一種新型1T2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)及工作空間分析

邱冰,李小兵,石志新,賈超逸,羅玉峰

(南昌大學(xué)先進(jìn)制造學(xué)院,江西 南昌 330031)

欠秩并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)緊湊簡(jiǎn)單、設(shè)計(jì)加工簡(jiǎn)便、控制簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn),是機(jī)構(gòu)學(xué)研究領(lǐng)域的熱門(mén)之一[1-3],在工業(yè)生產(chǎn)以及航空等其他領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景[4-8]。

近年來(lái),許多來(lái)自國(guó)內(nèi)外的學(xué)者研究了三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)機(jī)器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)類型。1983年,1T2R型三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)3-RPS首次由Hunt[9]提出。馮永平等[10]運(yùn)用方位特征集理論對(duì)一平移二轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了型綜合,給出了一平移二轉(zhuǎn)動(dòng)輸出并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的一般步驟及其具體方法。張志良等[11]運(yùn)用螺旋理論分析了一平移兩轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)及其位置。季青等[12]以一平移兩轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象,分析其機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)和工作空間。沈惠平等[13]對(duì)單自由度一平移兩轉(zhuǎn)動(dòng)并聯(lián)運(yùn)動(dòng)振動(dòng)篩進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析,為多回路并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)參數(shù)優(yōu)化提供了理論基礎(chǔ)。謝冬福[14]等提出了一種并聯(lián)腿六足農(nóng)業(yè)機(jī)器人,對(duì)并聯(lián)腿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)和工作空間進(jìn)行了深入研究。陳淼等[15]設(shè)計(jì)了一種3-RPS/SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu),通過(guò)建立其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和使用閉環(huán)矢量法,系統(tǒng)地分析了機(jī)構(gòu)正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)。

本文提出一種新型1T2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)2-SPS/PRR。首先利用方位特征方程對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析,得到其方位特征集。根據(jù)Yang和Sun提出的更具有一般性的自由度(degrees of freedom,DOF)公式,驗(yàn)證其DOF。利用封閉矢量法分析其運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解,機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解通過(guò)多種群遺傳算法得到,并與逆解相互印證,而后基于蒙特卡洛算法求解其工作空間,最后進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真分析得到其運(yùn)動(dòng)變化曲線,為后續(xù)研究和設(shè)計(jì)該類型的機(jī)械構(gòu)型提供參考依據(jù)。

1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)分析

1.1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

2-SPS/PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示,機(jī)構(gòu)由3條支鏈構(gòu)成,其中支鏈一的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)表示為SOC{-P11-R12R13-},支鏈二、三拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)表示為SOC{-Si1-Pi2-Si3}(i=2,3)。

圖1 2-SPS/PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.1 2-SPS/PRR parallel mechanism

1.2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浞治?/h3>

1.2.1 確定支路末端構(gòu)件的POC集

2-SPS/PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)三維模型見(jiàn)圖2所示。

圖2 2-SPS/PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)三維模型Fig.2 3D model of 2-SPS/PRR parallel mechanism

支路1的方位特征集(POC集):

取R12副與R13副的兩軸線交點(diǎn)為基點(diǎn),支路SOC{-P11-R12R13-}末端構(gòu)件的POC集為

(1)

式中:t為獨(dú)立移動(dòng)元素;r為獨(dú)立轉(zhuǎn)動(dòng)元素;P為移動(dòng)副;R為轉(zhuǎn)動(dòng)副;||表示平行;◇表示平面。

支路2、3的方位特征集(POC集):

支路SOC{-Si1-Pi2-Si3}(i=2,3)末端構(gòu)件的POC集為

(2)

1.2.2 建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)方位特征方程

根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)方位特征集的運(yùn)算規(guī)則,將三支路的末端機(jī)構(gòu)的方位特征集帶入并聯(lián)機(jī)構(gòu)方位特征方程中,得到

(3)

1.2.3 檢驗(yàn)機(jī)構(gòu)自由度

由于機(jī)構(gòu)的DOF對(duì)POC集的運(yùn)算產(chǎn)生約束,因此需要對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度進(jìn)行檢驗(yàn)。

通過(guò)分析組成該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的3條支路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),以及3條支路在動(dòng)、靜平臺(tái)之間的裝配關(guān)系,根據(jù)Yang和Sun提出的更具有一般性的DOF公式:

(4)

式中:F為機(jī)構(gòu)DOF;fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度的數(shù)目;m為運(yùn)動(dòng)副的數(shù)目;v為獨(dú)立回路的數(shù)目;ξLj為第j個(gè)獨(dú)立回路的獨(dú)立位移方程數(shù);Mbi為第i條支路末端POC集;dim.{M}表示方位特征集的維數(shù)。

1) 第1個(gè)獨(dú)立回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξL1的計(jì)算。

第1個(gè)獨(dú)立回路由第一、二條支路組成,由式(4),ξL1為

(5)

第一、二條支路組成的子并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度為

(6)

第一、二條支路組成的子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)的POC集為

(7)

2)第二個(gè)獨(dú)立回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξL2的計(jì)算。

考慮到P11、P21與P31副為空間任意交叉,則

ξL2=dim.{Mpa(1-2)∪Mb3}=

(8)

