基于Bayesian MCMC方法的美式障礙期權(quán)模擬定價(jià)

陳敦勇, 郭 潔, 孫玉東

(1.貴州民族大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院, 貴陽 550025; 2.貴州民族大學(xué) 商學(xué)院, 貴陽 550025)

隨著金融市場(chǎng)的日益繁榮, 大量金融工程師及其他金融愛好者對(duì)期權(quán)定價(jià)的相關(guān)內(nèi)容做了大量研究.文獻(xiàn)[1]在次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的前提下, 考慮了連續(xù)支付紅利的問題, 并且利用It積分和微分方程給出了期權(quán)的定價(jià)公式.文獻(xiàn)[2-3]介紹了基于馬爾科夫鏈蒙特卡洛(Markov Chain Monte Carlo, MCMC)算法和使用蒙特卡洛(Monte Carlo, MC)方法的三叉樹模型對(duì)美式期權(quán)定價(jià), 通過Gibbs抽樣給出較合理的定價(jià)方法.文獻(xiàn)[4,9]介紹了在跳躍模型下使用(Least Square Monte Carlo, LSM)方法對(duì)美式障礙期權(quán)定價(jià)問題, 基于LONGSTAFF等人所提出的最小二乘方法, 提出加權(quán)最小二乘、偏最小二乘方法對(duì)期權(quán)定價(jià)進(jìn)行研究.文獻(xiàn)[5,16]對(duì)經(jīng)典布萊克—斯科爾斯(Black-Scholes, B-S)模型給出了障礙期權(quán)的定價(jià)公式并且分析了估計(jì)誤差的問題, 并且還設(shè)計(jì)了一種針對(duì)該模型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法, 給出了期權(quán)價(jià)格的數(shù)值近似.文獻(xiàn)[6]基于開源統(tǒng)計(jì)軟件R語言對(duì)MCMC方法做了詳細(xì)的介紹, 并給出方差減少技術(shù)的使用.文獻(xiàn)[7]利用時(shí)變二叉樹模型研究了Bermuda型理財(cái)產(chǎn)品進(jìn)行期權(quán)定價(jià)研究, 對(duì)波動(dòng)率和收益率序列的歷史數(shù)據(jù)建立時(shí)間序列模型, 指出該類型的理財(cái)產(chǎn)品選擇自動(dòng)再投資對(duì)投資者更有益.文獻(xiàn)[11,13,14]介紹了蒙特卡洛方法在期權(quán)方面的應(yīng)用,并且在文獻(xiàn)[19]中介紹了利率、積分、差分格式、期權(quán)定價(jià)的諸多模型及大量關(guān)于期權(quán)方面的問題, 為期權(quán)定價(jià)研究提供了一些指引.對(duì)于期權(quán)定價(jià), 諸多學(xué)者做了大量貢獻(xiàn)[12-21], 這對(duì)于后面研究期權(quán)定價(jià)提供了很好的參考.

在LONGSTAFF等人所提出的最小二乘方法的基礎(chǔ)上, 出現(xiàn)了加權(quán)最小二乘、廣義最小二乘和廣義矩估計(jì)等方法. 受其啟發(fā), 用加權(quán)最小二乘與蒙特卡洛方法相結(jié)合, 得到加權(quán)最小二乘蒙特卡洛(Weighted Least Squares Monte Carlo, WLSM)方法, 此方法在計(jì)算速度和效率方面能夠得到很大的提升. 本文的創(chuàng)新點(diǎn)有:1)考慮了是否需要支付紅利的問題展開討論; 2)在蒙特卡洛方法中隨機(jī)數(shù)的生成從任意隨機(jī)數(shù)改成從指定Faure序列產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來代替?zhèn)坞S機(jī)數(shù)序列; 3)分析了障礙期權(quán)中障礙值的設(shè)置; 最后對(duì)數(shù)值模擬結(jié)果作了“均值再取均值”等多方面的分析.

