培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的課堂教學(xué)策略之我見(jiàn)

張春麗

摘要：數(shù)學(xué)運(yùn)算是高中數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)之一，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的重要組成部分，運(yùn)算能力影響到學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量，只有提高高中生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，才能讓他們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中立于不敗之地.多年的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)告訴我，要培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的引導(dǎo)，必須從課堂教學(xué)抓起。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 運(yùn)算能力 課堂教學(xué) 策略

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確指出：數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段.主要表現(xiàn)為：理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算方法、求得運(yùn)算結(jié)果。然而大部分高中生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力并不成熟，因此教師在課堂教學(xué)中要更加重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)，提升學(xué)生的計(jì)算能力。

一、重視概念教學(xué)，夯實(shí)運(yùn)算根基

數(shù)學(xué)概念是一切運(yùn)算的基礎(chǔ)，是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的依據(jù)和準(zhǔn)則。高中數(shù)學(xué)的一些概念比較抽象，所以在課堂教學(xué)中，教師要更加注重概念的形成過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生在課堂上積極探究，加深對(duì)教材中基本概念本質(zhì)的理解。例如，教師在講函數(shù)的概念時(shí)，可以從生活中的幾個(gè)實(shí)際問(wèn)題入手，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題抽象成函數(shù)模型，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分組討論，探究幾個(gè)函數(shù)具備的共同特征：（一）A、B兩集合不能為空集；（二）A、B兩集合中的元素必須是確定的實(shí)數(shù)，不能是字母或文字；（三）必須有確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，對(duì)應(yīng)關(guān)系可以是文字語(yǔ)言，也可以是圖象語(yǔ)言、表格或者解析式等；（四）對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，即元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以是一對(duì)一，也可以是多對(duì)一，但是絕對(duì)不可一對(duì)多；（五）集合A為函數(shù)的定義域，而函數(shù)的值域是集合B的子集.如果以上條件都滿(mǎn)足，那么我們就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的函數(shù)。這樣一來(lái)，學(xué)生就可以理解性記憶，而非死記硬背函數(shù)的概念，這既可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的興趣，又可以加深對(duì)函數(shù)概念的理解。

二、加強(qiáng)學(xué)生對(duì)公式，法則等的記憶

高中數(shù)學(xué)的公式和法則特別多，教師需要學(xué)生強(qiáng)化記憶常用?？嫉墓健⒎▌t，公理定理等。對(duì)于一些有規(guī)律可循的公式和法則，教師可以借助一些口訣或順口溜來(lái)強(qiáng)化學(xué)生的記憶。比如誘導(dǎo)公式，當(dāng)角度為[kπ2±α，k∈z] 時(shí)，有十字口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，值得注意的是，這里的角α不是銳角也要看成銳角，只要學(xué)生能熟練掌握口訣，在解決三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明等問(wèn)題就會(huì)得心應(yīng)手。又如兩角和與兩角差的正余弦公式，也可以利用口訣來(lái)記憶，對(duì)于正弦公式[sin（A±B）=sinAcosB±cosAsinB]，可以簡(jiǎn)記為“正余余正符號(hào)同”，正余余正分別代表第一個(gè)角的正弦、第二個(gè)角的余弦和第一個(gè)角[[f（x）g（x）]=f（x）g（x）-g（x）f（x）[g（x）]2]的余弦、第二個(gè)角的正弦，符號(hào)與等式左邊的相同；對(duì)于余弦公式[cos（A±B）=cosAcosB?sinAsinB]，可以簡(jiǎn)記為“余余正正符號(hào)反”。如果學(xué)生能掌握好這兩個(gè)公式，那么二倍角公式和半角公式就不再容易記錯(cuò)了。再如導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，對(duì)于加減運(yùn)算[[f（x）±g（x）]=f（x）±g（x）]，可以記為“各自求導(dǎo)后再相加減”；對(duì)于乘法運(yùn)算[[f（x）g（x）]=f（x）g（x）+g（x）f（x）]，可以記為“輪流求導(dǎo)之后再求和”；對(duì)于除法運(yùn)算，可以記為“上導(dǎo)乘下，下導(dǎo)乘上，差比下方”，這里的上、下分別指分子、分母。

三、加強(qiáng)運(yùn)算技巧的指導(dǎo)

