CFQS 準環(huán)對稱仿星器低β等離子體中三維磁島的抑制機制*

蘇祥 王先驅(qū) 符添 許宇鴻

(西南交通大學物理科學與技術(shù)學院,聚變科學研究所,成都 610031)

1 引言

隨著聚變參數(shù)的提高,人們發(fā)現(xiàn)在托卡馬克中當?shù)入x子體電流接近極端條件時,將引起等離子體的大破裂,從而導致裝置損壞,這為未來聚變堆的運行帶來極大的安全風險.磁約束核聚變的另一類裝置—仿星器的磁場完全由外置磁場線圈的電流產(chǎn)生[1,2].因此,仿星器沒有等離子體電流(或電流很小),從而不會引起大破裂,可以實現(xiàn)長時間穩(wěn)態(tài)運行[3,4].作為一種優(yōu)化的仿星器——準環(huán)對稱仿星器(QAS)充分結(jié)合了托卡馬克和傳統(tǒng)仿星器的優(yōu)點,其磁位形既不需要等離子體電流,又能夠最大程度地降低等離子體的新經(jīng)典輸運損失[5,6].因此,準環(huán)對稱仿星器被認為是目前國際上最先進的一種磁約束位形之一,如日本的CHS-qa、美國的NCSX 等裝置的物理設(shè)計均采用QAS 磁位形[7?15].2017 年,西南交通大學聚變科學研究所與日本國家核融合科學研究所(NIFS)簽署了聯(lián)合共建中國首臺準環(huán)對稱仿星器(CFQS)的合作協(xié)議,共同設(shè)計并在中國西南交通大學建造當前世界上磁場位形最先進的仿星器.CFQS 裝置的主要參數(shù)如下: 大半徑為1 m,環(huán)向周期數(shù)為2,磁場強度為1 T,小半徑為0.25 m[16?18].

雖然仿星器磁場不需要感應等離子體電流來激發(fā),但是與傳統(tǒng)仿星器不同,準環(huán)對稱仿星器中自舉電流份額通常較大,因而可以激發(fā)一定程度的磁流體(MHD)不穩(wěn)定性,導致三維磁島的產(chǎn)生和磁力線的隨機化等,最終使等離子體約束變壞.此外,與托卡馬克二維物理不同,仿星器磁場是三維的(含有一定大小的徑向磁場),即使在真空條件下,磁島依然可能存在.因此,弄清仿星器三維磁島的激發(fā)和抑制機制,并與二維托卡馬克物理互補,對全面理解磁約束核聚變中不穩(wěn)定性的產(chǎn)生和控制具有重要意義.此外,如何通過外部控制手段和等離子體參數(shù)分布的優(yōu)化,抑制磁流體不穩(wěn)定性并最終實現(xiàn)準環(huán)對稱仿星器的高約束性能也是當前仿星器研究中的關(guān)鍵物理問題之一.

早期的實驗研究表明,托卡馬克中利用輔助加熱手段,如電子回旋電流驅(qū)動(ECCD)所產(chǎn)生環(huán)向電流對新經(jīng)典撕裂模(NTM)等具有較好的抑制作用.但在QAS 中,環(huán)向電流是否對三維磁島也具有抑制或控制作用,相關(guān)機制尚不清楚.本文采用HINT 代碼[19],研究了外部環(huán)向電流對CFQS裝置中低比壓條件下三維平衡磁島的抑制機制.相比于高比壓情況,低比壓等離子體中忽略了自舉電流對平衡磁島的影響.研究表明,在CFQS 磁位形下,適度的環(huán)向電流將通過改變旋轉(zhuǎn)變換及磁剪切的大小,進而對m/n=5/2 三維磁島產(chǎn)生明顯的激發(fā)或抑制作用(依賴于電流大小和方向).另外,本文還研究了不同電流密度剖面條件下電流大小、方向以及其他分布參數(shù)對磁島的影響,并探討了相關(guān)物理機制.

