正交各向異性圓柱殼裂紋形態(tài)求解及其自由振動特性①

謝宗偉 譚大鵬 王 彤 李 霖 殷梓超 吳佳峰

(浙江工業(yè)大學機械工程學院 杭州 310014)

0 引言

薄壁圓柱殼振動響應是一個復雜的非線性動力學問題,對其裂紋形態(tài)進行求解是該領域的一個難點。目前針對此類問題的研究對象主要為各向同性材料結構[1-4]。近年來,正交各向異性圓柱殼開始在航空航天、核電、石油等行業(yè)得到廣泛應用[5-6],其結構特性引起國內外學者的關注。Liu 等人[7]基于Donnell-Mushtari 殼體理論,給出了具有經典邊界條件的正交異性圓柱殼的解析過程,并得到了具有確定系數的封閉振動解。在此基礎上,張愛國等人[8]為了解決邊界條件的局限性問題,利用改進的Fourier 級數法,得到了正交各向異性圓柱殼自由振動的控制方程,研究了不同邊界條件對正交各向異性圓柱殼結構振動行為的影響。此外,波傳播法將圓柱殼的邊界條件簡化成對應的梁邊界,可以有效地研究一般邊界條件下正交各向異性圓柱形殼的自由振動特性。汪志強等人[9]基于Flügge 殼體理論和波傳播方法討論了正交各向異性圓柱殼的自由振動問題。Pang 等人[10]基于Reissner-Naghid 殼體理論,建立了控制運動方程,并利用波傳播法研究了一般邊界條件下,正交各向異性圓柱殼的自由振動特性。

在實際工作中,正交各向異性圓柱殼經常承受復雜的沖擊作用,因而產生一定幅度的振動。在某些特殊情況下,沖擊振動會致使薄殼產生疲勞裂紋,從而引發(fā)斷裂,造成嚴重的生產事故。因此,為了確保其工作的安全,含有裂紋的正交各向異性圓柱殼的振動響應特性研究具有重要意義。關于結構中的裂紋分析,Joshi 等人[11]提出了一種含局部裂紋的正交各向異性薄板模型,分析了3 種邊界條件對第一振型頻率的影響。Lai 等人[12]研究了熱環(huán)境條件下具有裂紋缺陷的正交各向異性矩形板的振動,考慮了裂紋矩形板的均勻加熱載荷,研究了有裂紋或無裂紋板的臨界屈曲溫度。在這些研究中,裂紋被假設是平行于板的一側邊緣。Googarchin 等人[13]利用線彈簧模型建立殼體動力學模型,得出了含裂紋正交各向異性圓柱殼自由振動的解析解,但其只能分析軸向和周向2 種特定角度的裂紋,存在一定的局限性。

綜合以上研究發(fā)現,目前關于含裂紋缺陷的正交各向異性圓柱殼振動特性的研究較少,建立的裂紋模型存在不能充分模擬裂紋的形態(tài)、擴展角度和傳播方向等問題。針對上述問題,本文對含有斜裂紋的正交各向異性圓柱殼的自由振動進行了研究,基于Kirchhoff-Love 殼體理論,得到殼體運動的齊次偏微分方程組;利用線彈簧模型來表示殼體上的表面裂紋,根據殼體的正交各向異性,分析裂紋區(qū)域附近的附加應力,從而將裂紋元素引入到系統(tǒng)微分方程組中;求解方程組,得到含表面裂紋條件下正交各向異性圓柱殼的振動響應特性,在此基礎上討論殼體參數以及裂紋形態(tài)等對自由振動固有頻率的影響,并基于不同階數的固有頻率下降比等值線圖對裂紋形態(tài)進行識別,得到裂紋的幾何空間分布。本文提出的方法可以簡單有效地求解含表面斜裂紋的正交各向異性圓柱殼的自由振動問題,可為正交各向異性圓柱殼裂紋擴展規(guī)律及其裂紋識別方法的研究提供新的思路。

