一類無界時變時滯血紅細胞模型的μ-穩(wěn)定性

唐旭勇,龍志文

(1.安徽理工大學 數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院,安徽 淮南 232001;2.湖南人文科技學院 數(shù)學與金融學院,湖南 婁底 417000)

1976年,Wazewska-Czyzewska和Lasota兩位學者在文獻[1]中用如下非線性時滯微分方程來描述動物體內(nèi)血紅細胞的存活模型:

x′(t)=-ax(t)+pe-qx(t-τ)

(1)

其中:x(t)表示在t時刻血紅細胞的數(shù)量,a>0是血紅細胞的死亡率,p和q是與單位時間內(nèi)血紅細胞產(chǎn)量呈正相關(guān)的常數(shù),τ是產(chǎn)生一個血紅細胞所需的時間.此后,諸多學者對Lasota-Wazewska模型(1)及其推廣形式進行了深入研究,特別是各種Lasota-Wazewska模型的穩(wěn)定性問題受到了廣泛關(guān)注,關(guān)于Lasota-Wazewska模型及其推廣形式的穩(wěn)定性結(jié)果,可以參考文獻[2-3].

眾所周知,時滯在生物活動中頻繁出現(xiàn),如在文獻[4]中作者發(fā)現(xiàn)時滯能夠破壞Logistic模型正平衡點穩(wěn)定性并引起周期振動.鑒于時滯對生物種群活動的影響,諸多學者在模型(1)中通過引入時滯來研究其動力學性質(zhì).例如,K·Gopalsamy在文獻[5]中研究了一類具有常離散時滯的Lasota-Wazewska型時滯微分方程概周期解的存在性與全局吸引性問題;J·Shao在文獻[6]中考察了一類具有時變離散時滯的Lasota-Wazewska模型的偽概周期解的存在性與穩(wěn)定性;姚慧麗等[7]建立了一類具有可變時滯Lasota-Wazewska模型的漸近概周期解的充分判據(jù),L·Duan 等[8]研究了具有多個時變時滯并含有不連續(xù)捕獲項的Lasota-Wazewska模型周期解的全局指數(shù)穩(wěn)定性;王曉等[9]研究了具有多個時滯的離散型Lasota-Wazewska模型的全局動力學.然而,上述文獻中關(guān)于時滯Lasota-Wazewska模型穩(wěn)定性結(jié)果多關(guān)注于離散時滯是常數(shù),或者是時變的并賦予有界性假設(shè).另一方面,T·Caraballo在文獻[10]中指出時滯可能是時變的,有時無法精確測量,并且在某些物理或生物模型中,時滯的界限可能是預先未知的,甚至是無界的.因而,生物數(shù)學模型中考慮無界時滯在現(xiàn)實生活中是常見且有意義的,一個自然的問題是:如果考慮時變時滯是無界的情形,Lasota-Wazewska模型(1)會呈現(xiàn)出與有界時滯有何不同的動力學現(xiàn)象?

基于上述討論和文獻[11-12]的啟發(fā),本文將研究如下具有無界時變時滯的Lasota-Wazewska血紅細胞模型:

x′(t)=-ax(t)+pe-qx(t-τ(t))

(2)

鑒于模型(2)的生物學背景,只有正解才符合實際意義,所以我們賦予以下初始條件:

(3)

其中:C+={φ∈C∶φ(θ)∈R+,θ∈(-∞,0]}是C的一個正錐,R+=[0,∞).

0 預備知識

類似于文獻[8]中的引理2.4和引理3.1,可得如下引理.

引理1[8]對于φ∈C+,問題(2)～(3)的每個解x(t)在[0,+∞)是存在的,且是正的.此外,設(shè)

K1=p/a,K2=pe-qK1/a

則集合C0={φ∈C∶K2<φ(s)

下面給出μ-穩(wěn)定性的定義.

定義1[12]設(shè)μ(·)∶(0,∞)→(0,∞)為連續(xù)函數(shù),且當t→∞時有μ(t)→∞成立,E*是模型(2)的正平衡點,若對模型(2)的任意非平凡解x(t)滿足

則稱平衡點E*是μ-穩(wěn)定的,其中M>0是一個依賴于x(t)的常數(shù).

1 主要結(jié)果

下面給出本文的主要結(jié)果.

定理1 在引理1的條件下,假設(shè)存在一個非負連續(xù)可微函數(shù)μ(t)滿足以下條件:

(4)

其中:α,η為非負常數(shù),進一步,若

-a+α+pq(1+η)<0

(5)

成立,則模型(2)有唯一μ-穩(wěn)定的平衡點.

證明：首先證明模型(2)平衡點E*的存在性.

易見,模型(2)的平衡點E*滿足

aE*=pe-qE*.

設(shè)

f(λ)=-aλ+pe-qλ,

容易計算

f′(λ)=-a-pqe-qλ<0,
f(0)=p>0,
f(+∞)=-∞.

因此,方程f(λ)=0存在唯一解E*,即為模型(2)的平衡點.

下面證明平衡點E*是μ-穩(wěn)定的.

設(shè)x(t)是模型(2)的任一解,設(shè)

z(t)=x(t)-E*,

則z(t)滿足

z′(t)=-az(t)+p[e-q(z(t-τ(t))+E*)-e-qE*].

