課堂自然生成　學(xué)生必然成長

尹雪山

［摘 要］“生長數(shù)學(xué)”是特級教師卜以樓提出的教學(xué)主張，它強調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要培育思維“生長”的“種子”。教師要教給學(xué)生具有生長力的數(shù)學(xué)，以回歸教育本質(zhì)、反哺生命成長和彰顯數(shù)學(xué)力量。

［關(guān)鍵詞］生長數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)；幾何定理

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）20-0011-03

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過：“學(xué)習(xí)任何東西的最佳途徑是由自己去發(fā)現(xiàn)?！边@句話用在幾何定理的推導(dǎo)及應(yīng)用上尤為貼切，學(xué)生要想靈活運用幾何定理就必須自己去了解它的來龍去脈，去發(fā)現(xiàn)它的本質(zhì)與內(nèi)涵。在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生為了應(yīng)付解題而將更多的時間花在了幾何定理的應(yīng)用上，并不注重對幾何定理的推導(dǎo)。平面幾何是訓(xùn)練學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)和邏輯推理能力的重要載體，如果在幾何教學(xué)中教師沒有讓學(xué)生深層次地理解幾何定理的由來而過多地將時間花在幾何定理的應(yīng)用上，將不利于學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展以及思維能力的培養(yǎng)。那么如何讓幾何定理教學(xué)變得更加順暢，讓幾何定理自然生成呢？下面筆者結(jié)合自己設(shè)計的一節(jié)公開課談?wù)劸唧w做法。

一、幾何定理教學(xué)的一些問題

（一）定理推導(dǎo)走過場

教師在教學(xué)時只注重定理的應(yīng)用，而忽略了定理的推導(dǎo)，從而導(dǎo)致學(xué)生機械化應(yīng)用定理，當(dāng)題目稍微復(fù)雜或者稍作變式時就會無從下手。因此，在教學(xué)時教師應(yīng)該注重引導(dǎo)學(xué)生對定理進(jìn)行推導(dǎo)，使學(xué)生深層次理解定理。

（二）定理理解不深刻

當(dāng)教師以“定理公式＋例題”的模式對學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練后，學(xué)生大多記下了定理的文字表述，但沒有了解其來龍去脈和本質(zhì)內(nèi)涵，導(dǎo)致學(xué)生無法靈活應(yīng)用定理，或在應(yīng)用定理時容易出現(xiàn)表述不完整的情況。

（三）學(xué)生應(yīng)用定理不靈活

在解題時，學(xué)生雖然已經(jīng)掌握了定理的本質(zhì)但是不能靈活應(yīng)用其解決問題，甚至有的學(xué)生認(rèn)為定理與問題關(guān)聯(lián)不大，導(dǎo)致解題時未選用定理，究其原因：一是沒有深刻領(lǐng)悟定理的本源，二是缺乏對定理的相關(guān)變式訓(xùn)練。

二、教學(xué)片段及分析

“三角形內(nèi)角和定理”是蘇科版七年級下冊第十二章中的內(nèi)容，縱觀整個初中數(shù)學(xué)教材，這部分內(nèi)容是學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)到的涉及利用輔助線證明定理的首節(jié)課，為后續(xù)多邊形的內(nèi)角和與外角和定理的證明做好鋪墊，有著承上啟下的作用。下面以“三角形內(nèi)角和定理”的教學(xué)為例進(jìn)行分析。

片段1：情境引入

師：同學(xué)們，阿基米德看到木塊浮在水上，于是發(fā)現(xiàn)了浮力定律；牛頓被樹上掉下的蘋果砸了一下，從而發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律。所以在生活中，許多結(jié)論其實是已經(jīng)存在的客觀事實，而人們通過探索，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在原理，用科學(xué)理論解釋現(xiàn)象后歸納形成定理，并將定理應(yīng)用于實際生產(chǎn)生活中，最終造福人類。

師：三角形的內(nèi)角和是多少度呢？

生（全體）：180°。

師：為什么？

師：大家還記得小學(xué)時我們是如何證明三角形內(nèi)角和為180°的嗎？（出示一張三角形紙片）

學(xué)生提供了多種思路。如拼一拼，剪下三角形的三個角，然后將它們拼在一起，看拼出來的是不是平角；量一量，用量角器分別量出三個角的度數(shù)，然后加在一起看是不是180°。

師：平角的度數(shù)是180°，我們已學(xué)的知識點中，還有哪些地方出現(xiàn)了180°呢？

學(xué)生回顧以前所學(xué)知識，很容易想到在“平行線性質(zhì)”一節(jié)中出現(xiàn)了“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”。

教學(xué)分析：讓學(xué)生回顧小學(xué)時對三角形內(nèi)角和的探索思路，既照顧了大部分學(xué)生，又讓一部分學(xué)生有了小小的成就感，并且讓學(xué)生對三角形內(nèi)角和的探索回歸到了“源頭”，即用拼圖法這一思路作為證明三角形的內(nèi)角和為180°的“方向”。有了“源頭”和“方向”，學(xué)生在后續(xù)的證明中才可以盡量避免思維“卡殼”。本環(huán)節(jié)的設(shè)計貼合學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)，用適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)做鋪墊，保障后續(xù)對定理探索的自然生成。

