在變式教學(xué)中落實數(shù)概念本質(zhì)的一致性

潘麗君　張元國

［摘 要］文章結(jié)合“數(shù)的意義回顧整理”教學(xué)課例，從“計數(shù)單位”的視角對整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的相關(guān)知識進(jìn)行回顧梳理，通過設(shè)計相應(yīng)的變式練習(xí)，讓學(xué)生在具體的習(xí)題訓(xùn)練中進(jìn)一步理解和感悟數(shù)概念本質(zhì)的一致性。

［關(guān)鍵詞］計數(shù)單位；變式教學(xué)；一致性

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）23-0062-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“初步體會數(shù)是對數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號意識”。那么“數(shù)概念本質(zhì)上的一致性”體現(xiàn)在哪里？ 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在教學(xué)建議中又指出：“在理解整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)意義的同時，理解整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)基于計數(shù)單位表達(dá)的一致性?！庇纱丝梢?，“計數(shù)單位”是打通整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)一致性的核心概念?！耙粋€基本概念或基本技能的形成，需要有一定程度的重復(fù)，這就是熟能生巧的古訓(xùn)。那么，中國數(shù)學(xué)教學(xué)的‘重復(fù)訓(xùn)練’，是否有什么優(yōu)越的地方？一個回答是‘重復(fù)經(jīng)過變式而得到發(fā)展’。變式教學(xué)成為中國數(shù)學(xué)教學(xué)的特征之一。”這段話來自2006年出版的數(shù)學(xué)家張奠宙教授撰寫的《中國數(shù)學(xué)雙基教學(xué)》。時至今日，變式教學(xué)仍然是常見的教學(xué)方式，在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮著它獨有的價值和作用?；诖耍疚膶⒁郧鄭u版教材五年級下冊“數(shù)的認(rèn)識回顧整理”這節(jié)復(fù)習(xí)課為例，從計數(shù)單位入手，對整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)進(jìn)行梳理，通過設(shè)計相應(yīng)的變式練習(xí)，讓學(xué)生在具體的習(xí)題訓(xùn)練中進(jìn)一步理解和感悟數(shù)本質(zhì)上的一致性。

【教學(xué)過程】

一、用計數(shù)單位數(shù)數(shù)（shǔshù），感知數(shù)概念的一致性

師：數(shù)學(xué)家華羅庚說“數(shù)源于數(shù)（shǔ）”。那數(shù)是怎樣數(shù)出來的？以365為例，可以怎樣數(shù)？

生1：可以一個一個地數(shù)，1、2、3……一直數(shù)到365。

師：你是以“一”為單位來數(shù)的，還有更快的數(shù)法嗎？

生2：可以先以“十”為單位來數(shù)，10、20、30……數(shù)到360后，再接著數(shù)5個一，即361、362、363、364、365。

生3：可以先數(shù)3個百，接著數(shù)6個十，最后數(shù)5個一。

師：以“一”為單位，以“十”為單位，以“百”為單位，都是以計數(shù)單位來數(shù)數(shù)。所有的整數(shù)都可以用相應(yīng)的計數(shù)單位數(shù)出來。

師：整數(shù)能借助計數(shù)單位數(shù)出來。分?jǐn)?shù)和小數(shù)能數(shù)出來嗎？請舉例說明。

生4：可以“0.01”為單位來數(shù)0.64。0.01、0.02、0.03……數(shù)64個0.01就是0.64。

生5：還可以先數(shù)6個0.1是0.6，再接著數(shù)4個0.01，合起來是0.64。

師：以“0.1”為單位，可以數(shù)出一位小數(shù)；以“0.01”為單位，可以數(shù)出兩位小數(shù)……因此，小數(shù)也可以借助計數(shù)單位來數(shù)。

生6：[35]是數(shù)了3個[15]，還可以接著數(shù)[45]、[55]……數(shù)了多少個[15]就是五分之幾。分?jǐn)?shù)也可以借助計數(shù)單位來數(shù)。

師：整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)，都是借助相應(yīng)的計數(shù)單位數(shù)出來的，都是在數(shù)有多少個計數(shù)單位。