1 建模與求解

1.1 正交各向異性圓柱殼力學模型

建立如圖1 所示的正交各向異性圓柱殼力學模型,為了方便計算,采用圓柱坐標系進行研究。r、θ和x分別代表徑向坐標、周向坐標與軸向坐標。圓柱殼的中面半徑為R、厚度為h、長度為L。

圖1 正交各向異性圓柱殼模型及坐標系示意圖

正交各向異性圓柱殼在坐標方向上的彈性模量為Ex、Eθ,泊松比為νx、νθ,根據Betti 原理[14],彈性模量和泊松比之間有以下關系:

選取殼體微元柱面為研究對象,設軸向、周向和徑向的位移分別為u、v、w,根據Kirchhoff-Love 殼體理論,殼體的應變表達式為[15]

其中,t為時間,ρ為圓柱殼的密度。對于正交各向異性材料,Nx、Nθx、Nxθ和Nθ是單元上的薄膜應力,Mx、Mxθ和Mθ是單元內的彎矩,它們與位移u、v、w的關系為

式(5)、(6)中,Aij(i,j=1,2,6) 是拉伸剛度,Dij是彎曲剛度,且Dij=Aijh2/12,i,j=1,2,6,Aij的表達式為

其中,Gxθ為殼體材料的剪切模量。

式(4)所示為完整正交各向異性圓柱殼自由振動方程,為了模擬裂紋的存在,還需應用合適的裂紋模型。本文利用線彈簧模型來模擬表面裂紋,將該模型引入正交各向異性圓柱殼模型的重點和難點主要在于,需要根據殼體的正交各向異性計算裂紋區(qū)域的附加應力與附加彎矩。

1.2 裂紋形態(tài)求解方法

線彈簧模型[16]是基于Kirchhof-Love 殼體理論提出的解決板殼結構表面裂紋問題的簡化計算模型,其主要優(yōu)點是將表面裂紋這種三維問題降為二維問題進行處理,從而降低了分析和計算過程的復雜性。假設裂紋的尺寸與殼體尺寸相比很小,當曲率的影響可以忽略不計時,用板問題的裂紋柔度系數來模擬殼體裂紋是一個簡單有效的方法。因此,本文利用線彈簧模型來解決正交各向異性圓柱殼的裂紋形態(tài)求解問題。

本文假設裂紋位于殼體的中心,圖2 所示為含裂紋殼體微元柱面作用力和力矩分布,圖中Qxr和Qθr為微元上的橫向剪切力,和為裂紋區(qū)域的附加薄膜應力,和為裂紋區(qū)域的附加彎矩。

圖2 含裂紋正交各向異性圓柱殼微元的力和力矩分布

Moazzez 等人[2]計算了各向同性殼體裂紋區(qū)域和遠離裂紋區(qū)域的力和彎曲之間的關系。根據殼體的正交各向異性,這些關系可以表示為

式(8)～(11)中,a=Rθc是表面裂紋長度的一半,θc是裂紋張開角的一半,αc為表面裂紋與x軸之間的夾角,αtt、αtb和αbb是對稱加載條件(模式1)下的裂紋柔度系數;ctt、ctb和cbb是反對稱加載條件(模式2 和模式3)下的裂紋柔度系數。

關于對稱加載條件下的裂紋柔度系數,模式1的應力強度因子可表示為

其中,σ和m分別為名義拉應力和名義彎曲應力。gt和gb分別為結構的薄膜和彎曲應力強度因子,分別可以表示為

其中,ξ是裂紋深度與殼體厚度之比。裂紋柔度系數可表示為

其中,i,j=t,b,s為裂紋的深度。由上式對裂紋深度進行積分,可得:

在非對稱加載條件下,cij同樣為ξ的函數[17]:

其中,ft和fb可以表示為

將式(8)～(11)中的裂紋項帶入式(4)中可得到含表面裂紋正交各向異性圓柱殼的自由振動方程:

1.3 含裂紋圓柱殼自由振動方程的求解

將式(5)、(6)帶入式(23)中,可得到3 個位移方向上的運動方程:

以簡支邊界條件為例,該邊界條件為

采用波傳播方法進行研究,考慮周向和軸向模態(tài)間的耦合作用,可將自由振動方程位移解的形式設為[18]