片段2：探索研究

教師提前發(fā)放給學(xué)生形狀及大小相同的三角形卡紙和剪刀，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下操作：將三角形紙片的三個角剪下來，并在每個角涂上不同的顏色。

問題1：將三角形的三個角搬到一起，你有哪些搬法？

學(xué)生一一分享不同的拼法，總結(jié)出拼角的核心就是將三個角的頂點搬到一起。

問題2：在紙片上我們可以將三個角搬到一起，如果是在平面圖形上，又該如何將三個角搬到一起呢？

學(xué)生提供多種方法，如用量角器測量兩個角的度數(shù)，然后再利用量角器作出這兩個已知大小的角并將它們畫在第三個角兩側(cè)；用尺規(guī)作圖法作三角形中兩個已知角，并將它們放在第三個角兩側(cè)。

師：接下來要證明什么呢？

生：只要證明所作的兩個角的兩邊在一條直線上即可。

師：怎么證明在一條直線上？

師：我們剛才的操作過程是先“搬角拼角”，然后想辦法證明拼出來的角是平角，這個方法在證明拼出來的角是平角時無法進(jìn)行下去，我們能不能調(diào)換一下順序，先構(gòu)造平角然后再“搬角”呢？

問題3：在平面圖形中如何構(gòu)造平角？

生：畫一條直線就可以出現(xiàn)平角。

問題4：我們可以通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造出我們需要的圖形，在三角形中如何具體地構(gòu)造輔助線并將三角形中的兩個角搬到一起呢？

生：如圖1，作BC延長線CD，過點[C]作CE∥AB。

師：你能說說這樣做的目的嗎？

生：先構(gòu)造出180°的平角，然后再來搬角。

師：如何實現(xiàn)“搬角”呢？

生：根據(jù)“兩直線平行，同位角（內(nèi)錯角）相等”，在操作中通過畫平行線構(gòu)造出等角。

師：接下來只要證什么就行了？

生：證明[∠ACD] 等于[∠A]與[∠B]兩個角的和。

問題5：問題2和問題3中的搬角思路有何區(qū)別？你有哪些解題經(jīng)驗？

學(xué)生說出自己的想法：問題2是先搬角再證明組成的角是180°，但是行不通。問題3是先構(gòu)造180°的角再搬角，可以完成證明。通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助線可以將新問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，最終將新問題解決，所以在解決問題時要抓住本質(zhì)。本題的核心是構(gòu)造180°的角和等角，然后再進(jìn)行搬角。

問題6：還有沒有其他的輔助線構(gòu)造法？

生：如圖2所示，過點A 作DE∥BC。

生：如圖3所示，過點A 作AD∥BC。

問題7：剛才的幾種方法有什么共同點？

生：都是將三角形中的某個角的頂點搬到另一個角的頂點處。

問題8：剛才的方法都是將某個角的頂點搬到另一個角的頂點處，如果將三個角的頂點都搬到其他位置呢？

學(xué)生展示出多種方法：

如圖4所示，過點D作DE∥BC，DF∥AC。

如圖5所示，過點O作DE∥AC，F(xiàn)G∥BC，HI∥AB。

如圖6所示，過點O作OD∥BC，OE∥AB，F(xiàn)G∥AC。

圖4是將幾個角的頂點搬到三角形的邊上，圖5是將幾個角的頂點搬到三角形的內(nèi)部，圖6是將幾個角的頂點搬到三角形的外部。

抓住問題的本質(zhì)，我們就可以靈活多樣地采取多種方法解決問題。

教學(xué)分析：在引導(dǎo)學(xué)生解決問題后，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生“反思”論證方法，并抓住問題本質(zhì)，讓學(xué)生自行探索出更多的方法。本環(huán)節(jié)中一系列層層遞進(jìn)的提問設(shè)計，體現(xiàn)了新課標(biāo)中的“基本方法”和“基本活動經(jīng)驗”思想。通過師生總結(jié)，最終歸納出解決這一問題的通法，培養(yǎng)了學(xué)生歸納總結(jié)的能力。

片段3：定理剖析

問題：三角形內(nèi)角和定理的條件和結(jié)論分別是什么？對于結(jié)論，我們可以進(jìn)行怎樣的轉(zhuǎn)化？轉(zhuǎn)化后有什么用？

生：定理的條件是“在一個三角形中”，結(jié)論是“這個三角形的三個內(nèi)角和為180°”。如果是在[△ABC]中，那么就可以得到[∠A+∠B+∠C=180°]。

