李國強 苗珠珠
【摘? ?要】數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)指向理性思維的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)概念是聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的橋梁,數(shù)學(xué)概念的習(xí)得過程蘊含豐富的理性思維,數(shù)學(xué)概念教學(xué)的根本就是培養(yǎng)學(xué)生的理性思維。核心素養(yǎng)下的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué),要通過“聚焦核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn),關(guān)注理性思維;重視數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過程,凸顯理性思維;揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì),促進理性思考;注重關(guān)鍵概念的教學(xué),實現(xiàn)理性進階;嘗試概括數(shù)學(xué)概念,強化理性表達”等策略,培養(yǎng)學(xué)生的理性思維,發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。
【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng);理性思維;數(shù)學(xué)概念;概念教學(xué)
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2022年版)》(以下簡稱“2022年版課標”)凸顯核心素養(yǎng),并把核心素養(yǎng)確立為數(shù)學(xué)課程目標。然而,在“中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)”的總體框架(如圖1)中,卻不見“數(shù)學(xué)”二字。那么,數(shù)學(xué)學(xué)科在學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)中的價值到底是什么呢?
一、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)指向理性思維的培養(yǎng)
數(shù)學(xué)學(xué)科具有抽象性和嚴謹性。通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),學(xué)生能夠形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì),增強理性精神。本質(zhì)上,這與圖1中要發(fā)展的“理性思維”是一致的。具體而言,理性思維是人們把握客觀事物本質(zhì)和規(guī)律的思維活動,它具有明確的思維方向和充分的思維依據(jù),是一種能對事物或問題進行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括的思維。在人形成理性思維的過程中,數(shù)學(xué)發(fā)揮著不可替代的作用。
根據(jù)2022年版課標的要求,數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)主要包括“三會”,即會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界,會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界,會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界。數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實世界的抽象,通過符號運算、形式推理、模型構(gòu)建等,形成結(jié)論和方法,幫助人們認識、理解和表達現(xiàn)實世界的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律。數(shù)學(xué)知識、方法與思想的獲得需要經(jīng)歷觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括等學(xué)習(xí)活動,學(xué)習(xí)過程中處處體現(xiàn)著理性思維。從培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度看,會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界是“走進理性”,會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界是“體驗理性”,會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界是“理性表達”。小學(xué)階段核心素養(yǎng)的11個主要表現(xiàn),是培養(yǎng)學(xué)生理性思維的載體和抓手(如圖2)??傊?,小學(xué)階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的價值追求就在于“理性”,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就是發(fā)展學(xué)生的理性思維。
二、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)蘊含豐富的理性思維
數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映,是數(shù)學(xué)知識的“細胞”,是一切數(shù)學(xué)規(guī)則的基礎(chǔ)。