原題：

（1）124 =（? ）×1+（? ? ）×2＋（ ? ）×4

（2）0.24 =（ ? ?）×2+（? ）×4

（3） [2425]=（? ? ）×[125]

變式1：你會用圖形表示0.24、[2425]、124嗎？試試看。

出示學(xué)生作品（如圖1）：

師：說一說你們是怎么畫的。

生7：0.24就是把一個正方形平均分成100份，一個小格表示0.01，涂24個小格就是0.24。

生8：[2425]就是把一個正方形平均分成25份，涂24個小格。

生9：一個小方格表示1，先涂一個百就是100個小方格，再涂2個十就是20個小方格，再涂4個一就是4個小方格。這樣就得到124。

師：畫圖表示數(shù)的意義與數(shù)數(shù)有共同之處嗎？

生10：它們都需要看有多少個計數(shù)單位。數(shù)數(shù)是數(shù)出計數(shù)單位，畫圖是畫出計數(shù)單位。

變式2：在○里填上“＞”、“＜”或“=”。

4260 ○ 5001 ； [35]? ○? [47]；? 1.1 ○? 1.09

生11：4260＜5001。我比較的是千位上的數(shù)，4＜5，所以4260＜5001。

師：為什么比較最高位上的數(shù)？

生11：最高位上的計數(shù)單位最大，4260有4個千，5001有5個千，不管其他數(shù)位上的數(shù)是多少，4個千小于5個千，所以4260＜5001。

生12：[35]＞[47]。 我先通分，[35=2135] ，[47]=[2035]，21個[135]大于20個[135]，所以[35]＞[47]。

生13：1.1＞1.09，個位上的數(shù)都是1，就比較十分位上的數(shù)，1＞0，所以1.1＞1.09。

師：在整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的大小比較中，實質(zhì)上比的是什么？

生14：比的是計數(shù)單位的大小和計數(shù)單位的數(shù)量。

師：在數(shù)的大小比較中，依舊要看計數(shù)單位和數(shù)計數(shù)單位的個數(shù)。

【設(shè)計意圖】原題是用算式呈現(xiàn)數(shù)是對多少個計數(shù)單位的表達(dá)，而變式1改變題型，讓學(xué)生用畫圖的方法表示數(shù)的意義，這種數(shù)形結(jié)合的形式直觀可視地考查了學(xué)生對三種數(shù)的表達(dá)一致性的理解；變式2也是改變題型，讓學(xué)生通過對數(shù)的大小比較進(jìn)一步體驗數(shù)的表達(dá)的一致性。

二、理解十進(jìn)位值制，感受數(shù)概念的一致性

師：在剛才數(shù)數(shù)的過程中，我們知道滿十要向前一位進(jìn)一，這就是十進(jìn)制。十進(jìn)制只用10個數(shù)字符號，即0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，就可以表示所有的數(shù)。整數(shù)和小數(shù)都是十進(jìn)制的，下面結(jié)合練習(xí)來感受。

原題：觀察圖2，你能寫出哪些數(shù)？

變式1：如圖3，有4顆珠子，可以任意擺放到計數(shù)器上。

（1）你可以擺出哪些數(shù)？

（2）擺出的最大的數(shù)是（? ? ?），擺出的最小的數(shù)是（? ? ? ?）。

（3）說一說40、4、0.4、0.04中的“4”的意義。

師：為什么把珠子放在最左邊，得到的這個數(shù)就最大？

生1：因為在計數(shù)器上，計數(shù)單位從右向左越來越大，所以把珠子放在計數(shù)器的最左邊，表示的數(shù)就最大。

師：說一說40、4、0.4、0.04中的“4”的意義。

生2：40中的“4”在十位上，表示4個十；0.4中的“4”在十分位上，表示4個0.1……

師：都是“4”，為什么表示的意義不同？

生3：因為所在的數(shù)位不同，計數(shù)單位也不同，表示的意義就不同。

師：同一個數(shù)字在不同的數(shù)位上，表示的值不同，這就是位值制。我們現(xiàn)在常用的計數(shù)法就是十進(jìn)位值制。

生5：不用寫計數(shù)單位，只需要寫出計數(shù)單位的數(shù)量就行，比較簡單方便。

生6：計數(shù)單位的位置是固定的，整數(shù)的數(shù)位是從右向左依次是個位、十位、百位……小數(shù)部分從左向右依次是十分位、百分位、千分位……所以表示的數(shù)有順序。