師：[∠A+∠B+∠C=180°]還可以轉(zhuǎn)化為什么形式？

學(xué)生給出多種轉(zhuǎn)化形式：[∠A=180°-∠B-∠C]；[∠A=180°-（∠B+∠C）]；[∠A+∠B=180°-∠C]。

師：這些公式有什么用？

生：知道三角形中兩個角的度數(shù)就可以求出第三個角的度數(shù)；知道三角形中兩個角的和也可以求出第三個角的度數(shù)；知道一個角的度數(shù)也可以反推出另外兩個角的度數(shù)之和。

教學(xué)分析：對定理的深入剖析常被忽略，教師在教學(xué)時往往探索完定理就轉(zhuǎn)入例題訓(xùn)練，對定理本質(zhì)不進(jìn)行深挖和外延，導(dǎo)致學(xué)生解題時出現(xiàn)思維“卡殼”。讓學(xué)生互相提問解題，既增加了學(xué)生之間的互動，也提高了學(xué)生的課堂參與度。在本環(huán)節(jié)中，學(xué)生的思維得到了訓(xùn)練，對定理的不同變式有了進(jìn)一步的認(rèn)識，在解決各類以不同形式呈現(xiàn)條件的問題時能做到游刃有余。

片段4：變式訓(xùn)練

為了深化學(xué)生對定理的理解，需要通過一系列變式訓(xùn)練優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知。

例題：如圖7所示，[△ABC]的角平分線[BD]、[CE]相交于點[P1]，[∠A=70°]，求[∠BP1C]的度數(shù)。

變式1：如圖7所示，[△ABC]的角平分線[BD]、[CE]相交于點[P1]，[∠A=α°]。（1）求[∠BP1C]的度數(shù)；（2）直接寫出[∠BP1C] 與 [∠A] 的關(guān)系。

變式2：如圖8所示，[△ABC]的角平分線[BD]、[CE]相交于點[P1]，[∠1]和[∠2]的角平分線相交于點[P2]，直接寫出[∠BP2C]與[∠A]的數(shù)量關(guān)系。

師：我們都知道，在解決問題時，主要有兩種思路，一個是從條件出發(fā)向著結(jié)論層層推進(jìn)，另一個是從結(jié)論出發(fā)逆向推導(dǎo)去尋找結(jié)論所需要的條件，例題及變式中要求[∠BP1C]的度數(shù)，你想用哪種思路？

該提問中，例題的條件清晰，思維量不大，無論是正向還是逆向都很好解決。變式1是在例題的基礎(chǔ)上將[∠A]的度數(shù)從特殊變?yōu)橐话?，變?則是在變式1的基礎(chǔ)上進(jìn)一步平分三角形的兩個內(nèi)角。當(dāng)題目條件變得復(fù)雜，從已知條件入手解題時方向不明確，可以從問題出發(fā)，逆向推導(dǎo)。

教學(xué)分析：課堂上對定理的證明與深度剖析是學(xué)生建構(gòu)知識體系的重要一步，基礎(chǔ)牢固了才能解決問題。一節(jié)課的時間有限，如何在有限的時間內(nèi)提高學(xué)生對定理的應(yīng)用水平顯得尤為重要。本環(huán)節(jié)設(shè)置了一道例題和兩道變式訓(xùn)練題，從特殊到一般，從簡單的圖形到復(fù)雜的圖形，如果課堂時間充裕，教師可以進(jìn)一步拓展提問：“如果此時對三角形的兩個內(nèi)角進(jìn)行[n]等分，[∠BPnC]與[∠A]的關(guān)系又是什么？”用難度由淺入深的幾道題目引導(dǎo)學(xué)生深入感悟本節(jié)課的知識點，這符合學(xué)生的思維特點，也能讓學(xué)生的邏輯推理能力進(jìn)一步提升。

課堂教學(xué)的出發(fā)點與落腳點就是讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的生成過程。在教學(xué)中，教師既要及時抓住教學(xué)契機，引導(dǎo)學(xué)生思考，又要關(guān)注課堂探索的過程；既要讓學(xué)生積累經(jīng)驗，又要讓學(xué)生提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，形成數(shù)學(xué)思維。

一節(jié)課的時間有限，教師面對考試升學(xué)壓力時往往會將注意力放在公式化套用解題上，而不愿意將課堂時間過多地放在定理論證上。但從學(xué)生發(fā)展以及后續(xù)書本上涉及的更高難度的幾何知識的角度看，教師必須將幾何定理證明的第一課上透，為學(xué)生掌握后續(xù)復(fù)雜的幾何知識點奠定基礎(chǔ)。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 卜以樓.“生長數(shù)學(xué)”：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的愿景［J］.江蘇教育，2017（11）：33-35.

［2］? 卜以樓.生長數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)教學(xué)的理性回歸：第七期《中國數(shù)學(xué)教育》名師講堂“生長數(shù)學(xué)”主題網(wǎng)絡(luò)研討記［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2017（9）：2-8.

［3］? 王亞權(quán).注重積累，學(xué)會聯(lián)想，善于反思：湊好數(shù)學(xué)解題的“三部曲”［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（1）：12-15.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）