小學(xué)生一般通過概念形成和概念同化兩種方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念。概念形成是指學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程中,通過觀察、比較、分析具體的事物,抽象概括出該事物的本質(zhì)屬性,然后將其推廣到具有這些本質(zhì)屬性的某類事物中,明確事物的外延,是從具體到抽象再到具體的過程。概念同化是指基于學(xué)生原有知識經(jīng)驗,通過比較、分析、綜合、概括、判斷、推理等思維活動,給一類事物下定義,以揭示其本質(zhì)屬性,讓學(xué)生充分認識原有概念和新概念之間的聯(lián)系,改變原有知識的認知結(jié)構(gòu),使舊概念得到改組或改造,從而獲得新的概念??傊?,學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程是從具體事物到抽象本質(zhì)的過程,充滿了比較、分析、綜合、概括、判斷、推理等豐富的思維活動。
數(shù)學(xué)概念作為判斷、推理、運算和證明的基礎(chǔ),是數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)交流的重要工具,因此,理解數(shù)學(xué)概念對學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)至關(guān)重要。但若從學(xué)生發(fā)展的視角看,當他們從學(xué)校畢業(yè)走進社會后,很多數(shù)學(xué)概念都會被忘記,真正積淀下來、對其長遠發(fā)展發(fā)揮作用的往往是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過程中經(jīng)歷的比較、分析、綜合、抽象、概括、推理等理性思維方式。從這個層面看,數(shù)學(xué)概念本身更像是概念教學(xué)的副產(chǎn)品,而學(xué)生理性思維的培養(yǎng)才是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的根本。
三、核心素養(yǎng)下小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中理性思維的培養(yǎng)策略
(一)聚焦核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn),關(guān)注理性思維
核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)是培養(yǎng)學(xué)生理性思維的載體。因此,教師在設(shè)計教學(xué)時,不能只是簡單地關(guān)注具體知識點,還要從更高的層面關(guān)注核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn),并以此作為教學(xué)目標組織教學(xué)。
例如,在“用字母表示數(shù)”的教學(xué)中,不僅要關(guān)注如何用字母表示數(shù),還要從符號意識的高度,讓學(xué)生經(jīng)歷從數(shù)到字母的抽象、概括過程,感受數(shù)學(xué)表達的簡潔與準確;在“平均數(shù)”的教學(xué)中,不僅要關(guān)注平均數(shù)的含義與如何求平均數(shù),還要考慮數(shù)據(jù)意識的培養(yǎng),讓學(xué)生養(yǎng)成“用數(shù)據(jù)說話”的證據(jù)意識及理性思維習(xí)慣。
很多教師在教學(xué)人教版教材四年級下冊“圖形的運動(二)”中的“軸對稱”時,會把重點放在軸對稱的性質(zhì)及如何補全軸對稱圖形上。而2022年版課標中的“學(xué)業(yè)要求”是“知道軸對稱圖形的對稱軸,能在方格紙上補全軸對稱圖形,形成推理意識”。因此,教師教學(xué)時,可設(shè)計諸如“你確定軸對稱圖形的依據(jù)是什么?”“補全軸對稱圖形時,為什么只要確定幾個對應(yīng)點然后連起來就可以了呢?”等問題,以此引發(fā)學(xué)生思考,培養(yǎng)學(xué)生的推理意識,發(fā)展學(xué)生的理性思維。
(二)重視數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過程,凸顯理性思維
數(shù)學(xué)概念是發(fā)展理性思維和建立數(shù)學(xué)知識體系的基本單位。數(shù)學(xué)概念的教學(xué)不僅要關(guān)注概念的內(nèi)涵、外延,更要關(guān)注如何促進學(xué)生理性思維的發(fā)展,讓學(xué)生在觀察、分析、類比等思維活動中,積累抽象、概括、推理、辯證的思維經(jīng)驗,提升數(shù)學(xué)理性思維水平。
在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中,較為突出的理性思維包括抽象思維、推理思維、類比思維、辯證思維等,以下作簡要說明。
抽象思維:指舍棄物體的部分具體特征,在比較、辨析的過程中逐步得出同類事物共同的內(nèi)在特征。如從文具盒、粉筆盒等實物中抽象出長方體。又如從“紅蘿卜是胡蘿卜的3倍”“黃花是藍花的3倍”“男生是女生的3倍”等具體的數(shù)量關(guān)系中,抽象出“3倍”的概念。抽象思維能使學(xué)生對事物的感性認識轉(zhuǎn)化為理性理解。
推理思維:指借助已有知識經(jīng)驗對新的概念進行比較、辨析,并作出判斷。概念學(xué)習(xí)中蘊含推理思維。下面以“三角形分類”的教學(xué)片段進行說明。
(教師準備了幾個裝有三角形圖片的信封,出示其中的一個信封,只露出一個直角,讓學(xué)生猜猜里面是什么三角形)
師:里面是什么三角形?
生:我看到一個直角,這個三角形一定是直角三角形,因為有一個角是直角的三角形叫作直角三角形。
(教師出示第二個信封,只露出一個鈍角,讓學(xué)生猜猜里面是什么三角形)
師:里面是什么三角形?
生:我看到一個鈍角,這個三角形一定是鈍角三角形,因為有一個角是鈍角的三角形叫作鈍角三角形。
(教師出示第三個信封,只露出一個銳角,讓學(xué)生猜猜里面是什么三角形)
師:里面是什么三角形?
生:我看到一個銳角,這個三角形可能是直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形,因為這些三角形中都有銳角。
師:為什么這個三角形不一定是銳角三角形呢?
生:銳角三角形必須三個角都是銳角,而我只看到了一個銳角,所以不能確定這個三角形一定是銳角三角形。
師:怎樣才能確定這個三角形一定是銳角三角形呢?