2 模型與參數(shù)設(shè)置

VMEC (Variational Moment Equilibrium Code)與HINT (Helical INitial value solver for Toroidal equilibria)是目前比較流行的兩個計算三維MHD 平衡的模擬代碼.兩個代碼具有一定的區(qū)別,前者VMEC 代碼基于理想磁流體模型及其特有的磁面坐標系,該模型的數(shù)值求解需要磁面的完整性,因此非理想效應以及磁重聯(lián)過程被忽略;后者HINT 代碼則基于非理想磁流體模型,通過松弛迭代的方法計算三維MHD 平衡方程,無需完整磁面,即允許磁島的存在[20].因此,在處理具有明顯磁島結(jié)構(gòu)的仿星器裝置中,HINT 的計算結(jié)果也更加趨近于真實情況.最新版本的HINT 代碼建立在柱標(R,φ,Z)下求解磁場和壓強[21,22],該過程分為兩步: 1) 固定磁場B求解方程B·?p=0 得到等離子體壓強p.2) 固定等離子體壓強p通過求解下列方程解出磁場[19],

上述方程中,t為時間,v為等離子體速度,j為總電流密度,j0為初始背景電流密度(由初始外部激勵磁場產(chǎn)生,仿星器中此項很小),jnet為環(huán)向凈電流,包括如歐姆電流、中性束電流、自舉電流等,η 為耗散系數(shù).方程(1)—(3)的計算均采用松弛迭代方法,當系統(tǒng)達到力學平衡且速度及磁場達到穩(wěn)態(tài)后輸出模擬結(jié)果.需要指出,與一般非線性MHD 不穩(wěn)定性計算程序不同,HINT 是一個平衡計算程序,由于本工作中并沒有考慮平衡流影響,所以在方程(1)中忽略了包含非線性效應的對流項.其他HINT 代碼及其模型的說明可詳見文獻 [23].

在真空情況下,為避免低階有理面和真空磁島,CFQS 的物理設(shè)計中旋轉(zhuǎn)變換介于2/6 和2/5之間[24?27],相應安全因子值從芯部q0=2.5 單調(diào)地增大到邊界qedge=3,屬于弱正剪切分布.然而,在有限等離子體比壓β、等離子體流、中性束電流等因素,尤其是自舉電流的作用下,最初設(shè)計的平坦旋轉(zhuǎn)變換分布將被改變,低階有理面和磁島也可能隨之產(chǎn)生.本文針對CFQS 裝置低參數(shù)運行模式下的磁島,研究外加電流驅(qū)動對磁島的抑制和控制研究.為不失一般性,通過設(shè)置等離子體比壓〈β〉=0.5%以及30 kA 環(huán)向磁場線圈電流從而獲得如圖1 的平衡分布以模擬m/n=5/2 磁島,這里 〈β〉 為體平均的等離子體比壓.圖1(a)可見,旋轉(zhuǎn)變換保持了單調(diào)變化和弱正剪切,且經(jīng)過0.4 有理面(即安全因子q=2.5),壓強為拋物線分布.通過VMEC 和HINT 代碼模擬結(jié)果的對比,當〈β〉較低時,在非磁島區(qū)域兩個代碼計算結(jié)果符合得較好.需要指出,在 〈β〉 較高時,〈β〉 ≥1%,受自舉電流的影響,磁島將嚴重破壞磁面的完整性,導致兩代碼計算結(jié)果區(qū)別較大,相關(guān)討論超出了本文所涉及的范圍.圖1(b)展示了磁面的龐加萊圖,證實了m/n=5/2 的磁島位于 1%≤p/p0≤10% 區(qū)間,并大幅縮減了等離子體有效約束區(qū)域(紅色部分).

圖1 (a) 〈β〉=0.5% 時旋轉(zhuǎn)變換以及壓強的徑向分布;(b) 〈β〉=0.5%、環(huán)向角 φ=0° 時所對應的初始龐加 萊圖.黑色點表示 p/p0 ＜1% 的區(qū)域,藍色點表示1%≤p/p0 ≤10% 的區(qū)域,紅色點表示 p/p0 ＞10% 的區(qū)域,綠色線為真空室Fig.1.(a) Comparison of the radial dependence of the rotational transform and pressure,ι/2π with 〈β〉=0.5%,between the HINT and VMEC codes;(b) the Poincaré plots of initial magnetic surfaces with 〈β〉=0.5% at toroidal angle φ=0°,where the black,blue and red colors mark the regions of p/p0 ＜1%,1%≤p/p0 ≤10%,andp/p0 ＞10%,respectively.The green line denotes the boundary of the vacuum vessel.

因此,研究磁島的抑制機制并探索不穩(wěn)定性的控制方法,對提高QAS 等離子體約束性能具有重要意義.下面將通過外加電流驅(qū)動來模擬環(huán)向電流對磁島的抑制和控制,以實現(xiàn)QAS 等離子體約束性能的提升.