第一、二、三條支路的子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的DOF為

(9)

所以,機(jī)構(gòu)的自由度為3滿足設(shè)計(jì)要求。

2 2-SPS/PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)正逆解分析

2.1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的描述及動(dòng)坐標(biāo)系、靜坐標(biāo)系的建立

如圖3所示,2-SPS/PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)由靜平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)和位于它們之間的3條支路組成。3條支路中間均為移動(dòng)副,且以3個(gè)移動(dòng)副作為機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)副,通過(guò)驅(qū)動(dòng)裝置推動(dòng)移動(dòng)副發(fā)生相對(duì)位移,使得3條桿的桿長(zhǎng)發(fā)生變化,從而改變動(dòng)平臺(tái)的空間位置和空間姿態(tài)。設(shè)定該動(dòng)、靜平臺(tái)均為正三角形,動(dòng)平臺(tái)B1B2B33個(gè)點(diǎn)均勻分布在半徑為r的圓周上,靜平臺(tái)A1A2A33個(gè)點(diǎn)勻分布在半徑為R的圓周上。

圖3 2-SPS/PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系Fig.3 Coordinate system of 2-SPS/PRR parallel mechanism

分別在動(dòng)平臺(tái)和靜平臺(tái)所處圓周的圓心處建立動(dòng)坐標(biāo)系{O1uvw}和靜坐標(biāo)系{Oxyz}。靜平臺(tái)x軸平行于A2A3,y軸垂直于A2A3,z軸由右手螺旋定則可知垂直于靜平臺(tái)。動(dòng)平臺(tái)u軸平行于B2B3,v軸垂直于B2B3,由根據(jù)右手螺旋定則可確定w軸的方向?yàn)榇怪庇趧?dòng)平臺(tái)。

與傳統(tǒng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)相比,此并聯(lián)機(jī)構(gòu)各支鏈位置分布方式一致且對(duì)稱性好,3條支鏈均布置一個(gè)驅(qū)動(dòng)副關(guān)節(jié),支鏈結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且相似。因此,該機(jī)構(gòu)具有復(fù)雜度低、穩(wěn)定性好、不存在伴隨運(yùn)動(dòng)和易于控制的特點(diǎn)。

2.2 機(jī)構(gòu)逆解分析

并聯(lián)機(jī)構(gòu)逆解分析是:通過(guò)已知的末端執(zhí)行器的空間位置和空間姿態(tài),求解各個(gè)關(guān)節(jié)輸入量的取值。

對(duì)于此并聯(lián)機(jī)構(gòu)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是:給定動(dòng)平臺(tái)的空間位置參數(shù)和姿態(tài)轉(zhuǎn)角參數(shù),即動(dòng)平臺(tái)沿z軸的位移d和關(guān)于x軸旋轉(zhuǎn)的角度γ及關(guān)于y軸旋轉(zhuǎn)的角度β,求出對(duì)應(yīng)3條支鏈的桿長(zhǎng)長(zhǎng)度L1、L2、L3。

常用的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解方法一般有2大類:

封閉解和數(shù)值解,其中封閉解通過(guò)不同方法將約束方程中的未知數(shù)消去,得到解析表達(dá)式后再解得方程的所有解。而數(shù)值法一般不能求得所有解,因此不適合進(jìn)行理論上的研究,并且數(shù)值解法比封閉解法更加耗時(shí)且復(fù)雜。因此本文采用封閉矢量法求解此并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解。

根據(jù)在動(dòng)平臺(tái)位置處建立的動(dòng)坐標(biāo)系{O1uvw},確定3條支鏈與動(dòng)平臺(tái)連接處各點(diǎn)的齊次坐標(biāo)如下:

(10)

根據(jù)在靜平臺(tái)位置處建立的靜坐標(biāo)系{Oxyz},確定3條支鏈與靜平臺(tái)連接處各點(diǎn)的齊次坐標(biāo)如下:

(11)

由2-SPS/PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特征可知:

動(dòng)平臺(tái)位移與各個(gè)支鏈末端位移相等,動(dòng)平臺(tái)存在2個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)。因此,根據(jù)動(dòng)平臺(tái)與靜平臺(tái)的位置關(guān)系,動(dòng)坐標(biāo)系{O1uvw}相對(duì)于定坐標(biāo)系{Oxyz}的齊次變換矩陣為:

(12)

式中:trans為平移矢量;Rot為旋轉(zhuǎn)矢量;sβ、sγ分別表示sinβ、sinγ;cβ、cγ分別表示cosβ、cosγ,下同。

(13)

通過(guò)機(jī)構(gòu)矢量關(guān)系得到各個(gè)驅(qū)動(dòng)副的桿長(zhǎng)計(jì)算公式分別為:

(14)

并聯(lián)結(jié)構(gòu)各支鏈均以移動(dòng)副作為機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)副,因此只需給定動(dòng)平臺(tái)的位置和姿態(tài)參數(shù),即給定β、γ、d,逆解的求解即可式(14)求得。通過(guò)Matlab求得以下5組算例下對(duì)應(yīng)的桿長(zhǎng)l1、l2、l3的尺寸,見(jiàn)表1。

