求解傳輸線方程定解的一般邊界條件

王身云

(南京信息工程大學 電子與信息工程學院,南京 210044)

“微波技術與天線”是南京信息工程大學電子信息工程專業(yè)開設的一門專業(yè)必修課程,微波技術部分研究的基本問題是微波能量或微波信號在無線系統(tǒng)導行波結構上的非輻射傳輸技術,主要講授內容包括:傳輸線原理、波導傳輸線、集成傳輸線、微波網絡、微波元件等幾個部分。微波技術是設計各種無線系統(tǒng)的基礎,廣泛應用于移動通信[1]、衛(wèi)星通信[2]、雷達探測[3]以及微波無線輸電[4]等領域。近年來,高校在“微波技術與天線”教學改革中,理論教學[5]、實驗教學[6]以及基于電磁仿真軟件的數(shù)值模擬[7-8]等多種教學手段被廣泛推廣和應用,有效提高了學生學習該課程的興趣和學習效果。在“傳輸線原理”部分的教學過程中,學生需要掌握傳輸線的基本概念及傳輸線方程的求解方法,從而為分析傳輸線的工作狀態(tài)奠定基礎。

長線效應的存在使得微波能量或微波信號在傳輸線上進行傳輸時具有顯著的波動效應,信號電壓/電流在傳輸線上滿足對應的頻域傳輸線方程(或頻域電報方程),并由此可以導出傳輸線上信號電壓/電流滿足的波動方程(亥姆赫茲標量波動方程)。為了分析傳輸線的工作狀態(tài),需要給定邊界條件來求解波動方程通解表達式中的待定系數(shù),從而得到傳輸線方程定解表達式,即獲得傳輸線上的電壓/電流分布。在一般的教材中[9-12],通常給出了三種特殊的邊界條件來求解待定系統(tǒng):① 源端條件;② 終端條件;③ 電源與阻抗條件。為了讓學生能夠更深刻地理解邊界條件對求解傳輸線方程定解的作用,本文給出一般邊界條件,即假定已知傳輸線上任意某點的電壓/電流(一般可以通過測量方法獲得),則可以通過傳輸矩陣形式對傳輸線上各點電壓/電流分布進行表達。在一般教材中,傳輸線方程邊界條件通過源端、終端,或者由源端與終端共同給出,但都可以被看作本文給出的一般邊界條件的特殊形式。通過一般邊界條件來求解傳輸線方程的定解問題,有助于學生深刻理解邊界條件對傳輸線工作狀態(tài)或狀態(tài)參數(shù)的影響、特征阻抗和終端負載條件與狀態(tài)參數(shù)之間的聯(lián)系。

1 一般邊界條件

在“微波技術與天線”教材中,一般給出如圖1所示的傳輸線模型,采用源端坐標系來描述微波信號的傳輸方向。這里假定傳輸線是無耗的,則傳輸線上電壓/電流的通解表達式分別為:

圖1 傳輸線一般邊界條件模型

V(z)=A1e-jβz+A2e+jβz

(1)

(2)

其中,A1和A2為通解表達式中的待定系數(shù),Z0為無耗傳輸線的特征阻抗。教材中給出的三種邊界條件(源端條件、終端條件、電源和阻抗條件)均可以求得通解中的待定系數(shù)A1和A2。為了更好地理解傳輸線方程邊界條件對傳輸線方程定解的作用,這里假定已知傳輸線上任意某點(z0)的電壓V(z0)和電流I(z0),然后分析無耗傳輸線上其他各點(z)的電壓V(z)和電流I(z)表達式。

如圖1所示,假定z>z0,滿足z=z0+Δz,利用歐拉公式,則無耗傳輸線上其他各點的電壓/電流可以分別表示為:

(3)

(4)

將(3)和(4)式寫成矩陣形式有:

(5)

同理,假定z

(6)

從(5)和(6)式中可以看出,已知無耗傳輸線上任意某點(z0)的電壓V(z0)和電流I(z0),則無耗傳輸線上其他各點電壓V(z)和電流I(z)均可以表達出來。這里將(5)式中的系數(shù)矩陣稱為長度為Δz的無耗傳輸線段的正向傳輸矩陣,將(6)式中的系數(shù)矩陣稱為對應長度為Δz的無耗傳輸線段的反向傳輸矩陣,正向傳輸矩陣與反向傳輸矩陣互為逆矩陣。

2 特殊邊界條件

在給出無耗傳輸線方程定解問題的一般邊界條件后,教材中給出的三種邊界條件可以作是一般邊界條件的三種特殊形式,具體分析如下。

2.1 源端邊界條件:已知V(0)和I(0)

將源端邊界條件代入(1)和(2)式,則可以求解出通解表達式中的待定系數(shù)A1和A2:

(7)

(8)

將(7)和(8)式代入通解表達式,可以獲得傳輸線其他各點的電壓/電流為:

(9)

(10)

此時滿足z0=0和z=Δz,(9)和(10)式寫成矩陣形式后則與(5)式一致。

2.2 終端邊界條件:已知V(L)和I(L)

將終端邊界條件代入(1)和(2)式,則可以求解出通解表達式中的待定系數(shù)A1和A2:

(11)

(12)

將(11)和(12)式代入通解表達式,可以獲得傳輸線上其它各點的電壓/電流表達式為:

(13)

(14)

此時滿足z0=L,z=L-Δz,(13)和(14)式寫成矩陣形式后則與(6)式一致。

2.3 電源和阻抗條件:已知Eg、Zg和ZL

分別利用電源條件和阻抗條件,可以求解出通解表達式中的待定系數(shù)A1和A2:

(15)

(16)

其中,Γg=(Zg-Z0)/(Zg+Z0)定義為電源反射系數(shù),ΓL=(ZL-Z0)/(ZL+Z0)定義為負載反射系數(shù)。此時,可將電源和阻抗條件轉化為源端邊界條件:

V(0)=V+(0)+V-(0)=A1+A2

(17)

(18)

其中,V+和I+(0)分別為入射電壓波和入射電流波,V-和I-(0)分別為反射電壓波和反射電流波。利用(17)和(18)式,可以獲得(9)和(10)式所表示的傳輸線上任意點的電壓和電流表達式,其矩陣形式與(5)式一致。

3 一般邊界條件應用

如圖2所示,將長度為Δz的無耗傳輸線段當成一個對稱無耗二端口網絡模型,其正向傳輸矩陣為:

圖2 傳輸線上的二端口網絡模型

(19)

上式表明,對稱無耗網絡的傳輸矩陣滿足特性:A11,A22∈Real,A12,A21∈Imaginary,A11=A22。最后,當二端口網絡為具有其他結構的微波元件時,當其內部結構已知時,其傳輸矩陣參數(shù)可以利用電路方程或場方程聯(lián)合邊界條件導出;當其內部結構未知時,其傳輸矩陣可以通過測試兩個端口的電壓/電流作為邊界條件,再通過(5)或(6)式導出?？梢钥吹?微波元件的特性既可以通過內部結構和材料特性導出,也可以通過外部激勵進行測量獲得。

4 結語

針對“微波技術與天線”中求解傳輸線方程定解的教學,提出了利用一般邊界條件來求解無耗傳輸線方程定解表達式的方法,并將教材中的三種邊界條件看作一般邊界條件的特殊邊界條件,對三種定解表達式進行了統(tǒng)一表達。給出的傳輸線方程定解求解思路不僅有利用學生深入了解邊界條件對無耗傳輸線方程定解的影響,也為學生研究有耗傳輸線方程定解問題、分析微波網絡性質和學習微波測量奠定方法論基礎。