單元整體教學(xué)中大概念“錨點(diǎn)”價(jià)值的分析與應(yīng)用

顧健　任建波

［摘 要］大概念統(tǒng)攝的單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)為學(xué)生開(kāi)展“整體的方式”學(xué)習(xí)提供了可能。大概念的中心性、可持久性、網(wǎng)絡(luò)狀和可遷移性等特征決定其蘊(yùn)含特殊的“錨點(diǎn)”價(jià)值，為實(shí)現(xiàn)從知識(shí)習(xí)得走向素養(yǎng)生成搭建了可靠的橋梁和支架。文章的研究基于對(duì)一個(gè)課時(shí)的教學(xué)實(shí)踐探索的視角，首先從這個(gè)課時(shí)所處單元進(jìn)行整體教學(xué)分析，包括解讀教材、提煉大概念，研究學(xué)生、分析學(xué)生學(xué)習(xí)起點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上，將大概念的“錨點(diǎn)”價(jià)值牢牢嵌于學(xué)習(xí)活動(dòng)之中，減少學(xué)生的無(wú)關(guān)認(rèn)知加工，促進(jìn)學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］大概念；單元整體教學(xué)；“錨點(diǎn)”價(jià)值

［中圖分類(lèi)號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）23-0013-04

按照整體論的觀點(diǎn)，學(xué)習(xí)應(yīng)該被視為一個(gè)具有內(nèi)在生成性的自然整體，這意味著學(xué)習(xí)應(yīng)該是以整體的方式進(jìn)行，而不是分而習(xí)之。大概念統(tǒng)攝的單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)為學(xué)生開(kāi)展“整體的方式”學(xué)習(xí)提供了可能。開(kāi)展大概念統(tǒng)攝的單元整體教學(xué)，首先需要對(duì)單元進(jìn)行整體教學(xué)分析，既包括解讀教材、提煉大概念，又包括研究學(xué)生、分析學(xué)生學(xué)習(xí)起點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上，依據(jù)大概念的中心性、可持久性、網(wǎng)絡(luò)狀和可遷移性等特征，將大概念的“錨點(diǎn)”價(jià)值充分彰顯，并滲透和應(yīng)用到學(xué)習(xí)活動(dòng)的聯(lián)結(jié)、過(guò)渡和建構(gòu)之中。本文以蘇教版教材三年級(jí)下冊(cè)第六單元“長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算”一課為例，在分析單元整體教學(xué)中大概念“錨點(diǎn)”價(jià)值的基礎(chǔ)上，對(duì)課時(shí)教學(xué)進(jìn)行實(shí)踐探索。

一、單元整體教學(xué)分析

1.解讀教材、提煉大概念

本單元是平面圖形面積計(jì)算的起步，從一維的度量轉(zhuǎn)到二維的度量，起著承上啟下的作用。從知識(shí)脈絡(luò)上看（如圖1），知識(shí)點(diǎn)在教材上呈線(xiàn)性排列，將面積單位的教學(xué)分為兩段，中間穿插面積計(jì)算，這是因?yàn)槊娣e單位之間的進(jìn)率很難從面積單位本身得出，借助正方形面積更容易理解。教材的編排關(guān)注了單元結(jié)構(gòu)，但是前后知識(shí)和方法的關(guān)聯(lián)略顯不足，比如，長(zhǎng)度、角、體積的度量本質(zhì)都是單位個(gè)數(shù)的累積，如果不將其置于更大的視野中，學(xué)生難以形成“度量”的上位概念并搭建整體遷移的支架。

基于以上分析，結(jié)合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)相關(guān)內(nèi)容的要求，可提煉出本單元的大概念：面積是“數(shù)”單位面積的個(gè)數(shù)，圖形面積具有可加性。在前后知識(shí)的相融互通中理解面積，增強(qiáng)幾何直觀和推理意識(shí)等。

2.研究學(xué)生、分析學(xué)習(xí)起點(diǎn)