其中,Umn、Vmn、Wmn分別對應x、r和θ方向上的位移幅值,λ為x方向的特征波數。當邊界條件為兩端簡支時,λ=mπ/L。n為周向的模態(tài)階數,m為軸向半波數,ω為軸向的圓頻率。將所設的3 個方向的位移解代入式(24)中的圓柱殼自由振動位移方程組中,約去公共因子化簡得到系統(tǒng)特征方程的矩陣形式:

經求解,式(27)中系統(tǒng)特征方程的系數矩陣各元素為

若式(27)有非零解,則行列式的值det([Lij])=0。若已知殼體的特征波數,將特征波數代入到行列式中,按行列式規(guī)則進行展開,可得到關于自由振動固有頻率ω的六次方程:

式中,ai為方程的系數,通過求解該方程,可得到3對復數根,其中最小的正實根即為對應耦合模態(tài)下正交異性圓柱殼的自由振動固有頻率。本文討論的裂紋形態(tài)因素包括裂紋的長度、角度和深度,通過求解式(37)可以得到含有不同形態(tài)裂紋的圓柱殼的固有頻率,進而分析固有頻率隨著裂紋形態(tài)的變化規(guī)律,由此探尋基于固有頻率的裂紋形態(tài)識別方法。

2 數值分析

2.1 方法驗證

為了驗證所提出計算方法的準確性,將本文計算方法所得結果與已發(fā)表文獻進行對比。通過將式(8)～(11)中的裂紋長度a設置為0,可以得到現有模型的無裂紋結果。選取文獻[19]中給出的4種材料情況進行驗證,其具體材料屬性如表1 所示,將正交各向異性圓柱殼的邊界條件設置為兩端簡支。文獻結果和采用本文方法計算所得結果如表2所示(殼體參數:相對長度L/R=2,相對厚度h/R=0.01,軸向半波數m=l。無量綱固有頻率Ω可以表示為Ω=ωR/

表1 圓柱殼的材料屬性

表2 無量綱固有頻率理論計算結果與文獻中結果對照

文獻[19]和[20]在建立正交各向異性圓柱殼模型時,分別使用了Novozhilov 理論和Flügge 理論。從表2 中的比較結果中可以看出,本文方法計算所得結果與2 組文獻中的計算結果相比,整體誤差很小,其最大值均不超過0.9%。此外,本文方法在分析裂紋問題時,利用線彈簧模型將復雜的三維問題轉化為二維問題,可使用Matlab 編寫程序進行求解,具有計算簡單、求解效率高的優(yōu)點。

2.2 殼體參數對固有頻率的影響

為了分析殼體參數對自由振動固有頻率的影響,結合參考文獻采用如表3 所示的圓柱殼參數進行計算分析。

表3 圓柱殼材料參數

取L/R=5,m=1,無量綱頻率Ω隨周向模態(tài)數n的變化曲線如圖3(a)所示,當n=0、1、2 時,各組h/R對應的Ω幾乎重合;當n＞2 時,h/R=0.05、0.1對應的Ω隨著n的上升迅速增加,且h/R值越大,增加速度越快,而h/R=0.001、0.01對應的Ω值則持續(xù)下降;當n＞4 后趨于平穩(wěn)或呈緩慢增加趨勢。取h/R=0.1,其Ω隨n的變化曲線如圖3(b)所示,當n=0、1 時,殼體的L/R值越小則Ω值越高;當n＞1 時,L/R=10、20、30、40 時對應的Ω變化曲線幾乎重合,其變化趨勢總體上與圖3(a)中曲線h/R=0.1 基本相同。由圖3 可知,當n＞2 時,Ω的值只受相對厚度h/R的影響,對相對長度L/R的變化不敏感。

圖3 無量綱頻率隨周向模態(tài)數變化曲線(m=1)