3 磁島模擬結(jié)果

在典型的CFQS 裝置低參數(shù)運行模式下,如果考慮到環(huán)向電流的影響,那么旋轉(zhuǎn)變換可以寫成如下形式:

外部線圈所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)變換為ι0,有限等離子體β 導致旋轉(zhuǎn)變換的改變表示為 Διplasma,由于本文中β 值是固定的,相應的 Διplasma為定值,而環(huán)向電流所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)變換 Διcurr則依賴于電流大小、分布等參數(shù).需要指出,這里環(huán)向電流主要包括等離子體中的自舉電流、中性束電流、電子回旋驅(qū)動電流等.

圖2(a)給出了兩種不同的電流密度剖面,常數(shù)分布電流密度范圍存在于r/a=0—1 之間,高斯分布電流密度范圍在r/a=0.6—0.8 之間(磁島所在位置).圖2 中高斯電流密度分布形式的電流驅(qū)動所對應的是ECCD 驅(qū)動電流的局域分布,而常數(shù)電流密度分布為高斯電流密度分布無限寬的理想情況.通過電流密度剖面進行積分I(r)=可得電流大小分布,在電流增長階段,兩種分布所積分出的電流大小增長趨勢是不同的,如圖2(b)所示.由圖2(b)可以看出,在常數(shù)電流密度全局分布時,電流在整個徑向上呈拋物線分布.而在考慮高斯分布電流密度時,電流在空間分布的展寬以及峰值位置,將對電流大小的分布產(chǎn)生顯著的影響.下面將研究上述兩種電流密度分布對磁島的抑制作用并討論了相關(guān)機制.

圖2 (a)環(huán)向電流密度剖面、(b)電流大小分布,紅色線為高斯電流密度分布,藍色線為常數(shù)電流密度分布Fig.2.Profiles of (a) toroidal current density,(b) toroidal current,where the blue line is constant current and the red line is the Gaussian current.

首先研究了常數(shù)電流密度對CFQS 中磁島的影響,并采用如圖1 所示所謂“基準”平衡位形中等離 子體 比壓 〈β〉=0.5%,r/a=0.7 位置處存在m/n=5/2 的磁島進行研究.圖3 給出平均磁島寬度 〈W〉 隨電流大小I0以及方向變化關(guān)系圖,紅色虛線標記了無電流時磁島的平均寬度.研究表明,當電流方向為正方向時(與柱坐標中φ方向相同)隨著電流的增大,平均磁島寬度增加,此時電流對磁島具有一定激發(fā)作用.當電流反向時,環(huán)向電流對磁島產(chǎn)生了較好的抑制效果,這時磁島寬度隨電流的增加幾乎呈線性地減小,直至I0達到?6kA時,磁島被完全抑制.

圖3 平均磁島寬度 〈W〉 隨電流大小I0 變化關(guān)系圖Fig.3.Average width of magnetic islands 〈W〉 as a function of toroidal current (I0).

為了更直觀地了解磁島結(jié)構(gòu)并探明磁島對電流的依賴關(guān)系,圖4 展示了不同電流大小以及方向時磁島的龐加萊圖.初始磁島在圖1(b)給出,紅色和藍色區(qū)域表示等離子體主要約束區(qū)域.由圖4 可以看出,與圖1(b)相比,圖4(a)I0=2 kA 時,磁島向等離子體邊界移動,磁島寬度明顯增加且芯部主要等離子體約束區(qū)域面積減小.當I0=4 kA 時,由于真空室的存在,磁島與真空室相互作用其結(jié)構(gòu)的整體性遭到破壞.在I0=6 kA 時,磁島完全移至有效約束區(qū)域以外,整個內(nèi)部磁面保持完整.在電流方向為反方向時,由圖4(d)和圖4(e)(I0=-2 kA,I0=-4 kA)可以看出,磁島向磁軸靠攏,其寬度隨之減小.當I0=-6 kA 時,磁島結(jié)構(gòu)完全消失,等離子體有效約束區(qū)域的拓展較為明顯,但在等離子體邊界處出現(xiàn)了m/n=11/4 的高模數(shù)磁島鏈.

圖4 (a)—(c) I0=2,4,6 kA 時 龐加萊磁面;(d)—(f) 為 I0=-2,-4,-6 kA 時龐加萊 磁面Fig.4.(a)?(c) Poincaré plots of magnetic surfaces with I0=2,4,6 kA ;(d)?(f) the Poincaré plots of magnetic surfaces with I0=-2,-4,-6 kA.

