分布式Goppa 碼在中繼處的優(yōu)化算法?

封芳安 仰楓帆

（南京航空航天大學(xué) 南京 210016）

1 引言

戈帕（Goppa）在1970 年巧妙地構(gòu)造了一類(lèi)線性分組碼——Goppa 碼［1～2］。作為交替碼的子類(lèi)，現(xiàn)研究已經(jīng)證明，存在某些好的Goppa 碼，性能能達(dá)到Gilbert-Varshamov 界［3］。因?yàn)镚oppa 碼具有不錯(cuò)的特性，其性質(zhì)和構(gòu)造方法以及譯碼方法一直被眾多學(xué)者深入的研究。如，McElice 公鑰體制中采用了Goppa碼。因此，對(duì)Goppa 碼研究是十分重要的。為應(yīng)對(duì)信道信號(hào)衰落問(wèn)題，分集技術(shù)中的編碼協(xié)作技術(shù)十分有效［4～6］。像LDPC 碼［7］、Turbo 碼［8］、Polar碼［9］等已經(jīng)被應(yīng)用于協(xié)作通信系統(tǒng)中，然而基于Goppa 碼的協(xié)作通信還沒(méi)有好好的被研究［10］。本文提出了一種分布式Goppa 碼中繼編碼協(xié)作方案，在中繼處提出一種信息選擇的方式，在目的節(jié)點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)優(yōu)化的聯(lián)合碼。針對(duì)該聯(lián)合碼的特性，提出了兩種聯(lián)合譯碼算法。為Goppa 碼的協(xié)作通信系統(tǒng)的應(yīng)用做出了探索性的研究。仿真結(jié)果表明，我們所提出的分布式Goppa 碼中繼編碼協(xié)作方案的具有良好的系統(tǒng)性能。

2 Goppa碼的構(gòu)造

設(shè)L={α0，α1，…，αn-1}是一個(gè)由n 個(gè)不同元素的組成的集合，其中αi?Ω=GF(qm)（q 是質(zhì)數(shù)或質(zhì)數(shù)的冪，m 是正整數(shù)），令g(z)?Ω[z]是次數(shù)為r的首一多項(xiàng)式(0≤r≤n)且對(duì)于所有取自集合L 中的元素都有g(shù)(αi)≠0。那么Goppa 碼Γ(L，g(z))是在GF（q）上的所有滿足式（）的矢量c=(c0，c1，…，cn-1)的集合。

多項(xiàng)式g(z) 被稱(chēng)為Goppa 多項(xiàng)式［11］。Goppa碼的校驗(yàn)矩陣H如下：

Goppa 碼碼長(zhǎng)n 為集合L 中元素的數(shù)目，信息位k 滿足k≥n-mr，最小距離d 滿足d≥r+1。Goppa碼作為GRS碼的一個(gè)子類(lèi)。Goppa的譯碼［12～14］可以應(yīng)用BCH碼、RS碼的譯碼方式。

3 分布式Goppa碼協(xié)作系統(tǒng)的構(gòu)造

圖1展示了分布式Goppa碼中繼協(xié)作方案的模型。單中繼協(xié)作模型包含源節(jié)點(diǎn)S、中繼節(jié)點(diǎn)R 以及目的節(jié)點(diǎn)D。中繼節(jié)點(diǎn)采用半雙工傳輸模式，所有節(jié)點(diǎn)均使用單個(gè)天線發(fā)送和接收信號(hào)。由源節(jié)點(diǎn)生成的序列m 需要兩個(gè)時(shí)隙和兩組不同的Goppa 碼在信道上傳輸。Goppa 碼C1（N，K1，d1）和C2（N，K2，d2）（K2≤K1）分別用在源節(jié)點(diǎn)和中繼節(jié)點(diǎn)。

圖1 分布式Goppa中繼協(xié)作方案系統(tǒng)模型

在時(shí)隙1，信息序列m 進(jìn)入系統(tǒng)Goppa 編碼器C1（N，K1，d1）得到碼序列c1。經(jīng)過(guò)BPSK調(diào)制后，源節(jié)點(diǎn)向中繼節(jié)點(diǎn)和目的節(jié)點(diǎn)廣播發(fā)送調(diào)制信號(hào)xS。中繼節(jié)點(diǎn)和目的節(jié)點(diǎn)分別收到信號(hào)ySR和ySD。