本文介紹標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過程和WLSM方法所涉及的相關(guān)知識(shí). 在市場(chǎng)無摩擦情況下, 比較了不支付紅利與需要支付紅利標(biāo)的資產(chǎn)過程的區(qū)別, 并采用數(shù)學(xué)公式表達(dá), 給出期權(quán)價(jià)格路徑的計(jì)算方法, 同時(shí)介紹了WLSM方法美式障礙期權(quán)定價(jià)原理及其算法步驟. 由于LSM方法中對(duì)期權(quán)定價(jià)存在誤差過大的問題, 原因是該方法采用偽隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生序列, 因此針對(duì)此問題WLSM方法采用Faure序列產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來代替?zhèn)坞S機(jī)數(shù)序列, 這樣得到的隨機(jī)數(shù)更加均勻,可以避免出現(xiàn)聚集現(xiàn)象, 且使算法的收斂速度得到一個(gè)明顯的提升.

1 WLSM方法的障礙期權(quán)定價(jià)

考慮標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng), 體現(xiàn)價(jià)格連續(xù)變化的過程, 不考慮標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格會(huì)出現(xiàn)如破產(chǎn)、人為投機(jī)、政策調(diào)整等因素而引起的“跳躍”現(xiàn)象. 因此可以從標(biāo)的資產(chǎn)過程、是否需要支付紅利、隨機(jī)化Faure序列等幾個(gè)方面對(duì)WLSM方法在障礙期權(quán)模擬定價(jià)上進(jìn)行討論分析.

1. 1 標(biāo)的資產(chǎn)過程

假設(shè)市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)且不用支付紅利的情形下, 由文獻(xiàn)[19]可得, 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格可由式(1)表示:

Pt=P0exp{(μ-0.5σ2)t+σ(Wt-W0)}.

(1)

其中:Pt為t時(shí)刻的資產(chǎn)價(jià)格,μ,σ分別是預(yù)期回報(bào)率和波動(dòng)率, {Wt,t≥0}是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).然而許多風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)往往都會(huì)要求支付紅利, 一方面支付紅利會(huì)降低股票價(jià)格, 同時(shí)對(duì)期權(quán)價(jià)格也造成一定的影響, 導(dǎo)致期權(quán)價(jià)格下降;另一方面也會(huì)增加期權(quán)持有者的收益.設(shè)紅利率為q, 在時(shí)間[0,t]上支付n次紅利, 則資產(chǎn)價(jià)格的剩余價(jià)值變成(1-0.5qt)n×Pt, 當(dāng)n→∞時(shí), 根據(jù)重要極限定理可得到(1-qt/n)n→exp(-qt), 此時(shí)實(shí)現(xiàn)了連續(xù)支付紅利.在物理測(cè)度ρ下,r和μ是等價(jià)的, 于是在支付紅利的情形下, 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格滿足式(2):

Pt=P0exp{(r-q-0.5σ2)t+σ(Wt-W0)}.

(2)

可據(jù)此計(jì)算出t時(shí)刻的價(jià)格, 根據(jù)美式期權(quán)的特征, 采取向前倒推的方法得到初始時(shí)刻資產(chǎn)的價(jià)格.假設(shè)在ti時(shí)刻ti=t+i×Δt,i=0,1,2,…,n, 其中:(Δt=(T-t)/n), 則布朗運(yùn)動(dòng)滿足Wi+1-Wi～N(0,Δt),i=0,1,2,…,n-1, 當(dāng)i≠j時(shí)滿足Wi+1-Wi與Wj+1-Wj相互獨(dú)立, 抽取正態(tài)隨機(jī)數(shù)ξ1、ξ2、ξ3、…、ξn其中:(ξi～N(0,Δt)), 并將其依次代入式(3)得價(jià)格的第j條路徑軌跡,

(3)

同理, 重復(fù)從分布N(0,Δt)中抽取正態(tài)隨機(jī)數(shù)ξ1、ξ2、ξ3、…、ξnN次, 繼續(xù)代入式(3)就得到N條路徑, 于是得到路徑價(jià)格矩陣A, 該矩陣對(duì)后續(xù)的計(jì)算起到重要作用, 從它的最后一行倒推到第一行即為期權(quán)的初始價(jià)格.