選取本校三年級(jí)5個(gè)班學(xué)生（共196名）進(jìn)行前測(cè)，測(cè)試內(nèi)容和相關(guān)結(jié)果如下。

前測(cè)題1.觀察下面的生活現(xiàn)象（如圖2、圖3），用筆涂一涂、畫(huà)一畫(huà)或?qū)懸粚?xiě)，表示它們的不同。

【分析】從統(tǒng)計(jì)結(jié)果來(lái)看，能識(shí)別“面積”的學(xué)生占比高達(dá)65.3%，這主要有兩個(gè)原因：一是生活中有接觸，如“我的手掌比你的大”“我家電視機(jī)屏幕比教室里一體機(jī)的小”，學(xué)生的表達(dá)體現(xiàn)了對(duì)“面積”的初步感知；二是教材中的滲透，如一年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)圖形”單元習(xí)題“在正方形、 長(zhǎng)方形、 三角形和圓里分別涂不同的顏色”已經(jīng)孕伏“面積”的意義。

前測(cè)題2.圖4中的小正方形表示1平方厘米，①②長(zhǎng)方形的面積分別是多少？

【分析】統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，學(xué)生借助單位面積用“全覆蓋”方式求①號(hào)長(zhǎng)方形的面積的正確率達(dá)82.65%，而利用“沿邊擺放”方法求②號(hào)長(zhǎng)方形的面積的正確率只有51.53%，說(shuō)明學(xué)生自主探究有一定的困難。進(jìn)一步分析，有82.14%都采用了劃分單位面積的方法，說(shuō)明教師要關(guān)注這一年齡階段學(xué)生直觀想象和推理能力的培養(yǎng)。

前測(cè)題3.你會(huì)計(jì)算圖5 中長(zhǎng)方形的面積嗎？請(qǐng)列式并說(shuō)明理由。

【分析】從數(shù)據(jù)上看，一旦沒(méi)有“單位面積”輔助思考，學(xué)生的計(jì)算正確率驟然下降，只有65.81%，其中，計(jì)算正確的學(xué)生中有48.06%對(duì)長(zhǎng)方形進(jìn)行了劃分。雖然前測(cè)題2已有暗示，但是學(xué)生并不能建立單位面積的個(gè)數(shù)與長(zhǎng)、寬數(shù)值之間的聯(lián)系。這說(shuō)明教學(xué)中要重視長(zhǎng)方形面積計(jì)算的推導(dǎo)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生感悟長(zhǎng)度、周長(zhǎng)、面積等度量方法的內(nèi)在一致性。

不難發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生已經(jīng)知道了長(zhǎng)方形的面積計(jì)算方法，但是對(duì)“面積大小和計(jì)算”的認(rèn)識(shí)仍然浮于表面，難以遷移和感受度量方法的一致性。教學(xué)中要著重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷用面積單位度量長(zhǎng)方形的過(guò)程，關(guān)聯(lián)線(xiàn)段的“測(cè)量屬性”，進(jìn)而推導(dǎo)出長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算公式，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)角、圓的面積、長(zhǎng)方體的體積做鋪墊。

二、教學(xué)活動(dòng)實(shí)踐

[片段1]關(guān)聯(lián)舊知，激疑啟思

師：還記得怎樣測(cè)量線(xiàn)段的長(zhǎng)度嗎？（出示圖6）請(qǐng)說(shuō)一說(shuō)測(cè)量的過(guò)程。

生1：用1厘米的線(xiàn)段去量，4個(gè)1厘米就是4厘米。

師：線(xiàn)段長(zhǎng)幾個(gè)1厘米就是幾厘米。如果想知道圖7中圖形的面積大小，首先要知道什么？

生2：知道一個(gè)小正方形的面積是多少。

師：如果一個(gè)小正方的面積是1平方厘米，圖7中圖形的面積分別是多少？

生3：分別是1平方厘米、3平方厘米、5平方厘米。

師：你是怎么想的？

生3：每個(gè)圖形中有多少個(gè)面積是1平方厘米的小正方形，面積就是多少平方厘米。

[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)對(duì)測(cè)量線(xiàn)段長(zhǎng)度方法的回顧，使得學(xué)生的度量經(jīng)驗(yàn)自然遷移到面積測(cè)量之中，學(xué)生初步建立“單位測(cè)量屬性”的知識(shí)錨點(diǎn)。在判斷圖7②、③圖形面積時(shí)，學(xué)生還發(fā)現(xiàn)，雖然形狀不同，但是都與小正方形的個(gè)數(shù)有關(guān)，由此感知面積的可度量屬性。

