函數(shù)的概念與性質(zhì)常見典型考題賞析

■張文偉 趙 昆

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是每年高考的必考內(nèi)容。在近幾年的高考試題中,函數(shù)的概念與性質(zhì),冪函數(shù)的應(yīng)用,分段函數(shù)問題等,一直都是?？键c,且常考常新。下面就函數(shù)的概念與性質(zhì)的常見典型考題進(jìn)行舉例分析。

題型一:函數(shù)概念的理解

判斷對應(yīng)關(guān)系是否構(gòu)成函數(shù)的關(guān)鍵:一看自變量x的取值是否任意,二看對應(yīng)的y是否唯一。判斷兩個函數(shù)是否相等,要根據(jù)函數(shù)的三要素來判斷,即定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域,當(dāng)三者都一致時,兩個函數(shù)才是相同的函數(shù)。

題型二:求抽象函數(shù)的定義域

函數(shù)的定義域指的是自變量的取值范圍;求函數(shù)f[g(x)]和f[h(x)]的定義域,可利用g(x)和h(x)的值域相等,列不等式求出x的取值范圍;已知函數(shù)f(x)的定義域為[a,b],則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b求得;已知復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域為[a,b],則函數(shù)f(x)的定義域為g(x)在x∈[a,b]上的值域。

例2 已知f(x+1)的定義域為(2,4)。

(1)求f(x)的定義域。

(2)求f(2x)的定義域。

解:(1)因為f(x+1)的定義域為(2,4),所以2

題型三:求函數(shù)的解析式

求函數(shù)解析式的四種常用方法:待定系數(shù)法,當(dāng)已知函數(shù)類型時,常用待定系數(shù)法;代入法,已知y=f(x)的解析式,求函數(shù)y=f[g(x)]的解析式時,可直接用新自變量g(x)替換y=f(x)中的x;換元法,已知y=f[g(x)]的解析式,求y=f(x)的解析式,可用換元法,即令g(x)=t,反解出x,然后代入y=f[g(x)]中,求出f(t)即得f(x);構(gòu)造方程組法,當(dāng)同一個對應(yīng)關(guān)系中的兩個自變量之間有互為相反數(shù)或者互為倒數(shù)關(guān)系時,可構(gòu)造方程組求解。

跟蹤訓(xùn)練3:根據(jù)下列條件,求f(x)的解析式。

(1)f[f(x)]=2x-1,其中f(x)為一次函數(shù)。

題型四:分段函數(shù)的應(yīng)用

求分段函數(shù)的函數(shù)值時,一般應(yīng)先確定自變量的取值在哪個子區(qū)間上,然后用與這個區(qū)間相對應(yīng)的解析式求函數(shù)值;已知分段函數(shù)的函數(shù)值,求自變量的值,要進(jìn)行分類討論,逐段用不同的函數(shù)解析式求解,最后檢驗所求結(jié)果是否適合條件;實際問題中的分段函數(shù),先以自變量在不同區(qū)間上對應(yīng)關(guān)系的不同進(jìn)行分段,再求出各個區(qū)間上的對應(yīng)關(guān)系(解析式或圖像)。

跟蹤訓(xùn)練4:已知函數(shù)f(x)=

題型五:函數(shù)單調(diào)性的證明及應(yīng)用

證明函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的單調(diào)性應(yīng)遵循四個步驟:設(shè)?x1,x2∈D,且x1x2。

題型六:函數(shù)奇偶性的判斷

用定義判斷函數(shù)奇偶性的兩個步驟:先求定義域,看是否關(guān)于原點對稱;再判斷f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否恒成立。若已知函數(shù)的圖像,則觀察函數(shù)的圖像是否關(guān)于原點或y軸對稱,依此判斷函數(shù)的奇偶性。

(3)f(x)=x2-x3的定義域為R。因為f(-1)=(-1)2-(-1)3=1+1=2,f(1)=12-13=0,所以f(-1)≠f(1),所以f(x)不是偶函數(shù)。因為f(-1)≠-f(1),所以f(x)不是奇函數(shù)。故f(x)=x2-x3既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。

(4)f(x)=|x+2|+|x-2|的定義域為R。因為f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)=|x+2|+|x-2|是偶函數(shù)。

題型七:函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用

函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性是函數(shù)的兩大重要性質(zhì),解決函數(shù)問題離不開這兩大性質(zhì)的應(yīng)用。奇函數(shù)在定義域內(nèi)的關(guān)于y軸對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同,偶函數(shù)在定義域內(nèi)的關(guān)于y軸對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反。

題型八:利用奇偶性求函數(shù)解析式或參數(shù)的值

根據(jù)函數(shù)奇偶性的特點,即f(x)=±f(-x),將已知條件代入,從而可得f(x)的解析式;利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)值的常用方法有定義法,特殊值法,函數(shù)的特點分析法,定義域關(guān)于原點對稱法等。

例8 已知函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于原點對稱,且當(dāng)x>0 時,f(x)=x2-2x+3,則f(x)在R 上的表達(dá)式為_____。

題型九:復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

形如y=f[g(x)]的函數(shù)為t=g(x),y=f(t)的復(fù)合函數(shù),t=g(x)為內(nèi)層函數(shù),y=f(t)為外層函數(shù),當(dāng)t=g(x)單調(diào)遞增,y=f(t)單調(diào)遞增時,函數(shù)y=f[g(x)]單調(diào)遞增;當(dāng)t=g(x)單調(diào)遞增,y=f(t)單調(diào)遞減時,函數(shù)y=f[g(x)]單調(diào)遞減;當(dāng)t=g(x)單調(diào)遞減,y=f(t)單調(diào)遞增時,函數(shù)y=f[g(x)]單調(diào)遞減;當(dāng)t=g(x)單調(diào)遞減,y=f(t)單調(diào)遞減時,函數(shù)y=f[g(x)]單調(diào)遞增?？傊?簡稱為“同增異減”。求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時,不能忽視函數(shù)的定義域。