加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)算技巧的指導(dǎo)，既能提高學(xué)生解題的速度，也能提高解題的準(zhǔn)確度。在教學(xué)過(guò)程中，教師要教授一些常見(jiàn)的選擇題的解題技巧，例如特值法，排除法、數(shù)形結(jié)合法、估算法、驗(yàn)證法等。

例如：（2022·新高考Ⅰ卷）若集合M={x|[x]<4}，N={x|3x≥1}，則M∩N等于（）

A.{x|0≤x<2} B.{x|[13]≤x<2}

C.{x|3≤x<16} D.{x|[13]≤x<16}

觀(guān)察4個(gè)選項(xiàng)發(fā)現(xiàn)前三項(xiàng)都不包含2，D選項(xiàng)有包含2，可以選擇特值法，不妨取特殊值x=2，則2∈M，2∈N，所以2∈（M∩N），排除A，B，C；直接選答案D。

又如： 若不等式2ax2+ax-[38]<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則a的取值范圍為（）

A.（-3，0）B.[-3，0）C.[-3，0]D.（-3，0]

對(duì)于這樣的題目，可以采用排除法，將區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)值-3和0代入原不等式，如果滿(mǎn)足就取閉區(qū)間，如果不滿(mǎn)足就取開(kāi)區(qū)間。

四、加強(qiáng)運(yùn)算技能的培養(yǎng)

學(xué)生在熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)后，能夠靈活運(yùn)用它們才是真正的學(xué)會(huì)，所以教師在講授過(guò)程中，務(wù)必要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生運(yùn)算技能和運(yùn)算技巧的指導(dǎo)，做到有的放矢，才能有效提高學(xué)生的運(yùn)算速度，促進(jìn)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的發(fā)展。

（一）一題多解，發(fā)散思維

一題多解即根據(jù)不同的思路或方法，從不同的角度解題，以鍛煉學(xué)生的思維靈活性，培養(yǎng)創(chuàng)新思維，一題多解有助于培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力，提高學(xué)生解題的靈活性，開(kāi)闊解題思路。

例如：若對(duì)任意的x∈[-1，2]，都有[x2-2x+a≤0]（a為常數(shù)），則a的取值范圍是（）

A.（-∞，-3] B.（-∞，0]

C.[1，+∞） D.（-∞，1]

這是關(guān)于一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題，我們可以利用以下兩種方法進(jìn)行求解：（1）最值轉(zhuǎn)化法：若f（x）>0在x∈[-1，2]上恒成立，則函數(shù)y=f（x）在x∈[-1，2]上的最小值大于0，這樣就順利將不等式中的含參問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問(wèn)題。

方法一 令f（x）=x2-2x+a，則由題意，

得[f-1=-12-2×-1+a≤0，f2=22-2×2+a≤0，]解得a≤-3.故選A。

分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問(wèn)題，即已知函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇m，n]，則對(duì)于a≤f（x）恒成立的問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為a小于等于f（x）的最小值m，即a≤m；而對(duì)于a≥f（x）恒成立的問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為a大于等于f（x）的最大值n，即a≥n。

方法二 當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，不等式x2-2x+a≤0恒成立等價(jià)于a≤-x2+2x恒成立，

則由題意，得a≤（-x2+2x）min（x∈[-1，2]）.而-x2+2x=-（x-1）2+1，則當(dāng)x=-1時(shí)，

（-x2+2x）min=-3，所以a≤-3，故選A。

（二）一題多變，觸類(lèi)旁通

一題多變是指經(jīng)過(guò)聯(lián)想、類(lèi)比等方式，得到新問(wèn)題或結(jié)論。

例題：已知正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a+b=2，求[4b]+[1a]的最小值。

我們可以通過(guò)將已知等式的兩邊同時(shí)除以2，使得等號(hào)的右邊常數(shù)1，再用常值代換法求得最值。

[變式1：已知a>0，b>0，4a+b=ab，求a+b的最小值。]

變式1中已知等式的右邊雖然不是常數(shù)，但是我們也可以?xún)蛇呁瑫r(shí)除以ab，使得等式得右邊為常數(shù)1，然后同樣利用常值代換法求出最值。

變式2：已知正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a+b=2，求[4b+1]+[1a+1]的最小值。

變式2與已知的條件雖然相同，但是要求解的代數(shù)式不同，根據(jù)分析我們可以發(fā)現(xiàn)，可以采用配湊法中的湊項(xiàng)，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)互倒，從而求出最值。

