探析數(shù)學(xué)解題中無處不在的導(dǎo)數(shù)

鄧澤宇

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，筆者發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)具有化繁為簡的神奇作用，可快速解決多種復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，其也是高考重點考核內(nèi)容之一。本文基于對導(dǎo)數(shù)概念的理解，分析導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問題、不等式、線切和幾何等問題的具體應(yīng)用，希望能給廣大讀者提供一些新的解題思路。

導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中有重要位置，在多種題型中都可以應(yīng)用。作為高中生的我們往往因為對公式記憶不敏感、無法準(zhǔn)確理解習(xí)題中的信息點而導(dǎo)致解題過程中出現(xiàn)困難。為更好的發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的解題價值，我們需要對其定義與概念進行深入理解，從而分析其在各種習(xí)題中的運用方式。

一、對導(dǎo)數(shù)的理解

導(dǎo)數(shù)作為數(shù)學(xué)微積分的基礎(chǔ)內(nèi)容，在相關(guān)計算過程中，自變量的增加或趨向為零時，因變量本身的增量為自變量增量之間的極限值。若一個函數(shù)中有導(dǎo)數(shù)的存在時，可以稱其為可導(dǎo)或可微分，導(dǎo)數(shù)存在的函數(shù)一定是具有連續(xù)性的，同樣如果不具有連續(xù)性的函數(shù)絕對是不可導(dǎo)函數(shù)。導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是求極限值的過程，而導(dǎo)數(shù)的四則運算法則，大多數(shù)來自于極限值的運算規(guī)律。高中階段如果熟練掌握導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識點，會在很多數(shù)學(xué)問題起到推進作用，尤其是解決曲線方程或函數(shù)等一類的問題，效果更是十分顯著。

二、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問題中的運用

（一）單調(diào)性的判斷

合理的運用導(dǎo)數(shù)，其方法本身就能夠提高判斷函數(shù)單調(diào)性與值域的效率。在判斷函數(shù)單調(diào)性的日勺候，可以通過利用導(dǎo)數(shù)來進行處理，利用導(dǎo)數(shù)符號來對函數(shù)增加或減弱進行評判，這也是奧數(shù)里結(jié)合相關(guān)意義來研究曲線變化規(guī)律時其中一種方式。基于這一角度來說，它可以對數(shù)形結(jié)合本身的概念與思想進行充分表達。在判斷函數(shù)單數(shù)性的時候，比較常用的方法是“定義法”。例如：求f（x）=X3-3x函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間。通過分析，首先對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，并得出不等式f（x）>0以及f（x）<0的解，f（x）>0的解為增區(qū)間，而f（x）<0的解為減區(qū)間。根據(jù)對函數(shù)定義的理解，并根據(jù)上述分析可知f（X）=x3-3x得f（x）=3x-3=3（x+1）（x-1），由此可得出上述函數(shù)單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-1）以及（1，+∞），以此得出-10，則在區(qū)間中函數(shù)f（x）為單調(diào)遞增，其切點斜率增大函數(shù)呈現(xiàn)上升趨勢。若在（a，b）內(nèi)，f（x）<0，則該函數(shù)單調(diào)遞減，故f（x）=0有極大值或極小值。

（二）最值與極值的區(qū)分

在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用時，最值也是常用問題，其作為高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中的關(guān)鍵難點，在解決該問題時常常需要多種技能，結(jié)合對應(yīng)合理的解題方式。而利用導(dǎo)數(shù)解決最值問題時，可將繁瑣的解題步驟逐步簡化，使解題過程更加清晰明確，有利于我們對于知識點掌握。

例如：求函數(shù)f（x）=x2-x+1在區(qū)間[-3，0]上的最值，運用導(dǎo)數(shù)計算可知函數(shù)y=x2-x+1，y=2x-1，令y=0，所以x=1/2，f（-3）=13，f（1/2）=3/4，f（0）=1，得出在區(qū)間內(nèi)最大值為13，最小值為3/4。

例2：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M=m，則f（X）是否等于零，由題可知M=m，所以y=f（x）是常數(shù)函數(shù)，得出f（X）=0。

在相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)時，有部分同學(xué)會對相似的數(shù)學(xué)概念有所混淆。例如：平均與瞬間兩手凌化率，有同學(xué)常常以為函數(shù)在其中一點的導(dǎo)數(shù)值就是瞬間速率，而在函數(shù)問題中，極值與最值的概念也常常分不清，將最值當(dāng)做極值，忽略其區(qū)間的限制，從而導(dǎo)致解題的失敗。如果f（x）在[a，b]中最值時從（a，b）中可取，則最值就是極值，但是最值也可能在[a，b]的兩端a，b上得到。

[1]例如：函數(shù)f（x）=x4-4x（|x|<1），求是否有最值，通過導(dǎo)數(shù)運算得f（x）= 4x3-4=4（x-1）（x2+x+1），則f（x）=0，得x=1。又x∈（-1，1），可知該方程無解，故函數(shù)f（x）在（-1，1）上既無極值也無最值。最值與極值是不同概念，除了掌握定義，還需要強化我們的歸納推理能力，加強對公式的理解。（王明權(quán).淺析高中導(dǎo)數(shù)教學(xué)[J].亞太教育，2016（03）：45.）

