從考研角度淺析教學(xué)改革
——以“高等代數(shù)”為例

何 婧 周潘岳

1.湖南工商大學(xué)理學(xué)院 湖南長沙 410205;2.湖南理工學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院 湖南岳陽 414006

“高等代數(shù)”[1-4]是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計算科學(xué)本科專業(yè)開設(shè)的一門重要專業(yè)必修基礎(chǔ)課,是其他數(shù)學(xué)課程的主要先修課之一。它延伸到多門后續(xù)課,如數(shù)值分析、近世代數(shù)和數(shù)學(xué)建模等,是理論性、應(yīng)用性很強的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。開設(shè)“高等代數(shù)”課程的目的一方面是對初等代數(shù)知識的加深與鞏固,另一方面能培養(yǎng)學(xué)生的計算能力、邏輯分析能力、獨立思維能力和解決實際問題能力,提高學(xué)生在數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法方面的修養(yǎng)?！案叩却鷶?shù)”學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容包括多項式理論、線性代數(shù)的代數(shù)理論(行列式、線性方程組、矩陣、二次型、λ-矩陣)及線性代數(shù)的幾何理論(線性空間、線性變換、歐氏空間)。更為重要的是這門課程還是數(shù)學(xué)各專業(yè)報考研究生的必考科目(分值150分),也是全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽(數(shù)學(xué)類)初賽和決賽必考內(nèi)容(分值約占35%)?；诟叩却鷶?shù)這門課的重要性,對教學(xué)的研究和探討成為必要。我們從考研角度出發(fā),結(jié)合課程自身的特點,通過對一道考研題的分析,提出改進教學(xué)的方式,微調(diào)課堂教學(xué)重點,從而提高課堂教學(xué)的質(zhì)量。

一、一道考研題的剖析

下題選自湖南師范大學(xué)2011年和2021年高等代數(shù)碩士研究生入學(xué)考試試卷,分值15分。

例1:設(shè)n階矩陣A的元素為0或1,且滿足AAT=E+2J,其中E是n階單位矩陣,J是元素全為1的n階矩陣。

(1)證明:AJ=3J;

(2)證明:n=4和ATA=E+2J.

(1)

在上式中兩邊同時左乘矩陣J,整理后有:

(2)

由AJ=3J兩邊取轉(zhuǎn)置可得ATJT=3JT。注意到JT=J,于是有JAT=3J。而J2=nJ,將JAT=3J和J2=nJ代入(2)式,整理后有:

(3)

在上式中兩邊同時計算矩陣的跡,有:

(4)

另一方面,由已知可計算:

由n=4代入(3)式可得JA=3J。再將JA=3J代入(1)式,整理后得ATA=E+2J。

這道考研試題考查的知識點包括:矩陣乘法的定義、矩陣相等的定義、矩陣的逆、矩陣的跡等知識點,它是一道綜合題,融合了很多知識點。這道題的證明是筆者用純高等代數(shù)的知識解決的。當(dāng)然它也可以利用組合的方法進行證明,但學(xué)生并不擅長,需要很強的組合功底才能解決。

通過這道題目的證明來看,此題還可以進行拓展和延伸,眾所周知,出題者喜歡用年份進行命名,比如可以改寫成如下的例題。

例2:設(shè)n階矩陣A的元素為0或1,且滿足AAT=E+2023J,其中E是n階單位矩陣,J是元素全為1的n階矩陣。

(1)證明:AJ=2024J;

(2)證明:n=2025和ATA=E+2024J。

證明:證明方法和例1一樣,這里省略了。

二、上述考研題引發(fā)的教學(xué)思考

通過這道考研試題的解答和分析,我們可以發(fā)現(xiàn)考研題考查的是對知識的綜合運用,一道題目不僅僅只是考查一個知識點的掌握情況,這一點跟課程的期末考試側(cè)重不相同?！案叩却鷶?shù)”是高中生入學(xué)后最先接觸到的用公理化方法處理問題的課程,以較高的抽象性和理論化為特點,對于只有初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的高中畢業(yè)生來說,一時很難適應(yīng)這種方法,普遍感到很難很抽象且有點“晦澀難懂”的感覺。作為教學(xué)工作者應(yīng)該進行反思和總結(jié),結(jié)合學(xué)生特點和課程特點,提出一些教學(xué)改進方法。