生:要看到三個銳角。
生:如果看到這個三角形最大的角是銳角,也能確定這個三角形是銳角三角形。因為連最大的角都是銳角了,那么其他兩個角也一定是銳角,這個三角形也一定是銳角三角形。
學(xué)生借助不同三角形的概念進行推理,得出信封里裝的是什么三角形,猜測、說理的過程很好地訓(xùn)練了學(xué)生的推理意識。
類比思維:對于相似的新舊概念,可以運用類比思維,將相似的屬性進行比較,并借助內(nèi)在邏輯,把相似屬性遷移到新的概念中。如有一位教師借助類比思維,將“長度與長度單位”的教學(xué)方法運用至“面積與面積單位”的教學(xué)中,達到了良好的教學(xué)效果。
辯證思維:客觀世界是“變與不變”的和諧統(tǒng)一,許多事物間的關(guān)系既對立又統(tǒng)一。反映客觀事物的數(shù)學(xué)概念也是如此。比如:加法、減法、乘法、除法是四種不同的運算方式,統(tǒng)稱四則運算,但四者又都可歸結(jié)為加法運算;正多邊形是直邊形,圓是曲邊形,但從極限的視角看,圓又可以看成邊數(shù)無窮多的正多邊形;等積變形中,圖形的形狀雖千變?nèi)f化,面積卻恒為定值。在概念教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生感受不同概念中蘊含的辯證關(guān)系,既能幫助他們深刻理解概念,又能提高他們的辯證思維能力。
弗賴登塔爾說過:“與其說學(xué)數(shù)學(xué),不如說學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化?!瘪T俊業(yè)教授進一步指出:“對學(xué)生而言,數(shù)學(xué)化就是‘從無到有、從粗糙到精致的過程。”將其引申至數(shù)學(xué)概念就是:學(xué)生學(xué)習(xí)概念,不如說是學(xué)習(xí)概念化。數(shù)學(xué)概念的教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生真切體會數(shù)學(xué)概念從無到有、從粗糙到精致的思維過程。
(三)揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì),促進理性思考
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)依賴數(shù)學(xué)思考。如果數(shù)學(xué)概念的教學(xué)僅僅停留在表層理解與機械記憶,缺乏對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解,那么概念教學(xué)就已經(jīng)失去了它最本質(zhì)的價值,理性思維培養(yǎng)也就無從談起。
在教學(xué)數(shù)學(xué)概念時,教師應(yīng)創(chuàng)造條件,引導(dǎo)學(xué)生深度思考“3W”:為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念(why)?數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵是什么(what)?該概念在數(shù)學(xué)知識體系中處于怎樣的地位(how)?例如,在“認識方程”的教學(xué)中,除了讓學(xué)生理解方程的定義和兩個要素(含有未知數(shù)、等式),會識別方程,還要體現(xiàn)方程的本質(zhì),即數(shù)量(包括已知數(shù)和未知數(shù))之間的等量關(guān)系(“結(jié)構(gòu)性觀念”),讓學(xué)生認識到等號不僅具有指向作用,還體現(xiàn)為等量關(guān)系。在“扇形統(tǒng)計圖”的教學(xué)中,要引導(dǎo)學(xué)生思考:有了條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖,為什么還要學(xué)習(xí)扇形統(tǒng)計圖?為什么是扇形,而不是其他形狀的統(tǒng)計圖?在“比”的教學(xué)中,要引導(dǎo)學(xué)生思考:已經(jīng)學(xué)習(xí)了分數(shù)、除法,為什么還要學(xué)習(xí)比?分數(shù)、除法、比之間有什么區(qū)別和聯(lián)系?足球比賽中的1∶2與數(shù)學(xué)中的1∶2是一回事嗎?等等。
在對數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延、數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)價值及相關(guān)概念內(nèi)在聯(lián)系等的深度思考中,學(xué)生對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解更加深刻,對數(shù)學(xué)概念蘊含的理性思維的體驗也更透徹。
(四)注重關(guān)鍵概念的教學(xué),實現(xiàn)理性進階
關(guān)鍵概念可以把教學(xué)主題內(nèi)零散的知識聯(lián)系起來,體現(xiàn)教學(xué)主題的內(nèi)在本質(zhì),促進知識和方法的遷移,使學(xué)生體會到概念之間的關(guān)聯(lián)互通,從而提升理性思維層次。同時,重視關(guān)鍵概念的教學(xué)還能實現(xiàn)觸類旁通,達到“教是為了不教”的效果,進而切實減輕學(xué)生的學(xué)業(yè)負擔(dān)。
