基于智能手機(jī)傳感器和phyphox 軟件精確測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

賀梓凇，焦夢(mèng)鴿，江宜航，周建成，雷衍連，賈偉堯，張巧明

（西南大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，重慶 400715）

剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)其慣性的量度[1]。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量用于建立角動(dòng)量、角速度、力矩和角加速度等多個(gè)物理量之間的關(guān)系，其大小取決于剛體的形狀、質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸的位置?！皠傮w轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量”是全國(guó)大多數(shù)高校在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程中必做的項(xiàng)目[2]。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量?jī)x器有三線擺、扭擺和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?jī)x等。其中，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?jī)x最常用，它測(cè)定剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的基本原理是利用光電門(mén)和智能計(jì)時(shí)計(jì)數(shù)器等裝置測(cè)量轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)過(guò)一定角度所用的時(shí)間來(lái)計(jì)算剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度β，再利用轉(zhuǎn)動(dòng)定理計(jì)算出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I。然而，傳統(tǒng)測(cè)量方法不僅需要專(zhuān)業(yè)的設(shè)備（包括光電門(mén)和智能計(jì)時(shí)計(jì)數(shù)器），而且測(cè)量的數(shù)據(jù)有限（都是一些離散點(diǎn)），從而導(dǎo)致較大的實(shí)驗(yàn)誤差。

智能手機(jī)具有小巧、易攜帶、功能強(qiáng)大等特點(diǎn)，已經(jīng)廣泛應(yīng)用到人們的日常生活中。為了滿足各種功能，智能手機(jī)集成了多種高精度、高靈敏度的傳感器，如加速度傳感器、光線傳感器和微機(jī)電陀螺儀（即角速度傳感器）等。筆者以安裝了phyphox 軟件的智能手機(jī)為測(cè)量工具，調(diào)用智能手機(jī)中的微機(jī)電陀螺儀對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中的角加速度進(jìn)行精確測(cè)量。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示：利用智能手機(jī)測(cè)量圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與理論值的相對(duì)誤差為1.91%（傳統(tǒng)方法測(cè)量的相對(duì)誤差為5.72%）；而平行軸定理驗(yàn)證時(shí)的相對(duì)差值為0.94%（傳統(tǒng)方法測(cè)量的相對(duì)差值為10.4%）。與傳統(tǒng)測(cè)量結(jié)果相比，將智能手機(jī)應(yīng)用于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量，不僅能夠提升測(cè)量精度，也能增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效果。

1 phyphox 軟件的介紹

phyphox 是由德國(guó)亞琛工業(yè)大學(xué)設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)的一款A(yù)pp，它能夠調(diào)用智能手機(jī)中所含有的各類(lèi)傳感器以精確測(cè)量力、光、電、聲等多種物理量，并能生成圖表、導(dǎo)出數(shù)據(jù)[3]。其中，微機(jī)電陀螺儀利用科里奧利力在其內(nèi)部產(chǎn)生微小的電容變化，測(cè)量此電容的變化并計(jì)算出角速度。本實(shí)驗(yàn)就是利用phyphox 的“陀螺儀”功能來(lái)測(cè)量角速度ω的[4]。

2 恒力矩轉(zhuǎn)動(dòng)法測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的原理

根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理[5]：

只要測(cè)得剛體所受的合外力矩M及該力矩作用下剛體的角加速度β，即可算出其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I。

假設(shè)以某初始角速度轉(zhuǎn)動(dòng)的空轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I1，未加砝碼時(shí)，在摩擦阻力矩Mμ的作用下空轉(zhuǎn)臺(tái)將以角加速度β1作勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)，即：

將質(zhì)量為m的砝碼用細(xì)線繞在半徑為R的塔輪上，并讓砝碼下落，系統(tǒng)在恒外力作用下作勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)。若砝碼的加速度為a，則細(xì)線所受張力為T(mén)=m（g-a）。若此時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)的角加速度為β2，有a＝Rβ2。細(xì)線施加給轉(zhuǎn)臺(tái)的力矩為T(mén)R＝m（g-Rβ2）R，有：

將式（2）和式（3）聯(lián)立消去Mμ后，可得：

同理，若在實(shí)驗(yàn)臺(tái)上加上被測(cè)試件后系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I2，做勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)和勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度分別為β3與β4，則有：

由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的疊加原理可知被測(cè)試件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：