首先,基于該課程的高度抽象性,學(xué)生學(xué)習(xí)起來困難的特點,實施教學(xué)過程的教師應(yīng)準確有效地引入知識。可以從貼近生活的具體例子入手,或者是形象生動的圖形引入,抑或是可以迅速激起學(xué)生興趣的問題式引入。例如,我們在講解矩陣與矩陣乘法的時候,如果直接講定義學(xué)生接受不了,直接講規(guī)則學(xué)生只能生硬地記住并不能理解。此時我們用一道跟生活息息相關(guān)的應(yīng)用題引入。設(shè)置三個工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品,分別用矩陣表示三個工廠中三種產(chǎn)品的產(chǎn)量、單價和單利潤,再要求同學(xué)們計算出三個工廠的總收入和總利潤矩陣[5]。通過這樣邏輯簡單又具體的應(yīng)用題計算既能讓學(xué)生了解矩陣與矩陣乘法的計算法則,又能理解其計算意義。再如,在學(xué)習(xí)矩陣的逆的內(nèi)容之前先帶領(lǐng)同學(xué)們回顧一下實數(shù)中倒數(shù)的概念和矩陣是數(shù)的推廣這一結(jié)論,然后提出問題,在矩陣的運算體系中是否也存在類似于倒數(shù)的概念呢?我們知道實數(shù)中0沒有倒數(shù),那么是否也存在一些沒有“倒數(shù)”的矩陣呢?同時,在實數(shù)的定義下判斷互為倒數(shù)的兩個數(shù)是否通過數(shù)的乘法,但是矩陣的乘法和數(shù)的乘法有所不同,那么在定義矩陣“倒數(shù)”的時候會與數(shù)的倒數(shù)的定義有何不同之處呢?通過適當(dāng)?shù)囊?學(xué)生有一個從直觀到抽象的思維過程,一個先思考問題再尋求答案的過程,這樣不僅能使學(xué)生更好地掌握基本概念,同時也能提高學(xué)生的抽象思維能力和獨立解決問題的能力。

其次,針對部分同學(xué)反映上課能聽懂,但課后作業(yè)不知從何下手這一情況,教師應(yīng)該注重改進傳授掌握知識的方法,使用單一的教學(xué)方式在當(dāng)今電子科技高速發(fā)展的時代往往不能滿足教學(xué)的需要,僅僅使用PPT教學(xué)對于“高等代數(shù)”這門高度抽象化、對數(shù)學(xué)思維要求高的課程來說很容易讓學(xué)生跟不上節(jié)奏,或是僅僅表面上接受了但實際上卻還沒理解[6]。因此,在教學(xué)過程中教師應(yīng)注重教學(xué)模式上的多樣化,例如教學(xué)方式上我們可以采用啟發(fā)式、問題教學(xué)法。講授之前先讓學(xué)生有所疑惑,使學(xué)生產(chǎn)生主動尋求問題答案的興趣,發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性。教學(xué)模式上我們可以在適當(dāng)?shù)臅r候?qū)⒄n堂交給學(xué)生,形成互助式課堂模式,讓學(xué)生教學(xué)生,在教與學(xué)的狀態(tài)下隨時切換。一方面,讓學(xué)生站在教的角度體驗如何傳授知識,另一方面讓學(xué)生在學(xué)的角度體驗如何獲取知識。不同的身份互換更有助于學(xué)生理解內(nèi)容的重點和難點。教學(xué)輔助工具上我們還可采用MATLAB、畫圖等工具,動態(tài)演示變化的過程,將原本枯燥抽象的數(shù)學(xué)知識以更具體的形象展示,有助于學(xué)生更好理解。