[片段2]實(shí)驗(yàn)操作，探究規(guī)律

師：利用1平方厘米的透明方格紙，拼出一個(gè)長(zhǎng)方形，并記錄在學(xué)習(xí)單上（見(jiàn)表4）。

師：觀察表格，說(shuō)一說(shuō)你的發(fā)現(xiàn)。

生1：我擺的長(zhǎng)方形有4排，每排有5個(gè)，一共有20個(gè)1平方厘米的小正方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是20平方厘米。

生2：我發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的面積與小正方形的個(gè)數(shù)相同。

師（出示圖8）：根據(jù)同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)，可以用這樣的方式表示它們的關(guān)系。

[設(shè)計(jì)意圖]學(xué)習(xí)單給出了思考和觀察的路徑，讓探索有方向。學(xué)生在操作中感受到長(zhǎng)方形的面積與小正方形（單位面積）個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，學(xué)習(xí)單為聚焦面積概念的本質(zhì)提供了豐富的表象；通過(guò)觀察、說(shuō)理，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了每排個(gè)數(shù)與長(zhǎng)之間的聯(lián)系、排數(shù)與寬之間的聯(lián)系；通過(guò)推理，學(xué)生驗(yàn)證了長(zhǎng)方形的面積與單位面積個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。雖然從前測(cè)的結(jié)果來(lái)看，“算”更接近學(xué)生的思維實(shí)際，但是很多學(xué)生對(duì)面積的理解還是停留在了數(shù)值上的相等。

[片段3]抽象推理，得出模型

師（出示長(zhǎng)為4厘米，寬為3厘米的長(zhǎng)方形圖片，圖略）：根據(jù)剛才的結(jié)論，測(cè)量出這個(gè)長(zhǎng)方形的面積至少需要多少個(gè)面積為1平方厘米的小正方形？

生1：不用鋪滿(mǎn)，只需要沿著它的長(zhǎng)擺4個(gè)，沿著它的寬擺3個(gè)，一共需要6個(gè)小正方形，長(zhǎng)方形的面積是4×3=12（平方厘米）。

生2：如果不怕麻煩，只需要一個(gè)小正方形，一邊鋪一邊畫(huà)線(xiàn)，同樣能算出長(zhǎng)方形的面積是12平方厘米。

師：如果沒(méi)有小正方形，怎么能知道這個(gè)長(zhǎng)方形的面積？

生3：可以用尺子量一量，長(zhǎng)是4厘米，寬是3厘米，4×3=12（平方厘米）。也就是每行可以畫(huà)出4個(gè)1厘米的小正方形，一共有3排。

師（出示圖9）：回顧剛才的學(xué)習(xí)過(guò)程，從最初的鋪滿(mǎn)，到鋪一部分，到邊鋪邊畫(huà)，最后直接量出長(zhǎng)和寬，計(jì)算出長(zhǎng)方形的面積，我們推導(dǎo)出的長(zhǎng)方形的面積計(jì)算方法是什么？

生4：長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬。

師：如果長(zhǎng)方形的長(zhǎng)用字母a表示，寬用字母b表示，長(zhǎng)方形的面積計(jì)算可以用字母表示為S=a×b。

[設(shè)計(jì)意圖]這一環(huán)節(jié)把密鋪和測(cè)量聯(lián)系在一起，學(xué)生在“操作—想象—符號(hào)表征”的過(guò)程中能夠提高數(shù)學(xué)思維力。在進(jìn)行“部分鋪”的操作中，學(xué)生感知了長(zhǎng)方形的面積與長(zhǎng)、寬相關(guān)；在“邊鋪邊畫(huà)”的想象中，學(xué)生明確了二維圖形的面積需要兩個(gè)一維線(xiàn)段長(zhǎng)度的數(shù)值進(jìn)行刻畫(huà)；在總結(jié)計(jì)算公式可用符號(hào)表征的推理中，學(xué)生經(jīng)歷從“特殊”到“一般”，體會(huì)符號(hào)表征的簡(jiǎn)潔性。在整個(gè)過(guò)程中，學(xué)生理解了面積的內(nèi)涵，實(shí)現(xiàn)了從操作的“實(shí)踐表征”向“空間想象”的邁進(jìn)。

[片段4]運(yùn)用模型，體會(huì)一致

師（出示圖10）：只能用邊長(zhǎng)為1厘米的正方形測(cè)量長(zhǎng)方形或正方形的面積嗎？能不能用給定的正方形量一量長(zhǎng)方形的面積？