由式（4）～式（6）可知，測(cè)得R及β1、β2、β3、β4，即可計(jì)算出被測(cè)試件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。因此，精確測(cè)量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中的角加速度是關(guān)鍵。

3 實(shí)驗(yàn)案例分析

3.1 圓環(huán)繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量

本文以圓環(huán)為被測(cè)試樣（質(zhì)量m=440.67 g、內(nèi)徑Rin=10.50 cm、外徑Rout=12.00 cm），對(duì)比智能手機(jī)的測(cè)量結(jié)果和傳統(tǒng)智能計(jì)時(shí)計(jì)數(shù)器與光電門(mén)相結(jié)合的測(cè)量結(jié)果，來(lái)驗(yàn)證智能手機(jī)提升大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)精度的方案是否可行。

將手機(jī)用雙面膠固定于轉(zhuǎn)臺(tái)中心位置，分別在摩擦力矩和合外力矩的作用下使轉(zhuǎn)臺(tái)+手機(jī)系統(tǒng)做勻減速和勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，測(cè)量轉(zhuǎn)臺(tái)+手機(jī)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I轉(zhuǎn)臺(tái)+手機(jī)和轉(zhuǎn)臺(tái)+手機(jī)+待測(cè)樣品系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I轉(zhuǎn)臺(tái)+手機(jī)+圓環(huán)，如圖1 所示。具體有下面5 個(gè)步驟。

圖1 圓環(huán)繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)定

1）利用手機(jī)中phyphox 軟件里的陀螺儀功能，對(duì)勻減速和勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中的角速度進(jìn)行測(cè)量。

2）導(dǎo)出phyphox 軟件中存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)，利用數(shù)據(jù)處理軟件（如MATLAB 或origin 等）擬合角速度和時(shí)間的關(guān)系，得到勻減速或勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度。

3）由式（4）可獲得轉(zhuǎn)臺(tái)+手機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I轉(zhuǎn)臺(tái)+手機(jī)；

4）將待測(cè)圓環(huán)固定于轉(zhuǎn)臺(tái)上，重復(fù)上面的步驟，測(cè)量空轉(zhuǎn)臺(tái)+手機(jī)+圓環(huán)系統(tǒng)繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I轉(zhuǎn)臺(tái)+手機(jī)+圓環(huán);

5）由疊加原理可以獲得待測(cè)圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I圓環(huán)=I轉(zhuǎn)臺(tái)+手機(jī)+圓環(huán)-I轉(zhuǎn)臺(tái)+手機(jī)。需要指出的是，此時(shí)不用考慮放置手機(jī)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，因?yàn)槭謾C(jī)引入的額外轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在式中直接相減后被消去。

3.2 驗(yàn)證平行軸定理

驗(yàn)證平行軸定理是本實(shí)驗(yàn)的重要內(nèi)容之一。平行軸定理是指：就兩個(gè)平行軸而言，剛體對(duì)于任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I等于通過(guò)此物體以質(zhì)心為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ic加上剛體質(zhì)量m與兩軸間距離平方d2的乘積[6]。

利用智能手機(jī)驗(yàn)證平行軸定理時(shí)，首先需要將手機(jī)固定于轉(zhuǎn)臺(tái)的中心位置，并將質(zhì)量為m（m=331.90 g）、直徑為d（d=2.400 cm）的兩個(gè)圓柱體對(duì)稱(chēng)地插入載物臺(tái)十字架的插孔A和A′內(nèi)（兩者距中心圓孔的距離均為d1，這樣轉(zhuǎn)動(dòng)體系在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)較平穩(wěn)，以減少誤差），如圖2 所示。其次，測(cè)量系統(tǒng)做勻減速和勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度，并計(jì)算出對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I初。然后，將兩圓柱體對(duì)稱(chēng)外移相同距離并插入載物臺(tái)十字架的插孔B和B′位置（兩者距中心圓孔的距離均為d2），分別測(cè)量勻減速和勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度，并計(jì)算出對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I末。最后，將I末-I初與2m（-）比較，驗(yàn)證平行軸定理是否成立。

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

由于轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)速在初始階段還未達(dá)到平穩(wěn)，我們選取中間時(shí)段的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合和計(jì)算。此外，采用3 次等精度重復(fù)測(cè)量的方法以減小誤差。受版面限制，這里只詳細(xì)介紹轉(zhuǎn)臺(tái)+手機(jī)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I轉(zhuǎn)臺(tái)+手機(jī)的測(cè)量數(shù)據(jù)及計(jì)算過(guò)程，其他測(cè)量和計(jì)算的方法相同。