例如,在數(shù)概念的教學(xué)中,教師要借助計數(shù)單位,突出整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)之間數(shù)的概念的一致性,引導(dǎo)學(xué)生用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題,用數(shù)學(xué)的思維思考問題。同樣,在量概念的教學(xué)中,教師要借助計量單位,溝通長度、面積、體積以及角度等概念,讓學(xué)生在形成量感的同時,感悟量的概念的一致性。不管是角的度量,還是長度、面積和體積的度量,量都是借助數(shù)來表達的,都是計量物體含有計量單位的個數(shù)。由此可見,數(shù)概念與量概念具有一致性。
關(guān)鍵概念將零散的數(shù)學(xué)概念,依據(jù)共同的數(shù)學(xué)本質(zhì)構(gòu)建起富有整體化、系統(tǒng)化、邏輯化的知識體系,促進學(xué)生的思維進階,進而發(fā)展核心素養(yǎng)。
(五)嘗試概括數(shù)學(xué)概念,強化理性表達
會用數(shù)學(xué)語言表達是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“三會”之一,教師要重視培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)語言描述和分析概念的能力。在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中,教師要引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜測等方式嘗試描述概念,將自身的理解與概念本質(zhì)進行多次對比,在逐步矯正的過程中,體會數(shù)學(xué)概念的簡明性與嚴謹性。學(xué)生“嘗試描述—揭示概念”的語言表達過程,既是將感知的概念特征內(nèi)化為認知的建構(gòu)過程,也是逐步舍棄事物的非本質(zhì)屬性而突出本質(zhì)屬性的理性表達過程。
例如,在“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”的教學(xué)中,教師先列出1~20各數(shù),引導(dǎo)學(xué)生對這些數(shù)進行分類。當有學(xué)生提出可根據(jù)因數(shù)個數(shù)進行分類時,教師便讓他們充分表達想法,充分經(jīng)歷概念的理性表達過程。下面是該教師的教學(xué)片段。
師:(教師用手指著2、3、5、7……)請大家認真觀察,這些數(shù)的因數(shù)個數(shù)有什么共同的特征?
生:這些數(shù)都有兩個因數(shù)。(板書:兩個因數(shù))
生:我要補充。這些數(shù)的因數(shù)只有1和它本身。
生:我同意第二個同學(xué)說的。這些數(shù)的因數(shù)只有1和它本身,說明這些數(shù)只有兩個因數(shù),除了1和它本身外沒有別的因數(shù)。(板書:1和它本身)
師:誰明白他的意思?
(再讓幾名學(xué)生進行表達)
師:看來我們得加上“只有”二字。
(教師用彩色粉筆在板書中加上“只有”二字)
師:在數(shù)學(xué)中,像這樣的數(shù)叫質(zhì)數(shù),也叫素數(shù)。你能跟同桌說說什么叫質(zhì)數(shù)嗎?
師:自然數(shù)中,很多數(shù)的因數(shù)個數(shù)并非只有兩個,如4、6、9,它們的因數(shù)個數(shù)是……
生:不是只有1和它本身,至少有三個因數(shù)。
生:也就是說,這些數(shù)除了1和它本身外還有其他因數(shù)。
師:誰理解他說的意思?
生:比如4這個數(shù),它有三個因數(shù),除了1和本身的4以外,還有一個因數(shù)是2。
生:像6、8、9這幾個數(shù),它們都有除了1和本身以外的其他因數(shù)。
師:一個數(shù),如果除了1和它本身外,還有其他的因數(shù),這樣的數(shù)就叫合數(shù)。你能跟同桌說說怎樣的數(shù)是合數(shù)嗎?
語言是思維的外顯,是理性思維的觀念載體。引導(dǎo)學(xué)生用語言描述進行推理的過程,不僅能使學(xué)生加深對概念的理解,體會數(shù)學(xué)概念的簡潔、嚴謹,更能提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言合乎邏輯地討論和判斷的能力,從而鍛煉理性思維。
2022年版課標的亮點之一是提出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)指向理性思維培養(yǎng)。數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程中蘊含著豐富的理性思維,數(shù)學(xué)概念的教學(xué)就是培養(yǎng)學(xué)生理性思維的過程。在以后的概念教學(xué)中,希望教師們重視學(xué)生的理性思維培養(yǎng),并不斷嘗試探索小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的新路徑,讓核心素養(yǎng)真正在教學(xué)實踐中落地生根、開花結(jié)果。
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