楊國智 李英
[摘? 要] 中考作圖題種類繁多,不同的作圖題,其“道理”不盡相同,考查的內(nèi)容和方法也不相同,這就需要學(xué)生有較強(qiáng)的空間觀念、幾何直觀、數(shù)學(xué)思維能力和動(dòng)手操作能力,這些題目在落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)要求的基礎(chǔ)上很好地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
[關(guān)鍵詞] 中考;作圖題;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)
在距離中考還有兩周的時(shí)候,我們進(jìn)行了中考數(shù)學(xué)適應(yīng)性模擬檢測,其中填空題的第17小題,我們選擇了2021年四川省自貢市中考數(shù)學(xué)試卷的填空題第17題. 之所以選擇這道題,原因有兩點(diǎn):一是作圖題以填空題的形式來呈現(xiàn),形式比較新穎;二是題目要求只用不帶刻度的直尺,在格點(diǎn)中作圖,有別于傳統(tǒng)的“尺規(guī)”作圖. 但分析試卷發(fā)現(xiàn)本題的得分率低于0.5,這是為什么呢?
試題1? (2021年自貢中考第17題)如圖1所示,△ABC的頂點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上. 只用不帶刻度的直尺,作出△ABC的角平分線BD(不寫作法,保留作圖痕跡).
作法解析:延長BC到點(diǎn)E,使得CE為3個(gè)單位長度,連接AE,AE恰好經(jīng)過格點(diǎn)F,作射線BF交AC于點(diǎn)D. BD就是△ABC的角平分線.
在網(wǎng)格中,根據(jù)勾股定理易知△ABC的邊AB的長為5個(gè)單位長度,延長BC到點(diǎn)E,使得BE的長也是5個(gè)單位長度,則△ABE是等腰三角形,∠ABC是等腰三角形ABE的頂角,F(xiàn)是等腰三角形ABE的底邊AE的中點(diǎn),根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可知,BF平分∠ABC.
本題考查的重點(diǎn)是:作圖——應(yīng)用——設(shè)計(jì),涉及的知識(shí)點(diǎn)有勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等,解題的關(guān)鍵是數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.
傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖
初中數(shù)學(xué)的作圖題,以尺規(guī)作圖為主. 所謂尺規(guī)作圖,就是在平面內(nèi)使用圓規(guī)和無刻度直尺通過有限次操作完成圖形與幾何中的作圖問題. 其中,無刻度直尺的主要功能是連接兩點(diǎn)作線段或過兩點(diǎn)作射線和直線;圓規(guī)的功能是用來畫圓、弧,截取一條線段等于已知線段. 關(guān)于尺規(guī)作圖,《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》有明確要求,即能用尺規(guī)作圖:作一個(gè)角等于已知角;作一個(gè)角的平分線;作一條線段的垂直平分線;過一點(diǎn)作已知直線的垂線; 過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線; 已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形;已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形;已知一直角邊和斜邊作直角三角形;過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓;作三角形的外接圓、內(nèi)切圓;作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形;過圓外一點(diǎn)作圓的切線. 在尺規(guī)作圖中,學(xué)生應(yīng)了解作圖的原理,保留作圖的痕跡,不要求寫出作法[1].
試題2? 如圖2所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC.
(1)請用尺規(guī)作圖的方法在邊AC上確定點(diǎn)D,使得點(diǎn)D到邊BC的距離等于DA的長(保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)在(1)的條件下,求證:BC=AB+AD.
第(1)問作法解析:確定點(diǎn)D須滿足兩個(gè)條件,即一是點(diǎn)D必須在線段AC上;二是點(diǎn)D到角的兩邊BC和BA的距離相等. 根據(jù)“到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上”可知,D是∠ABC的平分線與邊AC的交點(diǎn),所以只需要用尺規(guī)作出△ABC的內(nèi)角∠ABC的平分線即可確定點(diǎn)D(作圖如圖3所示).
傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖,都是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求掌握的最基本的作圖,學(xué)生只要理解作圖的基本原理,就可以完成作圖. 尺規(guī)作圖一般要求學(xué)生作圖過程用虛線表示,作圖結(jié)果用實(shí)線表示.