1. 2 WLSM方法的方差減少技術(shù)

降低方差技術(shù)如對(duì)偶變量法、控制變量法、重要抽樣和分層抽樣等多種方法可以減少有效地方差. 本文針對(duì)WLSM方法, 介紹了低差異序列和對(duì)偶變數(shù)法, 并且對(duì)低差異序列隨機(jī)化, 更進(jìn)一步改善蒙特卡洛模擬的效果. 其中Faure序列是低差異序列中最常見的一種, 將采用下面方法對(duì)其進(jìn)行構(gòu)造.

1.2.1 Faure序列及其隨機(jī)化

由文獻(xiàn)[15]可知, 矩陣C2和C3滿足:

1. 3 美式障礙期權(quán)定價(jià)的(WLSM)方法模型及其算法步驟

本節(jié)嘗試在最小二乘方法的基礎(chǔ)上使用加權(quán)最小二乘的方法分析了期權(quán)的定價(jià)問題. 假設(shè)一個(gè)有限的時(shí)間域[0,T], 定義Ω表示所有可能取樣路徑ω的集合,F為T時(shí)刻的σ-代數(shù),L是由F的元素定義的概率測(cè)度, 在時(shí)間[0,T]內(nèi)定義一個(gè)三重概率空間(Ω,F,L)和一個(gè)等價(jià)鞅測(cè)度Q[4].現(xiàn)在令D(ω,s),ω∈Ω,s∈(t,T)表示期權(quán)現(xiàn)金流的路徑, 此時(shí)需要注意期權(quán)在t時(shí)刻之后執(zhí)行或者在t時(shí)刻以后執(zhí)行都滿足最優(yōu)停時(shí)策略, 即期權(quán)持有者在任何時(shí)刻執(zhí)行都滿足收益最大化.對(duì)于美式障礙期權(quán), 假設(shè)執(zhí)行日期是有限的0

D(ω,tj∶ti,T)|Ft)].

(4)

其中:r(ω,s)表示無風(fēng)險(xiǎn)利率,Ft為t時(shí)刻的收益. 我們知道,LSM的思想是構(gòu)造一組基函數(shù), 期權(quán)的未來收益可由這組基函數(shù)線性組合表示, 即對(duì)每一個(gè)執(zhí)行的時(shí)間點(diǎn), 通過WLSM來估計(jì)其條件期望. 假設(shè)在tk時(shí)刻F(ω∶tk)表示所有正交基函數(shù)的一個(gè)線性組合, 使這個(gè)過程在時(shí)間上向前一直重復(fù)迭代到第一個(gè)執(zhí)行時(shí)刻, 這樣就得到開始時(shí)的執(zhí)行價(jià)格, 基函數(shù)可以是Jacobi行列式、Legendre多項(xiàng)式、Leguerre多項(xiàng)式和拉格朗日多項(xiàng)式等. 為了計(jì)算簡(jiǎn)便, 基函數(shù)使用拉蓋爾多項(xiàng)式, 即Ln(x)=exp{-x/2}(ex/n!)(dn/dxn)(xne-x),n=1,2,…….對(duì)于式(4), 只需找一個(gè)常數(shù)ai作為系數(shù), 該式可表示為:

a2L2(x)+…+aiLi(x)+….

(5)

于是使用式(5)就能計(jì)算出ti,ti-1,…,t1時(shí)刻繼續(xù)持有期權(quán)的價(jià)值, 再比較t1,i=1,2,……時(shí)刻期權(quán)價(jià)值和F(ω,ti)的大小, 若F(ω,ti)大, 那么就反向推到ti-1時(shí)刻, 直至t1時(shí)刻, 反之則執(zhí)行期權(quán), 從而確定最優(yōu)停時(shí)策略, 保證持有者收益最大, 再把每條路徑的期權(quán)的最大價(jià)值貼現(xiàn)到初始時(shí)刻, 再分別取其均值即得到初始時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值, 總而言之就是在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上必須滿足期望收益大于等于執(zhí)行價(jià)格減去初始價(jià)格, 即Ek[F(w,t)]≥(K-P)+. 而對(duì)于WLSM方法與之的區(qū)別:一方面用隨機(jī)化的Faure序列代替?zhèn)坞S機(jī)數(shù)序列;另一方面使用加權(quán)最小二乘方法代替普通最小二乘方法來估計(jì)條件期望函數(shù)的系數(shù), 其他步驟都和LSM模型的步驟一樣. 在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度[19]的前提下, 看跌期權(quán)的價(jià)格滿足方程exp{-r(T-t)}×E[(K-S(t))+|S(τ),τ≤t], 在數(shù)值模擬計(jì)算期權(quán)價(jià)格時(shí), 通過上述方程計(jì)算得到, 具體見表1.