眾所周知,在非理想等離子體中,等離子體電阻將導致有理面附近磁力線重聯(lián)并形成磁島,因此旋轉(zhuǎn)變換ι/2π 值對磁島結(jié)構(gòu)具有重要影響.圖5 給出了不同電流大小以及方向所對應的旋轉(zhuǎn)變 換ι/2π 剖 面.在無電流時,ι/2π 經(jīng)過m/n=5/2 有理面.當存在正向電流時,ι/2π 剖面整體上升,m/n=5/2 有理面向邊界靠攏,這一結(jié)果為圖4(a)—(c)中磁島結(jié)構(gòu)變化提供了一個可能的解釋.尤其是I0=6 kA 時,旋轉(zhuǎn)變換剖面不再經(jīng)過ι/2π=0.4有理面,進而磁島結(jié)構(gòu)消失.而當電流方向為反方向時,ι/2π 整體向下移動.在電流不斷增大的過程中,m/n=5/2 有理面朝芯部移動,從而導致了磁島向磁軸處靠攏,即磁島被壓縮.當I0=-6 kA 時,磁軸處旋轉(zhuǎn)變化值ι/2π 約為0.4,因此該有理面消失、磁島被完全抑制.同時在邊界處,由于ι/2π 經(jīng)過了m/n=11/4 有理面,因此,邊界區(qū)域產(chǎn)生了11/4 的磁島鏈結(jié)構(gòu).為了進一步定性地理解常數(shù)分布所導致的電流密度分布整體地上下移動,從理論上做了簡單分析: 在圓柱位形近似下,通過環(huán)向電流估計出極向磁場,并利用安全因子與極向磁場的關(guān)系反推出旋轉(zhuǎn)變換與電流的關(guān)系,即 Δι(r)curr∝I(r)/r2,其中I(r) 環(huán)向電流密度的積分,滿足I(r)=,故當電流密度為常數(shù)分布J(r)=J0時,Δι(r)curr=C,模擬結(jié)果與理論相符.

圖5 電流大小對旋轉(zhuǎn)變換的影響Fig.5.Rotational transforms with different constant current.

ECCD 在仿星器運行過程扮演了十分重要的角色.為模擬ECCD 所產(chǎn)生的局部電流對磁島的影響,研究了圖2 所示的高斯電流密度分布J(r)=J0e-(r-b)2/c,并分析了電流大小及分布參數(shù)對磁島的抑制作用,這里J0為電流密度幅度,r為小半徑,b為電流密度分布的峰值位置,c為分布寬度.圖6 給出了平均磁島寬度以及5/2 有理面處的磁剪切對電流的依賴關(guān)系,這里采用b=0.7,c=0.01.結(jié)果表明,在高斯電流密度分布情況下,電流的大小對平均磁島寬度也存在較為顯著的影響,即隨著電流的不斷增大,磁島寬度減小.為解釋這一結(jié)果,圖6 還展示了不同電流大小所對應的磁剪切,分析發(fā)現(xiàn)隨著電流增大,5/2 有理面處的磁剪切也在增加,當剪切增大到一定程度時,磁島寬度減小到最小值.早期的理論研究表明,磁島寬度可近似表示為:[28],其中W為磁島寬度,r為小半徑,q為安全因子,Br為徑向磁擾動,m為極向模數(shù),q'為磁剪切,Bθ為極向磁場.定性來看,磁島寬度與磁剪切成反比關(guān)系.因此,磁剪切的增大可以使磁島寬度減小.

圖6 平均磁島寬度以及m/n=5/2 有理面處磁剪切隨電流大小的變化Fig.6.Average width of magnetic islands and magnetic shear as a function of toroidal current I0.

此外,通過圖7 給出的不同電流大小所對應的龐加萊圖可以看出,隨著電流增大,磁島被抑制,其徑向位置無顯著變化,等離子體的約束提高.而圖8 給出的不同電流大小所對應的旋轉(zhuǎn)變換剖面也表明,高斯電流密度分布導致旋轉(zhuǎn)變換局部改變.在芯部區(qū)域,旋轉(zhuǎn)變換幾乎不變(對比圖2 來看,因為在這一區(qū)域電流密度為零,電流大小也為零),但在有理面附近(r/a=0.7,對應大半徑R=1.29 m),電流的增加,引起了有理面及以外區(qū)域ι/2π值的變化,這也導致在有理面處磁剪切的增大且5/2 有理面位置幾乎不變.

圖7 不同電流大小下的龐加萊磁面 (a) I0=-1 kA ;(b) I0=-3 kA ;(c)I0=-5 kAFig.7.Poincaré plots of magnetic surfaces with different amplitude of current: (a) I0=-1 kA ;(b) I0=-3 kA ;(c) I0=-5 kA.

圖8 不同反向電流大小所對應的旋轉(zhuǎn)變換剖面,其中紅色線為m/n=5/2 有理面位置Fig.8.Rotational transform corresponding to Gaussian current density profile with different amplitude of current (opposite to the initial current).The red dotted line is m/n=5/2rational surface.