變式3：已知正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a+b=2，求（1+[1a]）（1+[1b]）的最小值。

變式3直接看看不出，但是如果把（1+[1a]）（1+[1b]）展開(kāi)后通分就可以直接利用基本不等式求解了。

變式4：正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a+b=ab-1，求a+b的最小值。

變式4與變式1不同，用上面的方法全都行不通，但是如果用代入消元就不一樣了，將雙元變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單元變量問(wèn)題之后，一切都迎刃而解了。

在教學(xué)過(guò)程中，教師也可以鼓勵(lì)學(xué)生自己改編題目，由一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行變式而形成一個(gè)問(wèn)題鏈，這樣可以使學(xué)生通過(guò)解一道題而會(huì)解一類(lèi)題，掌握解題的通性通法，也更有助于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，加深對(duì)問(wèn)題的理解。同時(shí)也讓學(xué)生明白不管條件或結(jié)論怎么改變，只要抓住本質(zhì)和核心，同時(shí)發(fā)散思維，舉一反三，所有的問(wèn)題都將不再是問(wèn)題。

五、注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)中最本質(zhì)的東西，同樣也是高中數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，是數(shù)學(xué)的靈魂。常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想包括函數(shù)的思想、化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，方程思想、分類(lèi)討論的思想等.在教學(xué)過(guò)程中，在學(xué)生掌握了基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，教師要注重對(duì)數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)，在例題教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想?；镜臄?shù)學(xué)思想方法是學(xué)生運(yùn)算能力發(fā)展的基礎(chǔ)，對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的發(fā)展起著至關(guān)重要的作用，比如，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，我們可以實(shí)現(xiàn)繁瑣的代數(shù)問(wèn)題與直觀(guān)的幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，使得運(yùn)算難度降低的同時(shí)，也提高了學(xué)生運(yùn)算的速度和準(zhǔn)確度。例如：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，定義min{a，b}=[a，a≤b，b，a>b.]設(shè)函數(shù)f（x）=-x+3，g（x）=log2x，求函數(shù)h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值是多少。

解析：直接看這道題目，很多學(xué)生可能會(huì)無(wú)從下手，但是如果利用函數(shù)圖象問(wèn)題就會(huì)變得非常簡(jiǎn)單。如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖象，依題意，h（x）的圖象如圖實(shí)線(xiàn)部分所示.易知點(diǎn)A（2，1）為圖象的最高點(diǎn)，因此h（x）的最大值為h（2）=1。

[O][x][y][A][y=h（x）][3][2][3]

本題若是沒(méi)有樹(shù)立數(shù)形結(jié)合解題的意識(shí)，思維很難打開(kāi)，因?yàn)槿绻麑W(xué)生的思路不清晰的話(huà)，在解題過(guò)程中很容易被題意給繞進(jìn)去。事實(shí)上，圖象一呈現(xiàn)，答案就一目了然了，可見(jiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想對(duì)于解題是非常重要的，尤其是解有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性，參數(shù)的取值范圍，值域等知識(shí)點(diǎn)上，用得特別多，也特別好用。所以教師在課堂教學(xué)中一定要滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生要牢記一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)這幾類(lèi)基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，促使學(xué)生巧妙地進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

六、引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、反思

歸納總結(jié)是對(duì)解題思路、解題方法、解題技巧的提煉過(guò)程，教師在教學(xué)過(guò)程中要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生歸納解題思路，方法、技巧和解題規(guī)律，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

反思就是學(xué)生在解完題目之后對(duì)整個(gè)思考過(guò)程、解答過(guò)程的回顧與分析，反思是一個(gè)深入思考、反復(fù)探究、自我調(diào)整的一個(gè)過(guò)程，也可以達(dá)到檢驗(yàn)的目的。教師在教學(xué)過(guò)程中要引導(dǎo)學(xué)生解完題后，要認(rèn)真回顧自己在解題過(guò)程中的每一步思考，有沒(méi)有知識(shí)點(diǎn)的錯(cuò)誤、方法是否選對(duì)、計(jì)算是否正確，也可以與同學(xué)的解題過(guò)程和老師的講解進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并解決問(wèn)題，這樣可以加深對(duì)知識(shí)、解題思路、解題方法的掌握，是一種學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)。