取L/R=20,n=1,其Ω隨m的變化曲線如圖4(a)所示,取不同的h/R值的殼體,Ω均隨m的上升而增加,且各條曲線幾乎重合,說明隨著m的變化,Ω基本不受h/R值的影響。取殼體h/R=0.1,其Ω隨m的變化曲線如圖4(b)所示,隨著m的上升,Ω均呈增加趨勢,且殼體L/R值越小,Ω增加得越快。由圖4 可知:隨著m的變化,Ω只受L/R的影響,且L/R值越小,Ω增加得越快。

圖4 無量綱頻率隨軸向模態(tài)數變化曲線(n=1)

取L=5 m、h/R=0.01、m=1、Eθ=10 GPa,具有不同Ex/Eθ比的圓柱殼體的無量綱固有頻率Ω隨周向波數n的變化曲線如圖5(a)所示。當n＜4時,各種殼體對應的Ω逐漸減小;當n＞4 時,Ω的值逐漸增大。同時,當Ex/Eθ比越大時,無量綱固有頻率Ω的值越小。

圖5 不同Ex/Eθ 值的圓柱殼無量綱頻率變化曲線

取L=5 m、h/R=0.01、n=1、Eθ=10 GPa,具有不同Ex/Eθ比的圓柱殼體的無量綱固有頻率Ω隨軸向波數m的變化曲線如圖5(b)所示,隨著m的增加,各種殼體對應的Ω逐漸增大,當m＞4 時,Ω的值趨于平穩(wěn)。同樣地,當Ex/Eθ比越大時,無量綱固有頻率Ω的值越小。

2.3 裂紋形態(tài)對圓柱殼固有頻率的影響

正交各向異性圓柱殼上的裂紋形態(tài)如圖6 所示。為了方便表示裂紋的尺寸,定義一個無量綱參數β=θc/θmax(β∈[0,1]),其中θc是裂紋的半開角,θmax是裂紋的最大半開角。由于線彈簧模型僅在裂紋尺寸遠小于殼體尺寸(特別是其半徑)的情況下有效,因此,假設θmax=2°。

圖6 裂紋形態(tài)示意圖

為了表示裂紋的角度,引入了一個無量綱參數η=αc/αmax(η∈[0,1]),αc為表面裂紋與x軸之間的夾角,αmax=90°。另外,ξc為裂紋的深度,則裂紋深度與殼體厚度之比ξ=ξc/h(本文限制ξ∈[0,0.9])。定義第一振型(m=1,n=1) 固有頻率下降比τ=[(ωi-ωc)/ωi]×100%,其中ωi和ωc分別為完整殼體和含裂紋殼體的第一振型固有頻率。

在ABAQUS 軟件中建立含裂紋正交各向異性圓柱殼體的三維有限元模型,并進行模態(tài)分析,以驗證裂紋模型的準確性。在建立有限元模型時,根據式(25)中的約束條件對簡支邊界進行模擬(如圖7所示)。根據在裂紋附近對有限元模型的網格進行加密處理(如圖8 所示),在裂紋尖端進行進一步加密(如圖9 所示),以減少裂紋尖端的應力奇異性,提高模型的計算精度。

圖7 有限元模型及邊界條件設置

圖8 有限元模型的網格劃分及裂紋區(qū)域加密

圖9 裂紋尖端的網格加密細節(jié)

采用不同的網格劃分策略對有限元計算結果可能有較大的影響,因此需要進行網格收斂性驗證。從圖10 中可以得出結論,對于全局種子大小小于0.1 的網格配置,第一振型固有頻率幾乎保持不變,因此在建立有限元模型時,將全局種子大小設置為0.1,局部種子為0.01～0.05。

圖10 網格收斂性驗證

表4 中給出了理論計算得出的簡支邊界條件下,含裂紋殼體固有頻率與有限元仿真結果的對比(圓柱殼的材料參數與表3 中的相同,L=5 m,R=1 m,h=0.01 m,β=1,η=1,m=1)。結果表明,理論計算的結果與有限元仿真結果吻合性良好,因此建立的模型可以用來分析裂紋對正交各向異性圓柱殼固有頻率的影響。

表4 含裂紋圓柱殼固有頻率的理論計算結果與有限元仿真計算結果的對照(m=1)

