保證六桿張拉整體結(jié)構(gòu)的其他參數(shù)不變，設(shè)定5組初始預(yù)應(yīng)力值，通過改變索構(gòu)件預(yù)應(yīng)力倍數(shù)，研究預(yù)應(yīng)力對六桿張拉整體結(jié)構(gòu)變形的影響。

同理，對頂部的3個節(jié)點n7、n8和n12施加軸向載荷，大小恒為100 N，在不同預(yù)應(yīng)力條件下，通過計算得到軸向、徑向變形的變化規(guī)律，如表5所示。

表5 軸向載荷下不同預(yù)應(yīng)力對應(yīng)的節(jié)點最大位移量Tab.5 Maximum displacements of nodes under different prestress with axial load

由表5可以看出：在軸向載荷下，六桿張拉整體結(jié)構(gòu)的軸向、徑向變形均隨著預(yù)應(yīng)變的增加而增加，其中軸向變形從0 mm增加到34.57 mm，徑向變形從0 mm增加到33.26 mm，增幅趨勢較平穩(wěn)。無預(yù)應(yīng)力時，結(jié)構(gòu)變形量為0 mm，隨著預(yù)應(yīng)力成倍增加，其帶來的變化并未成倍增加，增幅呈直線變化。

同理，對頂部的3個節(jié)點n7、n8和n12施加扭轉(zhuǎn)載荷，大小恒為600 N·m，通過計算得到各向變形規(guī)律，如表6所示。

表6 扭轉(zhuǎn)載荷下不同預(yù)應(yīng)力對應(yīng)的節(jié)點最大位移量Tab.6 Maximum displacements of nodes under different prestress with torsional load

由表6可知：在扭轉(zhuǎn)載荷下，其中軸向變形從0 mm增加到34.57 mm，徑向變形從0 mm增加到28.98 mm，增幅趨勢較平穩(wěn)，各向位移受預(yù)應(yīng)力增大的影響與在軸向載荷下的情況類似，扭轉(zhuǎn)角變化不明顯。

該結(jié)果表明：預(yù)應(yīng)力對軸向變形、徑向變形及扭轉(zhuǎn)變形非線性力學(xué)體系影響呈線性變化。

2.5 結(jié)構(gòu)參數(shù)對結(jié)構(gòu)變形影響

當構(gòu)件軸向載荷保持不變時，六桿張拉整體結(jié)構(gòu)的彈性剛度僅取決于結(jié)構(gòu)參數(shù)，在計算過程中，由于彈性模量與橫截面積是乘積關(guān)系，所以文中只作橫截面積的參數(shù)分析。對頂部3個節(jié)點分別施加軸向載荷1 000 N，索桿構(gòu)件分布如圖8所示，同類構(gòu)件截面變化對結(jié)構(gòu)變形的影響如圖9所示。

圖8 桿索構(gòu)件分布Fig.8 Distribution of bars and cables

圖9 不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下節(jié)點最大位移量Fig.9 Maximum displacement of nodes under different structural parameters

在軸向載荷下，改變同類構(gòu)件的橫截面積，結(jié)構(gòu)的軸向位移、徑向位移都存在一定幅度的變化，而扭轉(zhuǎn)角變化并不明顯。如圖9所示，其中，斜索截面積減半的影響最為明顯，軸向、徑向變形量分別為0.99 mm和1.04 mm，增幅最明顯，在18%左右；桿截面積減半時，軸向、徑向變化量分別為0.78 mm和0.62 mm，增幅較明顯，在12%左右；水平索截面積減半，軸向、徑向變化量分別為0.12 mm和0.13 mm，增幅不太明顯，在2%左右。因此，在構(gòu)件的彈性變形范圍內(nèi)，改變六桿張拉整體結(jié)構(gòu)的構(gòu)件截面尺寸對結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響較小。

2.6 影響因素敏感度分析

為了便于分析六桿張拉整體中結(jié)構(gòu)參數(shù)對力學(xué)性能的影響，此節(jié)進行了影響因素敏感度分析。

通過因變量的相對變化與自變量的相對變化之比，定義六桿張拉整體結(jié)構(gòu)各類變形量fi對結(jié)構(gòu)參數(shù)xi的敏感度。

(7)