早期實驗表明,ECCD 功率沉積位置對磁島的抑制也有明顯的影響[29].因此,本文還研究了CFQS 裝置 〈β〉=0.5%,環(huán)向電流大小I0=-2 kA,c=0.01時不同分布峰值b對磁島的影響.圖9 展示了不同分布峰值所對應的平均磁島寬度.紅色虛線為初始磁島寬度.當b減小(峰值位置向芯部移動),平均磁島寬度幾乎線性地減小,在b=0.3 時磁島被完全抑制.不難判斷,不同峰值位置對磁島寬度的影響較大.從整體趨勢來看,在加上高斯分布電流之后,平均磁島寬度始終低于初始磁島寬度,因此高斯電流對磁島起到了較好的抑制效果.

圖9 平均磁島寬度隨分布峰值的變化,其中紅色虛線為初始磁島寬度Fig.9.Average width of magnetic islands 〈W〉 as a function of radial injection location.The red dotted line is the initial average width of magnetic islands.

圖10(a)—(c)分別給出了b=0.3,0.5,0.8 所對應的龐加萊磁面.相較于無電流時的磁島(圖1),可以看出:b=0.8 時磁島結(jié)構(gòu)的位置變化不明顯,但大小略微減小;b=0.5 時,磁島朝芯部區(qū)域有明顯的移動跡象;b=0.3 時磁島更靠近磁軸,展示出較好的抑制效果且磁面整體保持較為完整.綜上所述,隨著b的減小,磁島朝磁軸處快速移動,并引起了磁島的縮小甚至消失.關(guān)于這一點在圖11 也可看出,在b減小后,旋轉(zhuǎn)變換分布不僅變陡,而且5/2 有理面位置越靠近磁軸,這為圖9 磁島抑制的結(jié)果提供了一個合理的解釋.

圖10 不 同分布峰值b 所對應的龐加萊磁面 (a) b=0.3 ;(b) b=0.5 ;(c)b=0.8Fig.10.Poincaré plots of magnetic surface with different radial injection location: (a) b=0.3 ;(b) b=0.5 ;(c) b=0.8.

圖11 不同高斯分布峰值b 所對應的旋轉(zhuǎn)變換剖面.Fig.11.Rotational transform corresponding to Gaussian current density profile with different radial injection location b.

4 結(jié)論

本文采用HINT 代碼模擬研究了準環(huán)對稱仿星器CFQS 低β 運行模式中環(huán)向電流對三維平衡磁島的抑制機制.在忽略自舉電流(低β)的情況下,通過調(diào)整環(huán)向場線圈電流以產(chǎn)生m/n=5/2有理面,并聚焦在該含磁島的平衡位形,分別討論了常數(shù)電流密度剖面以及高斯電流密度剖面對磁島的抑制/控制作用.研究結(jié)果表明,在準環(huán)對稱仿星器中三維磁島的抑制機制可能包括以下三方面:

1) 采用常數(shù)電流密度分布時,外部驅(qū)動電流導致旋轉(zhuǎn)變換剖面的上、下移動,當旋轉(zhuǎn)變換避開低階有理面時(如m/n=5/2),磁島被完全抑制;

2) 采用高斯電流密度分布,電流對旋轉(zhuǎn)變換產(chǎn)生局部的影響,有理面處局部磁剪切的增加是最終導致磁島寬度減小的重要因素;

3) 通過研究電流密度峰值位置對磁島的影響,發(fā)現(xiàn)改變峰值位置將引起磁島(或有理面)的移動,當有理面靠近磁軸時,磁面縮小、磁島生長空間被壓縮,進而磁島被有效地抑制.

上述三種機制的揭示,為CFQS 仿星器中磁島以及托卡馬克中撕裂模的抑制/控制實驗提供了理論參考.但仍需要指出,本文針對的是低β 運行模式,并未考慮自舉電流的影響,因此其結(jié)果雖具一般性但并不完善.通常而言,當β 較高時,CFQS仿星器中自舉電流對磁島的尺寸和等離子體約束具有較大影響,尤其是在反磁剪切位形下,弄清雙有理面上磁島的產(chǎn)生和耦合機制,進而尋找有效抑制和控制磁島的手段將是仿星器三維物理研究的重點之一.

感謝哈爾濱工業(yè)大學王曉鋼教授在理論分析方面所提供的幫助.感謝廣島大學Suzuki 教授在代碼方面的支持和幫助.感謝日本國家核融合科學研究所Okamura 教授、Shimizu 教授以及Isobe 教授的有益討論.