題型十:利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

對于分段函數(shù)在實數(shù)集R 上的單調(diào)遞增(減)問題,除了保證在定義域的每一個區(qū)間上的單調(diào)性相同,還要考慮在分界點處的函數(shù)值的大小關(guān)系。若函數(shù)是增函數(shù),則左邊函數(shù)值小于或等于右邊函數(shù)值(若函數(shù)是減函數(shù),則右邊函數(shù)值小于或等于左邊函數(shù)值),這樣才能滿足R 上的單調(diào)遞增(減),否則求出的參數(shù)范圍會出現(xiàn)錯誤。對于定義域

提示:f(x)為R 上的減函數(shù),當(dāng)x≤1時,f(x)單調(diào)遞減,所以a-3<0,即a<3。

題型十一:已知函數(shù)的最值或值域求參數(shù)的取值范圍

已知函數(shù)最值或值域求參數(shù)的取值范圍問題的關(guān)鍵是理解最值與值域的概念,注意結(jié)合函數(shù)圖像容易求解。這類問題一般分為兩類,一是參數(shù)在解析式中,二是參數(shù)在定義域中,解題時要注意參數(shù)對函數(shù)單調(diào)性的影響,一般要分類討論求解。

解:(1)因為f(x)的值域為[0,+∞),所以y=mx2-2x+1 的值可取一切非負(fù)數(shù)。當(dāng)m=0時,y=-2x+1,滿足題意;當(dāng)m>0時,只需Δ=4-4m≥0,可得0

綜上所述,實數(shù)m的取值范圍為[0,1]。

(2)由(1)知,當(dāng)m∈[0,1]時函數(shù)值域為[0,+∞),滿足最小值為0。當(dāng)m>1 時,對于y=mx2-2x+1,顯然Δ=4-4m<0,即值域不包含0,不滿足題意;當(dāng)m<0時,對于y=mx2-2x+1,顯然Δ=4-m>0,即值域包含最小值0。

綜上可知,實數(shù)m的取值范圍為(-∞,1]。

跟蹤訓(xùn)練11:若函數(shù)y=2x2-8x+9的定義域為[1,a],值域為[1,3],則a的取值范圍為( )。

A.[1,2] B.(1,2]

C.[2,3] D.[2,3)

提示:函數(shù)y=2x2-8x+9=2(x-2)2+1≥1 恒成立,其定義域為[1,a],值域為[1,3]。

當(dāng)x=1時,y=3;當(dāng)x=2時,函數(shù)y取得最小值1;當(dāng)x=3 時,y=2×(3-2)2+1=3。

綜上可得,a的取值范圍是[2,3]。應(yīng)選C。

題型十二:冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)

對于冪函數(shù)y=xα(α∈R),在x∈(0,1)上,指數(shù)越大,冪函數(shù)圖像越靠近x軸(簡記為“指大圖低”);在x∈(1,+∞)上,指數(shù)越大,冪函數(shù)圖像越遠(yuǎn)離x軸(簡記為“指大圖高”)。由圖像確定冪指數(shù)α與0,1的大小關(guān)系,需根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像來判斷。利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小時要注意:比較大小的兩個實數(shù)必須在同一函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi),否則無法比較大小。

圖1

因為f(x)為二次函數(shù),且圖像的開口向上,對稱軸為x=6,所以當(dāng)x=6 時,函數(shù)f(x)取得最大值,且最大值等于440。

所以當(dāng)銷售價格定為6 元/kg 時,商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大,最大利潤為440元。

跟蹤訓(xùn)練13:某商店進(jìn)貨單價為45元,若按50元一個銷售,能賣出50個,若銷售單價每漲1元,其銷售量就減少2個,為了獲得最大利潤,此商品的最佳售價應(yīng)為每個_____元。

提示:設(shè)漲價x元,銷售的利潤為y元,則y=(50+x-45)(50-2x)=-2x2+40x+250=-2(x-10)2+450。

當(dāng)x=10,即銷售單價為60 元時,y取得最大值。答案為10。

題型十四:分段函數(shù)的模型問題

分段函數(shù)是指在函數(shù)定義域中,對于自變量的不同取值范圍有不同的對應(yīng)法則的函數(shù)。分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同,可以先將其當(dāng)作幾個問題,將各段的變化規(guī)律分別找出來,再將其合到一起,要注意各段自變量的范圍,還要特別注意端點值的取舍。

(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f(x)。

(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時,公司所獲利潤最大? 最大利潤為多少元? (總收益=總成本+利潤)

提示:(1)月產(chǎn)量為x臺,則總成本為(20000+100x)元。

當(dāng)x=300時,f(x)max=25000。

當(dāng)x>400時,f(x)=60000-100x是減函數(shù),f(x)<60000-100×400=20000<25000。

所以當(dāng)x=300時,f(x)max=25000,即每月生產(chǎn)300 臺儀器時利潤最大,最大利潤為25000元。

下面給出4 個冪函數(shù)的圖像,則圖像與函數(shù)的大致對應(yīng)是( )。

提示:②的圖像關(guān)于y軸對稱,②應(yīng)為偶函數(shù),排除C,D。①的圖像在第一象限內(nèi),圖像下凸,遞增得較快,所以冪函數(shù)的指數(shù)大于1,排除A。應(yīng)選B。