探尋拋物線平移規(guī)律

劉家良

“上加下減，左加右減”是解拋物線平移的常用口訣，但許多同學(xué)只知其然不知其所以然. 下面結(jié)合實(shí)例探尋口訣“法之源”.

例1 （2022·浙江·湖州）將拋物線y = x2向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線的解析式是（）.

A. y = x2 + 3 B. y = x2 - 3 C. y = （x + 3）2 ? ?D. y = （x - 3）2

解析：設(shè)（x，y）為拋物線y = x2上的任意一點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（x1，y1），則x1 = x，y1 = y + 3，于是x = x1，y = y1 - 3. 將x = x1，y = y1 - 3代入y = x2，得y1 - 3 = x12，于是y1 = x12 + 3. 因?yàn)椋▁1，y1）為所得拋物線上的任意一點(diǎn)，所以所得拋物線解析式為y = x2 + 3. 故選A.

例2 二次函數(shù)y = x2 + 4x + 3的圖象可以由二次函數(shù)y = x2的圖象平移得到，下列平移正確的是（）.

A. 先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

B. 先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

C. 先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

D. 先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

解析：y = x2 + 4x + 3 = （x + 2）2 - 1，其頂點(diǎn)為（ - 2，- 1）. 二次函數(shù)y = x2的頂點(diǎn)為（0，0），比較兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)原拋物線先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度. 故選B.

例3 拋物線y = ax2 + bx + c經(jīng)過(guò)A（- 3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，則關(guān)于x的一元二次方程a（x - 1）2 + c = b - bx的解是____.

解析：由a（x - 1）2 + c = b - bx得a（x - 1）2 + b（x - 1） + c = 0. 設(shè)y = a（x - 1）2 + b（x - 1） + c，比較兩個(gè)拋物線，發(fā)現(xiàn)y = a（x - 1）2 + b（x - 1） + c是由y = ax2 + bx + c向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，相應(yīng)地，點(diǎn)A，B將向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得A′（ - 2，0），B′（5，0），所以一元二次方程a（x - 1）2 + c = b - bx的解是x1 =? - 2，x2 = 5. 故填x1 = - 2，x2 = 5.

總結(jié)：此類(lèi)問(wèn)題的解題思路是將拋物線的平移轉(zhuǎn)化為拋物線上點(diǎn)的平移. 類(lèi)似地，直線、雙曲線的平移也都可用這種“化線為點(diǎn)”的方法探尋.