生1：邊長(zhǎng)為1厘米的正方形面積是1平方厘米，所以圖形①的面積是4×3=12（平方厘米），圖形②的面積是8×4=32（平方厘米）；邊長(zhǎng)為2厘米的正方形面積是4平方厘米，測(cè)量圖形②的面積時(shí)一共擺8個(gè)，所以圖形②面積是4×8=32（平方厘米），但是測(cè)量圖形①時(shí)，不能正好擺滿(mǎn)。

師（出示圖11）：測(cè)量圖形的面積和測(cè)量線(xiàn)段的長(zhǎng)度之間有什么相同的地方嗎？

生2：測(cè)量線(xiàn)段是看有幾個(gè)長(zhǎng)度單位；測(cè)量面積是看有幾個(gè)面積單位。

師（出示圖12）：在以后的學(xué)習(xí)中，測(cè)量物體的體積還會(huì)用到這樣的方法。

[設(shè)計(jì)意圖]學(xué)生通過(guò)比較，發(fā)現(xiàn)用邊長(zhǎng)為2厘米的正方形測(cè)量圖形②更方便，但是測(cè)量圖形①卻有困難。用邊長(zhǎng)為1厘米的正方形既能測(cè)量圖形①也能測(cè)量圖形②，在對(duì)比中從度量角度理解了像1厘米、1分米，以及1平方厘米、1平方分米這些數(shù)學(xué)中規(guī)定的常用長(zhǎng)度和面積單位有其合理性，是選擇的結(jié)果。

三、教后反思

一般來(lái)說(shuō)，兒童建構(gòu)“面積測(cè)量”這個(gè)“概念”需要經(jīng)歷三個(gè)階段：首先，6歲左右的兒童可以在具體操作活動(dòng)中建構(gòu)面積守恒的觀念；其次，10歲左右的兒童可以通過(guò)操作活動(dòng)“發(fā)明”測(cè)量各種規(guī)則平面圖形面積的方法；最后，12歲左右的兒童可以用純粹形式化的代數(shù)推理得出各種平面圖形的面積公式。

為了更精確地了解三年級(jí)學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，通過(guò)前測(cè)了解學(xué)生對(duì)“面積”相關(guān)知識(shí)的掌握現(xiàn)狀，如混淆周長(zhǎng)和面積的概念、會(huì)計(jì)算方法卻道不明理由等。在此基礎(chǔ)上，教師從學(xué)生的“已知”“已會(huì)”出發(fā)，重整教學(xué)資源，使學(xué)生在回顧測(cè)量長(zhǎng)度的經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程中初步感悟“單位測(cè)量屬性”；在操作活動(dòng)中體悟數(shù)值相等背后是“單位面積個(gè)數(shù)”與“長(zhǎng)方形面積”的對(duì)應(yīng)關(guān)系；在推理思辨中領(lǐng)悟如何用“一維線(xiàn)段”刻畫(huà)“二維面積”；在拓展運(yùn)用中以整體視角深刻理解線(xiàn)、面、體的“錨點(diǎn)”——單位的可累積性?！皩W(xué)”是“需求側(cè)”，表明在哪里；“教”是“供給側(cè)”，指向去哪里。只要立足學(xué)情調(diào)研、資源調(diào)配，抓住大概念的“錨點(diǎn)”，就能讓教學(xué)預(yù)期“可及”，也能實(shí)現(xiàn)“學(xué)”與“教”的“共振”。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 李剛，呂立杰.國(guó)外圍繞大概念進(jìn)行課程設(shè)計(jì)模式探析及其啟示[J].比較教育研究，2018（9）：35-43.

【該文系2022年度江蘇高校哲學(xué)社會(huì)科學(xué)研究重大項(xiàng)目“大概念的教學(xué)意蘊(yùn)與統(tǒng)攝機(jī)制研究”（編號(hào)：2022SJZD044）和2022年江蘇省研究生教育教學(xué)改革一般課題“大概念視域下小學(xué)教育專(zhuān)業(yè)碩士教學(xué)想象力生長(zhǎng)路徑研究”（編號(hào)：JGKT22_C082）基金項(xiàng)目的研究成果?！?/p>

（責(zé)編 金 鈴）