式中：fi為六桿張拉整體結(jié)構(gòu)的某一變形量；xi為六桿張拉整體結(jié)構(gòu)的某一結(jié)構(gòu)參數(shù)；Δxi為結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化量；Δfi為結(jié)構(gòu)參數(shù)變化引起的位移變化。

通過式(7)計算得出了各參數(shù)變化對六桿張拉整體結(jié)構(gòu)變形量的敏感度，如圖10所示?？梢钥闯觯狠S向、徑向變形量對預(yù)應(yīng)力和載荷敏感度較高，對水平索面積敏感度則較低，扭轉(zhuǎn)載荷對軸向變形量的正敏感度最高。通過以上的分析可知：在載荷不變的情況下，主動提高拉索預(yù)應(yīng)力和增加斜索截面面積是改善六桿張拉整體結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的有效措施。

圖10 節(jié)點最大位移量對結(jié)構(gòu)參數(shù)的敏感度Fig.10 Sensitivity of maximum displacement to structural parameters

2.7 六桿張拉整體機器人樣機實驗驗證

根據(jù)前面的構(gòu)型設(shè)計，此節(jié)設(shè)計了六桿張拉整體機器人的控制系統(tǒng)，研制了樣機，進行了翻滾實驗，以驗證前面構(gòu)型的合理性。六桿張拉整體機器人樣機如圖11所示，機器人樣機在靜止狀態(tài)下基本維持六桿張拉整體結(jié)構(gòu)的形狀，沒有明顯的變形。

圖11 六桿張拉整體機器人實物模型Fig.11 Six-bar tensegrity robot prototype：(a)front view；(b)top view

機器人樣機中的桿構(gòu)件為微型推桿電機，桿長為300 mm；索構(gòu)件為無彈性的凱夫拉繩和拉簧，長度為183.7 mm，平行兩桿間的距離為150 mm；樣機在靜止狀態(tài)下是幾何穩(wěn)定的，證明了構(gòu)件之間參數(shù)關(guān)系的正確性。

實物模型搭建后，可驅(qū)動推桿電機使桿伸縮，六桿張拉整體機器人的重心發(fā)生偏移，以達到從開放三角形到封閉三角形的翻滾運動。文中對機器人樣機以開放三角形著地的方式進行了翻滾實驗，驗證六桿張拉整體機器人結(jié)構(gòu)的可動性，如圖12所示。

通過前面結(jié)構(gòu)設(shè)計對樣機進行了研制，證明了結(jié)構(gòu)參數(shù)的可行性，隨后對機器人樣機進行了翻滾實驗，驗證了六桿張拉整體機器人的可動性。該實驗可作為后續(xù)機器人運動學(xué)、動力學(xué)及軌跡規(guī)劃等研究開展的基礎(chǔ)。

3 結(jié)論

(1)通過節(jié)點坐標矩陣和構(gòu)件連接矩陣，建立了六桿張拉整體結(jié)構(gòu)的矢量矩陣，確定了六桿張拉整體結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型與結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。

(2)通過ANSYS建立了六桿張拉整體結(jié)構(gòu)的非線性力學(xué)模型，得到了不同載荷、初應(yīng)變及結(jié)構(gòu)參數(shù)下結(jié)構(gòu)的變形規(guī)律，其中扭轉(zhuǎn)載荷對結(jié)構(gòu)非線性力學(xué)性能影響較大。

(3)進行了結(jié)構(gòu)參數(shù)敏感度分析，結(jié)果表明：六桿張拉整體結(jié)構(gòu)的非線性力學(xué)性能隨著預(yù)應(yīng)力和載荷的增加而增加，隨著桿截面減少而減小，隨著索截面減少而減少，其中預(yù)應(yīng)力對六桿張拉整體結(jié)構(gòu)非線性力學(xué)性能的提高較為明顯。該結(jié)果對六桿張拉整機器人力學(xué)性能的提升具有較高的應(yīng)用價值。

(4)搭建了六桿張拉整體機器人樣機模型，進行了機器人樣機的翻滾運動測試，為后續(xù)機器人運動學(xué)、動力學(xué)及軌跡規(guī)劃提供了參考。