再次,可以適當(dāng)增加習(xí)題課的次數(shù),減少習(xí)題課規(guī)模。以往傳統(tǒng)的習(xí)題課模式都是講完一章內(nèi)容之后針對本章內(nèi)容講解習(xí)題,知識點相對集中且專一的,這一點與我們前面總結(jié)的考研題特點不同。但平時的教學(xué)中我們確實也應(yīng)該將每一個小知識點練好。針對這種情況,我們建議推廣分級式習(xí)題課。具體可分為基礎(chǔ)知識習(xí)題課、綜合運用習(xí)題課和考研題習(xí)題課。不同的習(xí)題課講授題目的側(cè)重點不同,基礎(chǔ)習(xí)題課側(cè)重于鞏固基礎(chǔ)知識;綜合習(xí)題課可有意將聯(lián)系較緊密的習(xí)題放在一起,分析每個習(xí)題所涉及的知識點,從這些知識點之間的聯(lián)系中尋求解題思路,注重講解解題方法,歸納解題思路;考研題課可講解歷年考研真題,與學(xué)生一起分析考研題的重難點。鑒于課時的限制,我們在增加習(xí)題課次數(shù)的同時也要減少習(xí)題課規(guī)模。還可進行公開答疑,收集學(xué)生的問題后教師公開解答,使所有學(xué)生受益。

最后,穿插數(shù)學(xué)史的講解,了解數(shù)學(xué)定理背后的故事,培養(yǎng)學(xué)生探索求真的科學(xué)精神,幫助學(xué)生樹立正確的世界觀人生觀和價值觀。數(shù)學(xué)是一個不斷創(chuàng)新、不斷發(fā)展的龐大的知識體系,無數(shù)數(shù)學(xué)前輩和學(xué)者刻苦研究,形成了如今完整的數(shù)學(xué)知識體系。但是,如果只是被動地接受前人的成果,忽視數(shù)學(xué)知識概念和內(nèi)容的歷史發(fā)展過程,就會導(dǎo)致學(xué)生成為只會計算和解題的“機器”。數(shù)學(xué)史知識中蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)精神,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史知識能夠讓人們擺脫學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的枯燥和困難,避免人們產(chǎn)生“只見樹木不見森林”的迷失感,提高學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)質(zhì)量。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程中,如果能夠了解對應(yīng)數(shù)學(xué)知識的起源和發(fā)展歷史,學(xué)習(xí)者就能夠自然而然地接受和理解數(shù)學(xué)知識,更進一步地了解數(shù)學(xué)知識中的概念和原理[7]。例如,我們在講解行列式和矩陣的之前會介紹它們出現(xiàn)的原因,讓學(xué)生明白行列式和矩陣是解線性方程組的兩大工具。而中國最早開始有記載解線性方程組是出自《九章算術(shù)》之中。同學(xué)們普遍只知道《九章算術(shù)》是中國最早的數(shù)學(xué)著作,可卻不了解里面已經(jīng)有記載關(guān)于解方程的內(nèi)容。由于現(xiàn)在我們接觸到的方程大都是含有英文字母或者希臘字母的等式,導(dǎo)致學(xué)生普遍認為解方程最早應(yīng)該是從西方引入。通過講解《九章算術(shù)》中解方程的方法,介紹古代算籌的用法,既讓學(xué)生明白了解方程的由來,知曉行列式和矩陣的作用,又讓學(xué)生了解了中國數(shù)學(xué)歷史,增強了民族自信心。

對于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說,如果教師們僅僅教課本的知識,遠遠不足以應(yīng)對這些考研試題,更不用說利用高等代數(shù)知識來解決現(xiàn)實生活中的實際問題。結(jié)合筆者多年來的教學(xué)經(jīng)驗來看,應(yīng)該立足教材,把知識點進行拓展和延伸,將高等代數(shù)知識從現(xiàn)實生活中引出來再應(yīng)用到現(xiàn)實生活中去,以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,讓他們知其然,更知其所以然。結(jié)合學(xué)科的特點,精心撰寫教學(xué)案例,設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié),增強教學(xué)過程的趣味性,引入時下社會關(guān)心熱點問題,適當(dāng)融入思政元素,從而完成立德樹人的根本任務(wù)。與此同時,也能結(jié)合線上線下的一些精品課程、翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)模式等增強教學(xué)效果,促進學(xué)生的全面發(fā)展。