立體幾何中空間向量運(yùn)算的易錯(cuò)題分析

■江蘇省南京市板橋中學(xué) 紀(jì)明亮

立體幾何是高中數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)點(diǎn),將立體幾何與代數(shù)融合引進(jìn)了空間向量?？臻g向量強(qiáng)調(diào)幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算,能培養(yǎng)同學(xué)們的直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)?？臻g向量是處理立體幾何問(wèn)題的重要工具,但運(yùn)用空間向量解題時(shí)還存在誤區(qū)。下面筆者分析幾類(lèi)空間向量運(yùn)算中的易錯(cuò)題,相信這對(duì)同學(xué)們更具有實(shí)戰(zhàn)價(jià)值,具體過(guò)程如下。

易錯(cuò)點(diǎn)一、坐標(biāo)系建立錯(cuò)誤

例1(寧波市2023年高三模擬試題)如圖1,在四棱錐P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,PA=AC=2AB=2,,求銳二面角P-BC-A的余弦值。

圖1

錯(cuò)因分析：建立空間直角坐標(biāo)系需找到過(guò)同一點(diǎn)的三條直線,且兩兩垂直。該情況等價(jià)與兩條相交直線互相垂直,第三條直線過(guò)垂足且與這兩條直線所在平面垂直。上述解法由平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,不能直接得到PA⊥AB,PA⊥AC。

易錯(cuò)點(diǎn)二、錯(cuò)把向量坐標(biāo)當(dāng)作點(diǎn)坐標(biāo)

例2(揚(yáng)州市2023 屆高三考前調(diào)研測(cè)試題)如圖3所示,平行六面體ABCDA1B1C1D1的體積為6,截面ACC1A1的面積為6。若AB=AD=2,,AA1,點(diǎn)B到平面ACC1A1的距離為1,求直線BD1與平面CC1D1D所成角的正弦值。

圖3

錯(cuò)因分析：上述解法在由的坐標(biāo)當(dāng)作點(diǎn)D1的坐標(biāo),導(dǎo)致錯(cuò)誤。在求某向量的坐標(biāo)時(shí),若該向量一端點(diǎn)的坐標(biāo)不易求出,則可借助相等向量,這是一種間接求向量坐標(biāo)的重要方法。

正解：前面同錯(cuò)解。

易錯(cuò)點(diǎn)三、錯(cuò)把線段比值當(dāng)作線段長(zhǎng)度

正解：前面同錯(cuò)解。

易錯(cuò)點(diǎn)四、求點(diǎn)面距離時(shí)夾角判斷錯(cuò)誤

例4如圖7,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD與四邊形ABEF均為直角梯形,平 面ABCD⊥ 平 面ABEF,AD∥BC,AF∥BE,AB⊥AD,AB⊥AF,AB=AD=2BC=2BE=2,且AF＞1。若點(diǎn)F到平面CDE的距離為,求平面CDE與平面BDF所成銳二面角的余弦值。

圖7

錯(cuò)解：因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AD?平面ABCD,AD⊥AB,所以AD⊥平面ABEF。

錯(cuò)因分析：根據(jù)法向量求點(diǎn)到直線的距離時(shí),錯(cuò)把向量模乘以該向量與法向量夾角的正弦。若平面α的法向量為n,O∈α,A?α,則點(diǎn)A到平面α的距離為。

正解：前面同錯(cuò)解。

直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算是同學(xué)們必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng),立體幾何空間向量很好地將二者結(jié)合,使之成為一個(gè)有機(jī)的整體,因此,空間向量運(yùn)算是同學(xué)們必須要掌握的。分析錯(cuò)誤有助于厘清運(yùn)算思路,悟透運(yùn)算道理,理解知識(shí)內(nèi)涵。以上是筆者對(duì)立體幾何中空間向量運(yùn)算的易錯(cuò)題所做的分析,希望對(duì)同學(xué)們的復(fù)習(xí)備考能有所幫助。