(6)

根據(jù)式(4)、(5),可得存在一個充分大的T>0,使得對于所有的t>T,有

定義

首先,我們斷言M1(t)是有界的,進而V(t)也是有界的.實際上,對于任意t1>T,存在以下兩種情況成立.

情形1 |V(t1)|0,使得當t∈(t1,t1+δ)時,有|V(t)|

情形2 |V(t1)|=M1(t1),沿著方程(6)的解軌線計算V(t)在t1處右上Dini導數(shù)得:

D+|V(t)||t1=sing{V(t1)}μ′(t1)z(t1)+

sign{V(t1)}μ(t1){-az(t1)+p[e-q(z(t-τ(t))+E*)-

sign{V(t1)}μ(t1)×p[e-q(z(t-τ(t))+E*)-

因此,存在δ1>0,使得當t∈(t1,t1+δ1)時,有V(t)≤V(t1),所以當t∈(t1,t1+δ1)時,有M1(t)=M1(t1).

綜上所述,可得當t>T時,有M1(t)=M1(T)成立,即|V(t)|≤M1(T),進而有

這意味著,模型(2)的平衡點E*是μ-穩(wěn)定的.

對于上述μ-穩(wěn)定性結(jié)果,我們給出如下一些推論.

推論1(指數(shù)穩(wěn)定) 如果τ(t)≤τ(其中τ是一個正常數(shù)),并且定理1的假設(shè)成立,則模型(2)存在唯一指數(shù)穩(wěn)定的平衡點.

證明：根據(jù)式(5)和連續(xù)性理論可知,存在充分小的δ>0,使得

-a+σ+pqeσt<0,

設(shè)μ(t)=eσt,則有

及

根據(jù)定理1可知

|x(t)-E*|=O(e-σt).

因此,模型(2)存在唯一指數(shù)穩(wěn)定的平衡點.

推論2(冪穩(wěn)定) 如果τ(t)≤vt(其中0

證明：類似地,根據(jù)式(5)和連續(xù)性理論,存在充分小的φ>0,使得

-a+pq(1-v)φ<0,

設(shè)μ(t)=tφ,則有

及

根據(jù)定理1,可知

|x(t)-E*|=O(t-φ).

所以,模型(2)存在唯一的平衡點且是冪穩(wěn)定的.

推論3(對數(shù)穩(wěn)定) 如果τ(t)≤t-(t/lnt),并且定理1的假設(shè)成立,則模型(2)存在唯一對數(shù)穩(wěn)定的平衡點.

證明：根據(jù)式(5)可知

-a+pq<0,

設(shè)μ(t)=ln(1+t),則有

及

根據(jù)定理1,可知

|x(t)-E*|=O((ln(1+t))-1).

因而,模型(2)具有唯一對數(shù)穩(wěn)定的平衡點.

推論4(對數(shù)-對數(shù)穩(wěn)定) 如果τ(t)≤t-tξ(其中0<ξ<1),并且定理1的假設(shè)成立,則模型(2)存在唯一對數(shù)-對數(shù)穩(wěn)定的平衡點.

證明：同理根據(jù)(5)可得

-a+pq<0,

設(shè)μ(t)=ln ln(3+t),則有

及

根據(jù)定理1,可知

|x(t)-E*|=O((ln ln(t+t))-1).

所以,模型(2)具有唯一對數(shù)-對數(shù)穩(wěn)定的平衡點.

注記1 定理1建立了所研究具有無界時變時滯Lasota-Wazewska模型的μ-穩(wěn)定性判據(jù),一方面可以看出所建立的理論結(jié)果蘊含了時滯是有界函數(shù)時的指數(shù)穩(wěn)定性結(jié)果,同時可以看出,當時變時滯函數(shù)受控于不同的無界函數(shù)時,只要選取合適的函數(shù)μ(t),所研究模型會呈現(xiàn)出多種豐富的穩(wěn)定性結(jié)果;另一方面,作者在文獻[13-15]中研究了具有無窮分布時滯的Lasota-Wazewska模型的動力學,然而,本文的無窮時滯類型不同于文獻[13-15].因此,本文所建立的所研究模型的μ-穩(wěn)定性判據(jù)是全新的,同時補充并豐富了已有文獻結(jié)果.

2 數(shù)值仿真

本節(jié)將用一個例子來說明所建立結(jié)果的有效性.

例1 考慮如下時變時滯Lasota-Wazewska模型:

x′(t)=-0.1x(t)+0.4e-0.2x(t-0.5t).

(7)

容易驗證

K1=p/a=4>K2=pe-qK1./a≈1.797 3.

取μ(t)=tφ,φ=0.3則

此時有

-a+α+pq(1+η)=-0.1+0+0.4×0.2×1.231 1=-0.001 512<0.

因此,定理1的所有假設(shè)成立,進而可知模型(7)存在唯一的正平衡點且是冪穩(wěn)定的.為仿真方便,選擇不同的初值進行數(shù)值模擬(見圖1),仿真模擬有效支持了所獲理論結(jié)果的可行性.

圖1 模型(7)具有冪穩(wěn)定的平衡點Figure 1 The model (7) has a power-stable equilibrium point