師：有了十進(jìn)位值制，只需要在數(shù)位上用0～9十個數(shù)字表示計數(shù)單位的數(shù)量即可。

【設(shè)計意圖】原題是引導(dǎo)學(xué)生理解“相同數(shù)量的珠子，因所在的數(shù)位不同，即計數(shù)單位不同，表示的數(shù)就不同”。變式1是通過任意擺放4顆珠子得到不同數(shù)，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步思考、感知位值制。變式2是把十進(jìn)位值制與古埃及的十進(jìn)累加制對比，凸顯十進(jìn)位值制的優(yōu)勢，即簡單、方便、有序。

三、梳理三種數(shù)的聯(lián)系，感悟數(shù)概念的一致性

師：整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)這三種數(shù)之間有什么聯(lián)系呢？先想一想，整數(shù)與分?jǐn)?shù)之間可以互化嗎？可舉例說明。

生1：1 = [1 1 ]= [22] = [33]……

師：對，1可以寫成分母是1、2、3……的假分?jǐn)?shù)，那么其他的非零自然數(shù)也能化成分母是1、2、3……的假分?jǐn)?shù)嗎？請試著填一填。

原題： 2 = [（? ? ? ）1] =[? （? ? ? ）2] = [（? ? ? ）3]

4 = [（? ? ? ） 1] = [（? ? ? ）2] = [（? ? ? ）3]

變式：

5 = [（? ? ? ）3] = [（? ? ? ）5] = [10（? ? ? ）] = [20（? ? ? ）] = [（? ? ? ?）（? ? ? ?）]

師：所有的非零自然數(shù)都可以看作分母是1、2、3……的假分?jǐn)?shù)。分子是分母倍數(shù)的假分?jǐn)?shù)可以化成整數(shù)。繼續(xù)思考，整數(shù)和小數(shù)可以互化嗎？分?jǐn)?shù)和小數(shù)呢？

生2：3.6 = [3610]，0.26 = [26100]，小數(shù)可以化成分母是10、100、1000……的分?jǐn)?shù)； [35]= 0.6，[13]= 0.333……，分?jǐn)?shù)可以化成小數(shù)。

生3：2.0 = 2，2.00 = 2，根據(jù)小數(shù)的基本性質(zhì)，像這樣的小數(shù)可以化簡為整數(shù)。整數(shù)有時也可以根據(jù)需要改寫成小數(shù)。

師：根據(jù)需要，整數(shù)和分?jǐn)?shù)、整數(shù)和小數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)化。除此之外，它們之間還有聯(lián)系嗎？

……

師：我們認(rèn)識了那么多的整數(shù)，從幾個、幾十、幾百、幾千到幾萬……你認(rèn)為整數(shù)中最小的計數(shù)單位是幾？

生4：整數(shù)中最小的計數(shù)單位是1。

師：對，所有的整數(shù)都可以看作是從1開始累加的，如26是由26個一累加的，703是由703個一累加的……

師：大家在三年級時認(rèn)識了分?jǐn)?shù)，什么時候需要分?jǐn)?shù)？

生5：當(dāng)把一個物體平均分成兩份、三份或更多份，每一份就不能用整數(shù)表示時，產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)。

師：把1平均分7份，其中的一份是[17]，5份是[57]……繼續(xù)下去，我們就可以得到分母是7的所有分?jǐn)?shù)。如果把1平均分9份呢？

生6：我們就可以得到分母是9的所有分?jǐn)?shù)。

師：同理可得，分?jǐn)?shù)是把1平均分得到的。

師：有時為了方便，又把十進(jìn)分?jǐn)?shù)（[110]、[5100]、[23100]……）用小數(shù)表示。小數(shù)的計數(shù)單位就是十分之一、百分之一、千分之一……所以小數(shù)也是把1平均分得到的。