僅利用無刻度直尺作圖
僅用無刻度直尺作圖,是近幾年中考作圖題的創(chuàng)新類試題,這類試題能有效地引發(fā)學(xué)生積極思考,引導(dǎo)學(xué)生利用觀察、猜測、推理、直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法分析問題并積極地解決問題,有助于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成.
試題3? 如圖4所示,點(diǎn)D,E分別是△ABC中AB,AC邊的中點(diǎn),請僅用無刻度直尺按下列要求畫圖.
(1)在BC邊上畫出中點(diǎn)F;
作法解析:(1)因?yàn)槿切蔚娜龡l中線交于一點(diǎn),已知了兩個(gè)中點(diǎn),第三個(gè)中點(diǎn)也就知道了. 連接CD,BE相交于點(diǎn)O,作射線AO交BC于點(diǎn)F. 點(diǎn)F就是BC邊的中點(diǎn). (2)所求的點(diǎn)G是BF的中點(diǎn),在△ABF中,已知D是AB的中點(diǎn),要找到邊BF的中點(diǎn),必須先確定邊AF的中點(diǎn). 在△ABC中,因?yàn)镈,E分別是AB,AC的中點(diǎn),所以DE是△ABC的中位線,即DE∥BC,根據(jù)平行線等分線段定理,可以確定線段AF的中點(diǎn),再根據(jù)(1)的方法,點(diǎn)G即可確定.(作圖如圖5所示)
此作圖題涉及的知識(shí)點(diǎn)有三角形的重心、三角形的中位線和平行線等分線段定理等.
圖形與幾何的作圖題,是學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)實(shí)際問題情境中簡單的數(shù)量關(guān)系與空間形式的重要方式,學(xué)生只有在充分理解、掌握相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上,才能運(yùn)用數(shù)學(xué)語言(幾何作圖)準(zhǔn)確地表達(dá)出空間形式和數(shù)量關(guān)系. 數(shù)學(xué)語言的簡潔美,能使學(xué)生逐步養(yǎng)成用數(shù)學(xué)語言(圖形語言和符號(hào)語言)表達(dá)與交流的習(xí)慣.
利用網(wǎng)格格點(diǎn)作圖
利用“網(wǎng)格+無刻度的直尺”完成作圖,成為數(shù)學(xué)中考作圖題的“新貴”. 這類試題涉及的知識(shí)點(diǎn)繁多,綜合性較強(qiáng),能夠很好地考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.
試題4? 如圖6所示,在每個(gè)小正方形的邊長均為1的網(wǎng)格中,圓上的點(diǎn)A,B,C及∠DPF一邊上的點(diǎn)E,F(xiàn)均在格點(diǎn)上.
(1)線段EF的長等于______;
(2)若點(diǎn)M,N分別在射線PD,PF上,滿足∠MBN =90°,且BM = BN,請用無刻度的直尺,在網(wǎng)格中畫出點(diǎn)M,N,并簡要說明點(diǎn)M,N的位置是如何找到的(不要求證明).
第(2)問作法解析:如圖7所示,因?yàn)楦顸c(diǎn)A,B,C都在圓上,所以2×3的矩形第四個(gè)頂點(diǎn)也在圓上,設(shè)這個(gè)點(diǎn)為G,連接AC,BG相交于點(diǎn)O,則點(diǎn)O為已知圓的圓心. 以線段EF為一邊作正方形EHBF,EH交PD于點(diǎn)M,連接BM交☉O于點(diǎn)R,連接RO并延長,交☉O于點(diǎn)L,連接BL并延長,交PF于點(diǎn)N. 因?yàn)樗倪呅蜤HBF是正方形,所以BH=BF,且∠HBF=90°,又因?yàn)镽L是☉O的直徑,所以∠MBN=90°,所以∠HBM=∠FBN. 易得△HBM≌△FBN,所以BM=BN.
本題涉及的知識(shí)有:90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑、正方形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定等. 在這里,利用好線段EF是解決問題的關(guān)鍵,這也是本題第(1)問求線段EF長度的原因吧.