圖11 研究了不同裂紋尺寸對殼體第一振型(m=1,n=1)固有頻率下降比τ的影響。圖11(a)所示為η=1、L=20 m、R=1 m 時,不同相對厚度圓柱殼的τ隨β變化而變化的曲線,可見固有頻率隨著裂紋長度增大而減小,這是由于裂紋的存在使殼體剛度減小所導致的,當h/R越小時,固有頻率下降越明顯。圖9(b)所示為η=1、h=0.01 m、R=1 m時,不同相對長度圓柱殼的τ隨β變化而變化的曲線,從圖中可以看出,對于具有恒定相對厚度的殼體,隨著裂紋長度的增大,固有頻率逐漸減小,同時,對于恒定的裂紋尺寸,在L/R值較大的殼體中,固有頻率的變化更明顯。

圖11 不同裂紋尺寸的頻率下降比

圖12 研究了不同裂紋深度對殼體第一振型固有頻率下降比τ的影響。圖12(a)所示為β=1、η=1、L=20 m、R=1 m 時,不同相對厚度圓柱殼的τ隨裂紋相對深度ξ變化而變化的曲線,可見固有頻率隨著裂紋深度增大而減小,當h/R越小時,固有頻率下降越明顯。

圖12 不同裂紋深度的頻率下降比

圖12(b)所示為β=1、η=1、h=0.01 m、R=1 m 時,不同相對長度圓柱殼固有頻率隨ξ變化而變化的曲線。從圖中可以看出,對于具有恒定相對厚度的殼體,隨著裂紋深度的增大,固有頻率逐漸減小,同時,對于恒定的裂紋尺寸,在較長的殼體中,固有頻率的變化更明顯。

圖13 研究了裂紋角度對裂紋殼體第一振型固有頻率下降比τ的影響,圖13(a)中所示為β=1、R=2 m、L/R=40 時,不同相對厚度圓柱殼的τ隨η變化而變化的曲線。從圖中可以看出,當η ＜0.5時,隨著η的增大,各組固有頻率逐漸減小;當η=0.5,即αc=90 °時,固有頻率減小到最小;當η ＞0.5 時,固有頻率逐漸增大。另外,固有頻率的變化在R/h較大時更明顯。

圖13 不同裂紋角度的頻率下降比

圖13(b)中(β=1、R=2 m、R/h=40),不同相對長度圓柱殼的τ隨η的變化與圖13(a)有相似的趨勢,但固有頻率的變化在L/R值較小時更明顯。

2.4 基于固有頻率下降比的裂紋形態(tài)識別

對于含有斜裂紋的正交各向異性圓柱殼,裂紋形態(tài)的不同,會產生不同的受力狀態(tài),引起不同的裂紋擴展行為,因此對裂紋形態(tài)的識別是十分重要的。

取圓柱殼的L=40 m、R=0.5 m、h=0.01 m,定義m=2、n=1 時的固有頻率下降比為τ’。分別繪制不同階固有頻率下降比τ和τ’ 隨裂紋長度和角度變化的三維曲面圖,如圖14 所示。

由圖14 可知,相同幾何參數的正交各向異性圓柱殼中含有不同角度或長度的裂紋時,會得到不同的固有頻率下降比,因此可以繪制固有頻率下降比在不同裂紋長度β和相對角度η下的等值線圖。由于裂紋點既在第一條等值線也在第二條等值線上,則這2 條等值線必會有交點,交點信息即為裂紋信息?；谏鲜鏊悸?假設正交各向異性圓柱殼上有一裂紋,裂紋的長度β=0.8、角度為η=0.4,通過之前的計算得一階固有頻率下降比τ為0.48%,二階固有頻率下降比τ’ 為0.91%。根據這兩階固有頻率下降比,得到其對應的固有頻率下降比等值線圖,如圖15 所示。從圖中可以看到這2 條等值線相交于β=0.8,η=0.4,即識別出了裂紋的長度和角度。該裂紋形態(tài)如圖16 所示,裂紋的長度為28.2 mm,角度為36 °,深度為4 mm。裂紋形態(tài)的影響因素包括裂紋的長度、角度和深度,這些因素的改變均會導致固有頻率下降比的變化。繪制不同階固有頻率下降比的等值線圖,根據不同等值線圖的交點可以確定裂紋長度、角度和深度,從而有效地識別了正交各向異性圓柱殼上的裂紋形態(tài)。