3.3.1 轉(zhuǎn)臺(tái)+手機(jī)勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度

轉(zhuǎn)臺(tái)+手機(jī)系統(tǒng)在摩擦力矩作用下將做勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)。角速度隨時(shí)間變化的原始數(shù)據(jù)如圖3 中的黑色空心方框曲線所示。這一曲線的斜率即為勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度β1。利用origin 對(duì)其擬合求得β1的值如圖3 中的紅色實(shí)線所示。此擬合曲線的斜率為-0.316 6，表示轉(zhuǎn)臺(tái)+手機(jī)系統(tǒng)的勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為-0.316 6 rad/s2。

圖3 轉(zhuǎn)臺(tái)+手機(jī)系統(tǒng)做勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)的原始數(shù)據(jù)及擬合曲線

3.3.2 轉(zhuǎn)臺(tái)+手機(jī)勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度

將54.40 g 的砝碼繞到轉(zhuǎn)臺(tái)下的半徑r=3.50 cm的塔輪上，在砝碼的拉力矩和轉(zhuǎn)軸的摩擦力矩的共同作用下，轉(zhuǎn)臺(tái)將做勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)臺(tái)+手機(jī)做勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度隨時(shí)間的變化用藍(lán)色空心圓的曲線表示，如圖4 所示。利用origin 對(duì)其擬合可得勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為2.229 8 rad/s2。

圖4 轉(zhuǎn)臺(tái)+手機(jī)系統(tǒng)做勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)的原始數(shù)據(jù)及擬合曲線

3.3.3 轉(zhuǎn)臺(tái)+手機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I轉(zhuǎn)臺(tái)+手機(jī)的計(jì)算

用同樣的方法，分別測(cè)量3 次勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度和勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度，如表1 所示，得到系統(tǒng)做勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)的平均角加速度和勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)的平均角加速度。將上述平均值、砝碼質(zhì)量（m=54.40 g）和塔輪半徑（r=3.50 cm）代入式（4），得I轉(zhuǎn)臺(tái)+手機(jī)=7.098 7× 10-3（kg·m2）。

表1 利用智能手機(jī)測(cè)量空臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄表

表2 利用智能手機(jī)測(cè)量圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的數(shù)據(jù)記錄表

3.3.4 待測(cè)圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I圓環(huán)的計(jì)算

3.3.5 平行軸定理的驗(yàn)證

兩圓柱初狀態(tài)（距離轉(zhuǎn)臺(tái)中心d1=6.00 cm）時(shí)，勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)和勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度分別為-0.228 6 rad/s2和1.988 2 rad/s2，如表3 所示。

表3 利用智能手機(jī)驗(yàn)證平行軸定理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄表

初狀態(tài)時(shí)，兩 圓柱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I初=I轉(zhuǎn)臺(tái)+手機(jī)+兩圓柱-I轉(zhuǎn)臺(tái)+手機(jī)=8.146 5×1 0-3-7.098 7×1 0-3=1.047 8×10-3（kg·m2）。同理，將兩圓柱體對(duì)稱(chēng)向外移動(dòng)4.50 cm（離轉(zhuǎn)臺(tái)中心距離d2=10.50 cm）時(shí)做勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)和勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度分別為-0.177 0 rad/s2和1.541 5 rad/s2。由此計(jì)算出末狀態(tài)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I末=I轉(zhuǎn)臺(tái)+手機(jī)+兩圓柱-I轉(zhuǎn)臺(tái)+手機(jī)=10.842 2×1 0-3-7.098 7×10-3=3.743 5×1 0-3（kg·m2）。因此，初末兩狀態(tài)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量差I(lǐng)末-I初=3.743 5×10-3-1.047 8×10-3=2.695 7×10-3（kg·m2）。由圓柱的質(zhì)量（m=331.90 g）和初末兩狀態(tài)圓柱距中心的距離（d1=6.00 cm,d2=10.50 cm）有，2m（-）=2.464 4×10-3（kg·m2）。因此，以I末-I初的值為參考，I末-I初與2m（-）的相對(duì)差值為0.94%，平行軸定理得證。