表1 WLSM方法與其他模型定價(jià)結(jié)果對(duì)比

由于美式障礙期權(quán)具有多個(gè)執(zhí)行時(shí)刻, 所以持有者在決定是否執(zhí)行期權(quán)時(shí)主要參考兩個(gè)方面:一方面在ti時(shí)刻執(zhí)行就有最大收益(期權(quán)執(zhí)行的價(jià)值);另一方面在ti以后的時(shí)刻再執(zhí)行期權(quán)比在ti時(shí)刻執(zhí)行得到更多的收益(繼續(xù)持有期權(quán)價(jià)值大于執(zhí)行價(jià)格), 這里需要注意設(shè)置的障礙值(障礙值與真實(shí)值差距小, 收益少但風(fēng)險(xiǎn)也更小即保證了收益), 上述前提是期權(quán)最高(最低)價(jià)值沒有觸及所設(shè)置的障礙值, 否則沒有收益. 因此對(duì)期權(quán)價(jià)值變化有一個(gè)良好的判斷會(huì)有效幫助期權(quán)持有者制定一個(gè)最優(yōu)停時(shí)策略. 為使上述的方法模型更容易實(shí)現(xiàn), 接下來通過算法的形式給出具體過程, 便于利用計(jì)算機(jī)編程. WLSM方法的算法步驟如下:

Step 1 使用Faure序列和對(duì)偶變數(shù)法先模擬出期權(quán)價(jià)格路徑;

Step 2 利用式(3)計(jì)算模擬出的路徑計(jì)算到期日的現(xiàn)金流;

Step 3 根據(jù)計(jì)算的現(xiàn)金流選出實(shí)值路徑;

Step 4 從Step 3中挑選出的路徑, 向前反推搜索到前一個(gè)執(zhí)行日期;

Step 5 使用加權(quán)最小二乘法估計(jì)條件期望函數(shù);

Step 6 根據(jù)Step 5估計(jì)的條件期望計(jì)算繼續(xù)持有期權(quán)的價(jià)值(判斷計(jì)算出的期權(quán)價(jià)格是小于等于所設(shè)置的障礙值, 否則持有者收益為零, 此時(shí)算法直接結(jié)束);

Step 7 根據(jù)計(jì)算出的價(jià)值與期權(quán)內(nèi)在價(jià)值相比較, 判斷當(dāng)前時(shí)刻是否執(zhí)行期權(quán), 做出最優(yōu)停時(shí)策略;

Step 8 對(duì)于每一條路徑, 使用Step 7的結(jié)果調(diào)整當(dāng)前折現(xiàn)現(xiàn)金流;

Step 9 重復(fù)Step 3至Step 8, 一直到初始時(shí)刻, 得到每一條價(jià)格路徑在初始時(shí)刻的現(xiàn)金流;

Step 10 取每一條路徑在初始時(shí)刻折現(xiàn)現(xiàn)金流的均值.