圖15 基于等值線的裂紋形態(tài)識別

圖16 裂紋形態(tài)示意圖

3 實驗驗證

根據第2 節(jié)中建立的有限元仿真模型仿真來搭建相關實驗平臺(如圖17 所示),采用LMSTest.Lab振動測試平臺對正交各向異性圓柱殼進行模態(tài)頻率測試。選擇玻璃/環(huán)氧樹脂材料管道來作為正交各向異性圓柱殼模型,其幾何尺寸與材料參數如表5所示。

圖17 實驗測試平臺

為了驗證正交各向異性圓柱殼裂紋求解方法的準確性,確定實驗的基本流程:利用沖擊力錘在正交各向異性圓柱殼上施加一個錘擊激勵,并在其上布置加速度傳感器,以獲得圓柱殼的頻率響應函數,在此基礎上利用LMS Test.Lab 對模態(tài)進行提取,以得到圓柱殼的各階自由振動固有頻率。實驗原理如圖18所示。

圖18 實驗原理示意圖

對圓柱殼進行模態(tài)頻率測試,獲得其各階自由振動固有頻率結果(m=1,邊界條件為簡支邊界),并與理論和仿真值進行對比,其結果如表6 所示。從表中可以看出理論值與實驗結果存在一定誤差(這與外界環(huán)境干擾和實驗邊界條件的設置等因素有關),但誤差不超過5%,且理論值與仿真結果較吻合。

表6 完整圓柱殼固有頻率對比(m=1)

表7～9 分別給出了通過實驗方法測得的裂紋長度、深度和角度改變時的正交各向異性圓柱殼第一階(m=1,n=1)固有頻率下降比。從各表中可以看出,理論所得的固有頻率下降比與實驗結果的誤差均不超過3.5%,可以認為所提方法具有較好的準確性。

表7 不同裂紋長度的固有頻率下降比(ξ=0.7,η=1)

表8 不同裂紋深度的固有頻率下降比(β=0.7,η=1)

表9 不同裂紋角度的固有頻率下降比(β=0.7,ξ=0.7)

4 結論

基于Kirchhoff-Love 殼體理論推導了正交各向異性圓柱殼偏微分形式的自由振動方程,結合線彈簧模型,得到了含斜裂紋正交各向異性圓柱殼的自由振動響應特性,分析了殼體的幾何參數與裂紋的尺寸、角度等因素對自由振動固有頻率的影響,并進行了仿真和實驗驗證,主要研究結果可歸納如下。

(1) 當軸向模態(tài)數m一定且周向模態(tài)數n＞2時,完整正交各向異性圓柱殼的無量綱固有頻率Ω的值只受相對厚度h/R的影響,對相對長度L/R的變化不敏感;當周向模態(tài)數n一定時,各階軸向模態(tài)數對應的無量綱固有頻率Ω只受相對厚度L/R的影響,對相對長度h/R的變化不敏感。

(2) 表面裂紋的存在會導致正交各向異性圓柱殼體自由振動各階固有頻率的減小。對于給定的L/R值,表面裂紋對h/R較小的殼體的固有頻率的影響較大,對于具有特定裂紋和h/R值的殼體,L/R值較大的殼體會有較大的頻率變化。

(3) 裂紋的角度對殼體的固有頻率有一定程度的影響,當η＜0.5 時,隨著η的增大,各組固有頻率逐漸減小;當η=0.5,即αc=90°時,固有頻率減小到最小;當η＞0.5 時,固有頻率逐漸增大,這一變化在較短和較薄的殼體中更為明顯。

(4) 通過對裂紋長度和角度的分析,得到了不同階固有頻率及其變化規(guī)律,并利用不同階固有頻率下降比等值線圖實現了對裂紋形態(tài)的識別,可為正交各向異性圓柱殼裂紋擴展規(guī)律及其裂紋識別方法的研究提供新的思路。