師：還可以進(jìn)一步總結(jié)整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的關(guān)系。所有的數(shù)都是從1開始，把1累加就得到整數(shù)，把1平均分若干份就得到分?jǐn)?shù)，其中十進(jìn)分?jǐn)?shù)又可以寫成小數(shù)。因此，有人說“1是萬數(shù)之首”。（出示圖5）

原題：（1）470是由（? ? ）個1組成的；

（2）[58]可以看作是把1平均分成（? ? ）份，表示這樣的（? ? ）份；

（3）0.672也就是[（? ? ? ? ?）（? ? ? ? ?）] ，即把1平均分成（? ? ）份，表示這樣的（? ?）份。

變式：在圖6上畫點表示0.3、1[13]、3、[45]。

【設(shè)計意圖】整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的聯(lián)系可從兩方面來理解，一是三者之間可以互相轉(zhuǎn)化；二是三者之間有內(nèi)在聯(lián)系，即“1”累加產(chǎn)生整數(shù)，把“1”平均分產(chǎn)生分?jǐn)?shù)，十進(jìn)制分?jǐn)?shù)又可以記作小數(shù)。原題是讓學(xué)生理解基礎(chǔ)的“1”的累加和平均分；變式題是讓學(xué)生在數(shù)軸上先找計數(shù)單位再找點，經(jīng)歷“1”的累加和平均分的過程，從而進(jìn)一步體驗計數(shù)單位是數(shù)概念中的關(guān)鍵。

【教后反思】

一、于變式教學(xué)中統(tǒng)整數(shù)概念

教師先讓學(xué)生在最熟悉的數(shù)數(shù)中對“多少個計數(shù)單位”有了最初的感知；再讓學(xué)生在數(shù)的組成中加深認(rèn)識，如0.24=（0.1）×2+（0.01）×4；然后在畫圖表示中，學(xué)生順其自然地想到要數(shù)“多少個計數(shù)單位”后再涂色，如0.24需要數(shù)2個0.1、4個0.01；最后，在數(shù)的大小比較中，學(xué)生通過交流明確比的是“計數(shù)單位及計數(shù)單位的個數(shù)”。學(xué)生的思維在各種形式的變式練習(xí)中穿梭，于變化中體驗不變，學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識上升到“由復(fù)雜到簡單”的回歸，學(xué)生能夠逐步建立數(shù)概念的本質(zhì)模型，即整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)都是計數(shù)單位的累加。

二、于變式教學(xué)中理解數(shù)概念

十進(jìn)位值制在計數(shù)制的發(fā)展中具有重要意義，為加深學(xué)生的理解，通過對“計數(shù)單位的有序排列和無序排列”練習(xí)進(jìn)行變式，體現(xiàn)了計數(shù)單位有序排列的便捷性和高效性，即“不用寫計數(shù)單位，只要寫出計數(shù)單位的數(shù)量就行”，進(jìn)而促使學(xué)生理解“每個數(shù)位上的數(shù)字表示的是相應(yīng)計數(shù)單位的個數(shù)”，感受整數(shù)和小數(shù)基于十進(jìn)位值制的一致性。

三、于變式教學(xué)中關(guān)聯(lián)數(shù)概念

復(fù)習(xí)課不是知識的重復(fù)練習(xí)，而是要在“溫故”的基礎(chǔ)上能夠“知新”，使知識系統(tǒng)化。首先，教師在梳理整數(shù)、分?jǐn)?shù)聯(lián)系的基礎(chǔ)上舉一反三，使學(xué)生能夠融會貫通，厘清整數(shù)和小數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，建立三種數(shù)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系網(wǎng)；其次，教師借助“1”關(guān)聯(lián)整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)三者的關(guān)系，讓學(xué)生從基礎(chǔ)的填空到在數(shù)軸上找點找數(shù)，進(jìn)一步感受計數(shù)單位的重要性，感悟數(shù)概念之間基于計數(shù)單位的聯(lián)系。至此，學(xué)生學(xué)會用整體的、聯(lián)系的眼光看問題，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得以發(fā)展。

（責(zé)編 金 鈴）