可以看到, 支付紅利與不支付紅利還是有所區(qū)別, 前者會(huì)給期權(quán)投資者帶來額外的收益, 從某種意義上來看對(duì)保持金融衍生品持久發(fā)展有著重要意義. WLSM方法構(gòu)造巧妙, 從Faure序列中抽樣和使用Leguerre多項(xiàng)式作為基函數(shù), 分析了障礙期權(quán)的收益問題和執(zhí)行期權(quán)的最優(yōu)停時(shí)策略問題, 目的是讓期權(quán)持有者收益最大化. 此方法在美式障礙期權(quán)定價(jià)方面有很強(qiáng)的實(shí)用性和有效性. WLSM方法的算法步驟如上所述, 從中可以看到期權(quán)定價(jià)的過程, 同時(shí)在此過程中考慮到需要支付紅利和障礙值的設(shè)定問題, 因?yàn)檎系K水平的設(shè)置影響最后的收益, 所以在設(shè)計(jì)算法時(shí)要時(shí)刻注意.

2 美式上升敲出看跌期權(quán)(up-and-out put)的WLSM步驟

考慮需要支付紅利且設(shè)置了障礙的前提下, 設(shè)在時(shí)間區(qū)域[0,T]內(nèi), 期權(quán)到期日為T, 現(xiàn)在將時(shí)間分為M等份, 即0=t0

Step 4 采用倒推方式計(jì)算現(xiàn)金流, 重復(fù)上述步驟; 按照Step 3的方法因此向前倒推, 直至初始時(shí)刻, 取每一條路徑在初始時(shí)刻折現(xiàn)現(xiàn)金流的均值即可.

3 數(shù)值模擬定價(jià)

本文在R平臺(tái)上對(duì)所提出的WLSM模型和其他已有圖樹法(二叉樹、三叉樹)模型編寫了代碼, 實(shí)現(xiàn)數(shù)值模擬, 得到較好的參數(shù)分析結(jié)果和圖形診斷. 考慮標(biāo)的資產(chǎn)是一只股票, 在相同條件下對(duì)各模型進(jìn)行隨機(jī)模擬定價(jià). 假設(shè)需要支付紅利, 到期時(shí)間T為2 a, 時(shí)間間隔Δt為1/365, 也就是一年當(dāng)中每天都可以交易(若有數(shù)據(jù)缺失的情況用整體數(shù)據(jù)的均值代替[20]),K=P0=1 000, 這里設(shè)σ=0.4,q=0.1,r=0.028 5, 期權(quán)障礙值設(shè)為B=700, 模擬次數(shù)設(shè)為10 000次(模擬次數(shù)越高,得到的結(jié)果更加精確). 設(shè)期權(quán)價(jià)格遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),即價(jià)格是連續(xù)變化的, 如圖1 所示.

圖1 期權(quán)價(jià)格的連續(xù)變化過程

根據(jù)上述的假設(shè), 由式(3)計(jì)算該期權(quán)的一條價(jià)格路徑, 此后再使用同樣的方法模擬出M=1 000條路徑, 并且計(jì)算出期權(quán)價(jià)格, 可以從圖2中看出價(jià)格波動(dòng)率很小, 說明模擬的結(jié)果較穩(wěn)定. 注意, 在模擬期權(quán)路徑時(shí), 模擬的次數(shù)越高得到的結(jié)果就越精確, 圖2為模擬1萬個(gè)隨機(jī)數(shù)等到一條路徑, 然后再模擬重復(fù)1 000次得到的路徑所得的結(jié)果.

圖2 模擬期權(quán)價(jià)格變化情況

由圖2可得期權(quán)在每一條路徑初始時(shí)刻的價(jià)格, 把得到的值每間隔5個(gè)取均值(這取決于計(jì)算設(shè)備, 假如模擬出的價(jià)格路徑大于100 000條, 則可以把間隔取得更大,即在上述基礎(chǔ)上從1 000個(gè)值縮減成200個(gè)值, 再用得到的值作圖,結(jié)果如圖3所示, 對(duì)比圖2得到的結(jié)果, 可以看出經(jīng)過這樣的處理之后, 一開始波動(dòng)率較大, 但隨著模擬的次數(shù)增多, 得到的結(jié)果就越精確, 這種方法對(duì)后續(xù)期權(quán)價(jià)格變化的穩(wěn)定性分析研究提供一種新研究思路.