三、導(dǎo)數(shù)對于不等式與實際問題的解決

（一）利用導(dǎo)數(shù)求證不等式

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，函數(shù)與不等式都是較為常見的題型，而且通過對近幾年來考試內(nèi)容的分析與判斷，相關(guān)題型逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)榫C合題，兩種題型之間關(guān)系也轉(zhuǎn)變的更加密切，例如：證明不等式f（x）>g（x）時，可利用M（x）=f（x）-g（x）為輔助函數(shù)來對M（X）進行求導(dǎo)，以此來判斷M（x）大于0或小于0，從而對M（x）單調(diào)性進行判斷，對不等式f（x）>g（x）進行證明。通過上述案例可發(fā)現(xiàn)，在相應(yīng)問題中可以直接通過導(dǎo)數(shù)方式來對不等式問題進行求證，導(dǎo)數(shù)求證方法通常適用于可成立于某區(qū)間的不等式。

（二）實際問題中導(dǎo)數(shù)的運用

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，會遇到許多與生活有關(guān)的習(xí)題，如這道較實際的問題：某種圓柱形的飲料罐的容積一定時，如何確定它的高與底半徑，使得所用材料最節(jié)??？在解決此問題時，首先要將問題中的未知量用字母來代替，設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為R。根據(jù)圓柱體的表面積公式s（R）=2πRh+2πR2及圓柱體積公式V=πR2h（定值），經(jīng)過整理、簡化可以得出S只有一個極值，并且使最小值點，從而可知當(dāng)飲料罐的高與底的直徑相等時，所用材料最節(jié)省。所以在解析此類題時，要利用數(shù)形結(jié)合技巧，按照題目考慮其圖像及所用公式，再根據(jù)題目中條件與問題之間的關(guān)系建立關(guān)系式，將文字語言轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)公式來求得最終結(jié)果。（張圣官.導(dǎo)數(shù)——高中數(shù)學(xué)的一個交匯點[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2005（3）：28-30.）

四、導(dǎo)數(shù)在解題時的應(yīng)用

（一）斜率問題的處理

高中學(xué)習(xí)時，導(dǎo)數(shù)與物理、幾何、代數(shù)等問題之間又有著密切的關(guān)系，運用導(dǎo)數(shù)運算可以在幾何問題中求線切，在物理學(xué)習(xí)中可以求出速度與加速度。

以切線問題為例：曲線Y=x4的一條切線q與直線x+4y-8=0垂直，求q的方程，在上述題目中，可以先設(shè)切點為P（X0，Y0），因為直線斜率，所以求得直線斜率為，又因為切線q與直線垂直，所以可知切線的斜率為4，所以Y=x4在點P（X0，Y0）處的導(dǎo)數(shù)為4，在令y|x-x0=4x03=4，可以得出x0=1，y0=1，再根據(jù)點斜式方程y-y0=k（x-x0），可以求出切線q的方程為4x-y-3=0。

例2：求曲線y=x3+x2+1在P（-1，1）處的切線。本題可以可知點P在曲線上，所以解出y'=3x2+2x，進而可得K=yIx=-1=3-2=1，所以可以得出切線方程為y-1=x+1，即x-y+2=0。因此只要運用導(dǎo)數(shù)運算得出曲線所對應(yīng)的方程式。在切線問題中，導(dǎo)數(shù)可以簡化做題步驟，優(yōu)化學(xué)習(xí)過程。

（二）生活中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

在其他領(lǐng)域中，導(dǎo)數(shù)也可以稱作紀(jì)數(shù)，不管是經(jīng)濟學(xué)、幾伺學(xué)中很多問題者巨汀以利用導(dǎo)數(shù)來進行學(xué)習(xí)，如果想要更準(zhǔn)確的將導(dǎo)數(shù)知識融合在實際問題的解決過程中，首先需要掌握導(dǎo)數(shù)的公式與相關(guān)概念，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，三角函數(shù)、極值、切線等數(shù)學(xué)問題都可以通過運用導(dǎo)數(shù)辦法來將習(xí)題剖析，逐一梳理原本困難的步驟，將解題過程多樣化，從而提升高中數(shù)學(xué)做題效率，進而提高數(shù)學(xué)成績。在生活問題中也可以利用導(dǎo)數(shù)概念進行分析，從而得到解決方案。例如：常出現(xiàn)求利潤最大、效率最高等問題時，可稱其為優(yōu)化問題或者最值問題，利用導(dǎo)數(shù)定義將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，進而求得函數(shù)中最值。

綜上所述，掌握導(dǎo)數(shù)的概念并能在習(xí)題中熟練運用可以解開很多有關(guān)函數(shù)的問題，同時對于其他方面的習(xí)題，導(dǎo)數(shù)同樣對其產(chǎn)生著非常積極的作用，如果高中階段能夠順利掌握導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識點，定會在做題過程中起到事半功倍的作用。