其中h是信道衰落系數(shù)，n是加性高斯白噪聲。

在時(shí)隙2，解調(diào)信號(hào)ySR得到序列r1，然后將序列r1送入Goppa 譯碼器，通過(guò)歐幾里得譯碼算法得到估計(jì)信息序列m1。在中繼處從序列m1里挑選K2位信息符號(hào)作為第二組Goppa 碼的信息序列m2。序列通過(guò)系統(tǒng)Goppa編碼器C2（N，K2，d2）得到碼序列c2。在BPSK 調(diào)制之后，中繼節(jié)點(diǎn)廣播給目的節(jié)點(diǎn)發(fā)送調(diào)制信號(hào)xR。目的節(jié)點(diǎn)將從兩路接收到的信號(hào)串聯(lián)得到聯(lián)合信號(hào)y=［ySD，yRD］。將聯(lián)合信號(hào)y解調(diào)后得到的聯(lián)合估計(jì)碼序列［r1，r2］進(jìn)行聯(lián)合譯碼，最終得到估計(jì)信息序列。

4 中繼處的信息選擇

中繼處的信息選擇是在目的節(jié)點(diǎn)構(gòu)建聯(lián)合碼的關(guān)鍵。不同的信息選擇模式會(huì)導(dǎo)致目的節(jié)點(diǎn)處的聯(lián)合碼結(jié)構(gòu)不同，從而影響編碼協(xié)作方案的整體性能。假設(shè)聯(lián)合碼的最小漢明距離為d3，我們希望最小距離d3盡可能的大，然而可能存在多種選擇方式使得最小距離一樣大。在這種情況下，提出一種確定選擇方式的標(biāo)準(zhǔn)。我們采用使得具有最小重量為d3的碼字c 的數(shù)目盡可能小的選擇模式。通過(guò)該方法選擇的聯(lián)合碼相對(duì)于最小距離相同的其他聯(lián)合碼具有更好的碼重分布。具體步驟如下：

1）我們考慮只有一位是非零的，其余位置都是0 的消息序列，對(duì)其進(jìn)行編碼，找到碼字重量等于最小距離的碼字，并將這些對(duì)應(yīng)的非0 位置存儲(chǔ)在集合τ中。從恢復(fù)K1個(gè)消息比特中挑選K2位信息，為了增加目的節(jié)點(diǎn)聯(lián)合碼的最小距離，則必須選擇集合τ中元素的對(duì)應(yīng)位置。因此，K2個(gè)位置中有τ位已經(jīng)被確定，其余的位置再隨機(jī)選擇。把所有的選擇模式都記錄在集合B中。

2）將生成的碼字重量為d1的所有消息序列存儲(chǔ)在集合A 中。所有這些序列都通過(guò)集合B 中的挑選方式挑選后對(duì)其進(jìn)行編碼，將兩段碼字聯(lián)合后，確定聯(lián)合碼字的碼重d=d1的碼字?jǐn)?shù)量v。尋找碼重為d1最小碼字?jǐn)?shù)量v 對(duì)應(yīng)的挑選方式，如果只有一種挑選方式滿足，即為優(yōu)化的選擇模式。如果最小數(shù)量v 對(duì)應(yīng)的挑選方式有多種，則通過(guò)這些挑選方式挑選后，編碼確定聯(lián)合碼碼字重量d=d1+1的碼字重量v，尋找碼重為d1最小碼字?jǐn)?shù)量v 對(duì)應(yīng)的挑選方式，如果還有多種選擇模式，增大碼字重量d，重復(fù)上述步驟，繼續(xù)篩選直到剩下最佳的選擇模式。

5 聯(lián)合譯碼算法

聯(lián)合譯碼是分布式編碼協(xié)作系統(tǒng)的關(guān)鍵?；谔岢龅姆植际紾oppa 編碼協(xié)作方案，提出了兩種聯(lián)合譯碼算法，具體細(xì)節(jié)如下。

5.1 并行聯(lián)合譯碼

并行聯(lián)合譯碼如圖2 所示。Goppa1和Goppa2譯碼器分別對(duì)解調(diào)序列r1和r2進(jìn)行譯碼得到估計(jì)信息序列和。由于C2（N，K2，d2）相對(duì)于C1（N，K1，d1）有更多的校驗(yàn)位以及更大的最小距離，在相同條件下，C2的誤碼率性能更加優(yōu)秀，因此將序列按之前的選擇方式替換，最終輸出序列。

圖2 并行聯(lián)合譯碼方案

5.2 串行聯(lián)合譯碼

串行聯(lián)合譯碼如圖3 所示。通過(guò)Goppa2譯碼器對(duì)解調(diào)序列r2進(jìn)行譯碼得到估計(jì)信息序列。由于使用系統(tǒng)碼，解調(diào)序列r1由信息序列m1和奇偶校驗(yàn)序列p1組成，將序列中的K2個(gè)元素按先前的選擇方式替換，獲得序列。該序列送入Goppa1譯碼器進(jìn)行譯碼得到最終估計(jì)信息序列。