圖3 間隔為5取均值的價(jià)格變化情況

使用本文提出的WLSM方法對(duì)美式障礙期權(quán)模擬定價(jià)與經(jīng)典的B-S模型二叉樹模型和三叉樹模型定價(jià)進(jìn)行對(duì)比, 由于支付紅利對(duì)期權(quán)持有者更加有利,也能更好地推動(dòng)金融市場(chǎng)的發(fā)展,因此在同等模型下對(duì)比了是否支付紅利的區(qū)別, 假設(shè)期權(quán)真實(shí)價(jià)格為190, 各模型模擬出的具體價(jià)格見表1.

從表1中可以看出,本文所提出的WLSM模型與經(jīng)典B-S模型和圖樹模型在同等條件下對(duì)同一個(gè)障礙期權(quán)進(jìn)行模擬定價(jià), 得到以下結(jié)論; 1)不管是哪一種模型, 在支付紅利的前提下, 期權(quán)價(jià)格還是受到很大的影響, 特別是二叉樹模型受到的影響最大; 2)在圖樹方法當(dāng)中三叉樹模型因?yàn)椴粌H考慮了期權(quán)價(jià)格上升和下降的情況, 還考慮有不變的情況, 這樣更加符合實(shí)際情況, 因此三叉樹模型定價(jià)比二叉樹模型更為精確, 但在需要支付紅利的情況下, 價(jià)格出現(xiàn)的波動(dòng)也很大; 3)WLSM方法在模擬時(shí)會(huì)更加穩(wěn)住, 模擬出的價(jià)格與真實(shí)值相比都更為接近, 即定價(jià)的精確性會(huì)更好一些; 4)由于在模擬定價(jià)中設(shè)置了障礙值, 目的就是為了得到更大杠桿, 因此障礙值的設(shè)定也會(huì)對(duì)定價(jià)造成一定的影響, 需要在設(shè)置時(shí)注意不要太大或者太小, 避免最后收益直接為0; 5)不管是那一種模型都是產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法進(jìn)行數(shù)值模擬, 從而得到的結(jié)果都是存在誤差的, 本文所使用WLSM模型模擬得到的結(jié)果相對(duì)精確, 誤差相對(duì)較少.

表2 各模型的均方誤差

均方誤差表示數(shù)據(jù)變化程度, 計(jì)算出來的值越小說明計(jì)算結(jié)果越精確. 從表2中可以看出本文所提出的WLSM方法模型的均方誤差最小, 表現(xiàn)更好,定價(jià)更加準(zhǔn)確, 適用性和有效性良好.

4 結(jié) 語

本文提出將最小二乘回歸方法和蒙特卡洛模擬相結(jié)合得到WLSM方法, 該方法的改進(jìn)之處是用Faure序列代替?zhèn)坞S機(jī)序列來產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬, 可以避免出現(xiàn)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)集中在一起出現(xiàn)聚集現(xiàn)象, 影響模擬結(jié)果的精確性.另外,在做回歸的時(shí)候考慮了權(quán)重, 使結(jié)果更精確. 本文在模擬期權(quán)定價(jià)時(shí)設(shè)定了支付紅利和期權(quán)價(jià)格的障礙值, 因?yàn)榧t利會(huì)直接影響到期權(quán)的價(jià)格, 換句話說也是給期權(quán)持有者的一種保障, 設(shè)置期權(quán)障礙值同樣如此, 一個(gè)恰當(dāng)?shù)恼系K值會(huì)讓期權(quán)持有者得到一個(gè)更大的杠桿, 實(shí)現(xiàn)收益最大化, 反之收益為零. 隨著金融市場(chǎng)的發(fā)展, 障礙類型期權(quán)會(huì)受到更多的關(guān)注.本文給出了相應(yīng)的算法步驟, 為計(jì)算機(jī)模擬提供了可能,最后在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度的前提下對(duì)期權(quán)進(jìn)行模擬定價(jià),分析了價(jià)格的波動(dòng)表現(xiàn), 通過使用之前已經(jīng)有的模型和WLSM方法模型做對(duì)比, 結(jié)果表明本文所提出方法具有良好的有效性和可行性,并給出各個(gè)模型的均方誤差.