3.3.6 傳統(tǒng)方法測(cè)量I圓環(huán)和平行軸定理的驗(yàn)證

利用光電門(mén)+智能計(jì)時(shí)計(jì)數(shù)器測(cè)量轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)過(guò)kπ（k=1,2,3···）角度所對(duì)應(yīng)的時(shí)間，然后利用勻加（減）速轉(zhuǎn)動(dòng)的角度公式（）計(jì)算得到轉(zhuǎn)臺(tái)做勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)和勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度分別為-0.150 0 rad/s2和2.191 4 rad/s2，如表4 所示。因此，轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I轉(zhuǎn)臺(tái)=7.907 0×10-3（kg·m2）。同理可得轉(zhuǎn)臺(tái)+圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I轉(zhuǎn)臺(tái)+圓環(huán)=13.826 0×10-3（kg·m2）。需要指出的是，傳統(tǒng)方法的測(cè)量時(shí)間范圍與智能手機(jī)的測(cè)量時(shí)間范圍大致相當(dāng)。由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的疊加原理，得I圓環(huán)=I轉(zhuǎn)臺(tái)+圓環(huán)-I轉(zhuǎn)臺(tái)=5.919 ×10-3（kg·m2）。因此，利用傳統(tǒng)方法測(cè)得的圓環(huán)繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的相對(duì)誤差5.72%。

表4 采用傳統(tǒng)光電門(mén)和智能計(jì)數(shù)計(jì)時(shí)器的測(cè)量結(jié)果

此外，利用傳統(tǒng)方法來(lái)驗(yàn)證平行軸定理的實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，I末-I初與2m（-）的相對(duì)差值為10.4%。（受版面限制，數(shù)據(jù)未展示。）

3.3.7 結(jié)果分析

利用智能手機(jī)測(cè)得的圓環(huán)繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的相對(duì)誤差為1.91%，而利用傳統(tǒng)光電門(mén)+智能計(jì)時(shí)計(jì)數(shù)器的方法測(cè)得相對(duì)誤差為5.72%。此外，利用智能手機(jī)為工具驗(yàn)證平行軸定理的相對(duì)差值為0.94%，而傳統(tǒng)方法驗(yàn)證的平行軸定理的相對(duì)差值為10.4%。這些結(jié)果表明利用智能手機(jī)的測(cè)量精度明顯優(yōu)于傳統(tǒng)方法的測(cè)量精度。

利用上述兩種方法分別測(cè)量了圓盤(pán)和圓柱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，實(shí)驗(yàn)結(jié)果都證明了利用智能手機(jī)作為測(cè)量工具的測(cè)量精度更高。這主要是因?yàn)閭鹘y(tǒng)方法測(cè)量的數(shù)據(jù)點(diǎn)有限，而phyphox 軟件能每隔4 ms測(cè)量一次數(shù)據(jù)，記錄的數(shù)據(jù)足夠多，從而提高了測(cè)量精度[7-9]。

4 結(jié)束語(yǔ)

利用智能手機(jī)中各種高精度、高靈敏傳感器對(duì)物理實(shí)驗(yàn)進(jìn)行改進(jìn)和改良是近年來(lái)的研究熱點(diǎn)。在這一方面，中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教育進(jìn)行了很多的嘗試，并廣泛應(yīng)用于中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的教學(xué)和拓展實(shí)驗(yàn)中[10-11]，但也受到了一些專(zhuān)家的質(zhì)疑和反對(duì)，他們認(rèn)為手機(jī)的引入往往會(huì)導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)精度不高或者不可控、實(shí)驗(yàn)過(guò)程不確定性高等問(wèn)題。他們還認(rèn)為，智能手機(jī)在中學(xué)演示實(shí)驗(yàn)中尚可將就，但在精度要求更高的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中并不合適。而在我們的工作中，首次通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶?shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和測(cè)量過(guò)程，系統(tǒng)地驗(yàn)證手機(jī)傳感器確實(shí)可以有效提高測(cè)量精度（與傳統(tǒng)方法相比測(cè)量精度提高了3 倍以上）。這一結(jié)果表明智能手機(jī)應(yīng)用于更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇髮W(xué)物理實(shí)驗(yàn)中也是可行的。我們將會(huì)在未來(lái)的工作中，對(duì)智能手機(jī)的光、電等傳感器在大學(xué)物理相關(guān)實(shí)驗(yàn)中的精度進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證，從而為大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)提供借鑒和參考。