圖3 串行聯(lián)合譯碼方案

6 仿真結(jié)果與性能分析

基于本文提出的分布式Goppa 碼中繼協(xié)作系統(tǒng)，我們采用兩組參數(shù)分別為Goppa1（31，21，5）和Goppa2（31，16，7）的碼。它們的集合L都是取自GF（25）中的所有非零元素。g1（z）=z2+z+1 和g2（z）=z3+z+1 分別為它們的Goppa 多項(xiàng)式，該多項(xiàng)式系數(shù)同樣取自于GF（25）。在仿真中，均采用BPSK 的調(diào)制方式以及歐幾里得迭代譯碼算法，在高斯信道和瑞利快衰落信道傳輸106幀數(shù)據(jù)。設(shè)γS，D，γS，R，γR，D分別為源到目的節(jié)點(diǎn)的信噪比，源到中繼節(jié)點(diǎn)的信噪比和中繼到目的節(jié)點(diǎn)的信噪比。因?yàn)橹欣^節(jié)點(diǎn)相對(duì)于源節(jié)點(diǎn)更靠近目的節(jié)點(diǎn)，假設(shè)γR，D=γS，D+2dB，和在理想狀態(tài)（γS，R=∞）下傳輸。

6.1 不同選擇方式對(duì)碼的性能的影響

基于上述信息選擇方案，最佳選擇方式的｛2，4，5，7，9，10，11，12，13，14，15，16，18，19，20，21｝，假設(shè)隨機(jī)選擇方式是挑選前K2位，均采用串行譯碼算法。由圖4 和圖5 可知，我們所提出的中繼信息選擇方案無(wú)論在高斯信道下還是在瑞利快衰落信道下，誤碼率性能明顯優(yōu)于隨機(jī)的信息選擇方式。在高斯信道下，在誤碼率等于10-5時(shí)，大約有0.7dB的性能提升；在瑞利快衰落信道下，誤碼率為2×10-5，約有1.7dB的性能提升。

圖4 AWGN信道下不同選擇方式的性能比較

圖5 瑞利快衰落信道下不同選擇方式的性能比較

6.2 不同聯(lián)合譯碼算法的性能在AWGN 信道下的性能比較

圖6展示了所提出的分布式Goppa碼協(xié)作方案采用不同譯碼算法在AWGN 信道下的仿真曲線。從仿真曲線中可以看出，本文提出的Goppa 碼中繼協(xié)作系統(tǒng)明顯優(yōu)于非協(xié)作系統(tǒng)，并且所提出的串行譯碼算法優(yōu)于并行譯碼算法。在誤碼率為10-5時(shí)，串行譯碼算法對(duì)于并行譯碼算法約有0.7dB 的性能增益。

圖6 AWGN信道下不同譯碼算法的性能比較

6.3 不同聯(lián)合譯碼算法的性能在瑞利衰落信道下的性能比較

圖7展示了所提出的分布式Goppa碼協(xié)作方案采用不同譯碼算法在快衰落信道下的仿真曲線。

圖7 瑞利快衰落信道下不同選擇方式的性能比較

從仿真曲線中可以看出，本文提出的Goppa 碼中繼協(xié)作系統(tǒng)明顯優(yōu)于非協(xié)作系統(tǒng)，并且所提出的串行譯碼算法優(yōu)于并行譯碼算法。在誤碼率為2×10-5時(shí)，串行譯碼算法對(duì)于并行譯碼算法約有1.8dB的性能增益。

7 結(jié)語(yǔ)

基于對(duì)Goppa 碼和協(xié)作通信的研究，本文提出了一種分布式Goppa 編碼協(xié)作系統(tǒng)，在該系統(tǒng)上提出了中繼信息選擇方法，來(lái)使得目的節(jié)點(diǎn)獲得優(yōu)化的聯(lián)合碼?；诼?lián)合碼的特性，提出了并行聯(lián)合譯碼和串行聯(lián)合譯碼算法。通過(guò)在AWGN 信道和瑞利信道的仿真，中繼處的適當(dāng)?shù)男畔⑦x擇方法對(duì)于隨機(jī)選擇更具優(yōu)勢(shì)，此外，串行譯碼算法比并行譯碼算法的性能更好，與非協(xié)作方案的比較表明所提出的分布式Goppa 編碼方案是有效的。在未來(lái)的工作，我們致力尋找性能更好的Goppa 碼和降低中繼信息選擇算法的復(fù)雜度。