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),不單單是知識(shí)的積累,更重要的是要通過具體數(shù)學(xué)情境中的基本數(shù)量關(guān)系和空間形式,能夠直觀地理解所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)及其現(xiàn)實(shí)背景,能夠運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)表達(dá)事物之間的聯(lián)系與規(guī)律,從而培養(yǎng)想象力和創(chuàng)新意識(shí).
在坐標(biāo)系中利用平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱作圖
七至九年級(jí)的“圖形與幾何”領(lǐng)域包括“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”和“圖形與坐標(biāo)”三個(gè)學(xué)習(xí)主題. 而利用網(wǎng)格或平面直角坐標(biāo)系作圖,是用代數(shù)的方法來研究圖形的軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)和平移變化規(guī)律,其能在用幾何直觀理解圖形基本事實(shí)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步理解和掌握圖形的性質(zhì)和定理.
試題5? 如圖8所示,在由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中,△ABC的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)(網(wǎng)格線的交點(diǎn)).
(1)將△ABC先向上平移6個(gè)單位長度,再向右平移2個(gè)單位長度,得到△ABC,請畫出△ABC﹔
(2)以邊AC的中點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心,將△ABC按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°,得到△ABC,請畫出△ABC.
作法解析:(1)根據(jù)平移的方式確定點(diǎn)A,B,C的位置,再順次連接即可得到△ABC;
(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)可確定點(diǎn)A2,B2,C2的位置,再順次連接即可得到△ABC.
本題考查作圖——旋轉(zhuǎn)變換與平移變換,解題的關(guān)鍵是理解題意,靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.
拓展延伸
試題6? 如圖9所示,在菱形ABCD中,CE⊥AB,∠B=60°.
(1)請僅用無刻度的直尺完成下列畫圖,不寫畫法,保留畫圖痕跡.
①求作菱形ABCD中BC邊上的高AF;
②求作AD的中點(diǎn)G.
(2)在(1)的條件下,連接EG,設(shè)AF與CE交于點(diǎn)H,若FH=1,求EG的長.
第(1)問作法解析:①連接AC,BD,相交于點(diǎn)O,設(shè)BD與CE相交于點(diǎn)H,連接AH并延長,交BC于點(diǎn)F,AF就是BC邊上的高. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,所以BD⊥AC,AB=AC. 又因?yàn)椤螦BC=60° ,所以△ABC是等邊三角形. 因?yàn)锽D⊥AC,所以∠HBE=30° . 因?yàn)镃E⊥AB,∠ABC=60°,所以∠HCF=30°. 所以HB=HC. 又因?yàn)锳B=AC,所以AF⊥BC(到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上).
②連接FO并延長,交AD于點(diǎn)G,G就是AD的中點(diǎn).
給定的作圖工具越少,作圖的難度越大. 本題雖然只限定用無刻度的直尺完成作圖,包含的信息量不多,但考查的知識(shí)點(diǎn)非常多,主要有菱形的性質(zhì)、等腰(等邊)三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定、三角形的中位線以及平行線分線段成比例,需要較強(qiáng)的綜合能力.
作圖題同圖形的性質(zhì)與判定有著緊密的聯(lián)系,不同的作圖題,其“道理”可能不盡相同,考查的內(nèi)容和方法也不相同,這就需要學(xué)生有較強(qiáng)的空間觀念、幾何直觀、數(shù)學(xué)思維能力和動(dòng)手操作能力. 作圖題在落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)要求的基礎(chǔ)上很好地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),成為中考數(shù)學(xué)的必考題型. 作圖時(shí),學(xué)生需想象通過尺規(guī)作圖操作后所形成的平面圖形的形狀,進(jìn)一步理解尺規(guī)作圖的基本原理、所涉及的知識(shí)點(diǎn)和所用到的作圖方法,從而發(fā)展動(dòng)手操作能力、空間觀念和空間想象力,以達(dá)到培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.
參考文獻(xiàn):
[1]中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)[M]. 北京:北京師范大學(xué)出版社,2022.