表1 逆解算例Tab.1 Example of inverse solution

2.3 基于多種群遺傳算法的正解分析

并聯(lián)機(jī)構(gòu)由于自身結(jié)構(gòu)相對(duì)復(fù)雜,其位置的正解具有很大的難度。本文運(yùn)用多種群遺傳算法對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析,多種群遺傳算法通過(guò)使用群體搜索技術(shù),將一組問(wèn)題的解放入各個(gè)種群中,并對(duì)各個(gè)種群實(shí)施進(jìn)行一系列的選擇、交叉和變異等遺傳操作,且各個(gè)種群的進(jìn)化方向不同,使得搜索能力得到大幅增強(qiáng),并生成新一代的種群,各個(gè)不同的種群之間通過(guò)移民算子進(jìn)行相互聯(lián)系,即分別把每個(gè)種群的最優(yōu)個(gè)體分別引進(jìn)到其他種群中,通過(guò)多個(gè)種群共同進(jìn)化而取得最優(yōu)解。與傳統(tǒng)遺傳算法相比,多種群遺傳算法能有效避免早熟問(wèn)題,且提高了全局搜索能力,從而減少迭代次數(shù)和時(shí)間,提高了求解效率。

以并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解為最優(yōu)搜索目標(biāo),引入適應(yīng)度函數(shù)F,建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)正運(yùn)動(dòng)學(xué)的數(shù)學(xué)求解模型。圖4為多種群遺傳算法運(yùn)算流程圖。

圖4 多種群遺傳算法流程圖Fig.4 Flow chart of multi population genetic algorithm

1)確定優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。

建立關(guān)于z、β、γ的目標(biāo)函數(shù)如下:

(15)

2)適應(yīng)度函數(shù)。

適應(yīng)度函數(shù)根據(jù)求解問(wèn)題本身的要求而定,因此本算例的適應(yīng)度函數(shù)構(gòu)造是將目標(biāo)函數(shù)直接映射成適應(yīng)度函數(shù),令F=|f1|+|f2|+|f3|為個(gè)體適應(yīng)度函數(shù),當(dāng)F<10-7時(shí),終止迭代,其中多種群遺傳算法參數(shù)見(jiàn)表2。

說(shuō)起天窗，我們并不陌生。那些最初被我們稱為“囪”“通孔”的口子，就是最早期的“天窗”雛形。1941年，世界上第一座真正意義上的天窗在丹麥出現(xiàn)。在人們對(duì)建筑光環(huán)境的迫切需求下，建筑天窗應(yīng)運(yùn)而生，并深得許多設(shè)計(jì)師的青睞，開(kāi)始出現(xiàn)在一些公共建筑及住宅項(xiàng)目中。進(jìn)入21世紀(jì)，隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，天窗的設(shè)計(jì)與功能也變得越來(lái)越豐富，甚至一度成為現(xiàn)代建筑設(shè)計(jì)的潮流。既是窗戶也是天花，天窗的混合性使其能夠成為建筑空間中的關(guān)鍵元素。不得不說(shuō)，利用天窗的形狀和角度加以靈活地布置，任何空間皆可變得獨(dú)特而美觀，僅僅是和天空近距離的接觸，就能改變空間給人的第一印象，這大概就是天窗的魅力所在。

表2 遺傳算法參數(shù)Tab.2 Parameters of genetic algorithm

由位置正解的計(jì)算結(jié)果表3可知,在給定桿長(zhǎng)參數(shù)下,通過(guò)多種群遺傳算法可以得到動(dòng)平臺(tái)位置和姿態(tài)的數(shù)值解。

表3 正解計(jì)算結(jié)果Tab.3 Calculation results of positive solution

由圖5可知,5組算例的適應(yīng)度曲線收斂速度均較快,當(dāng)?shù)螖?shù)為50次時(shí),5組算例的適應(yīng)度值均趨近為0。由此可知,多種群遺傳算法可以有效且迅速地得到該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解,同時(shí)也為此并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間的求解問(wèn)題提供理論基礎(chǔ)。

進(jìn)化代數(shù)圖5 多種群遺傳算法適應(yīng)度曲線Fig.5 Fitness curve of multi population genetic algorithm

3 工作空間分析

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間是指機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)上的參考點(diǎn)在空間內(nèi)所有可達(dá)位置的集合。對(duì)于此并聯(lián)機(jī)構(gòu),通過(guò)選取動(dòng)平臺(tái)上參考點(diǎn)所處附近空間的點(diǎn)的集合,判斷并找出滿足3條支鏈桿長(zhǎng)參數(shù)約束要求的點(diǎn)集,這些點(diǎn)集共同組成其工作空間,此時(shí)通過(guò)逆解即可求得其工作空間。

本文使用蒙特卡洛算法,基于數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論中的概率與統(tǒng)計(jì)的思想,對(duì)該機(jī)構(gòu)工作空間姿態(tài)進(jìn)行求解,以逆解方程為約束條件,找出滿足主動(dòng)構(gòu)件參數(shù)及運(yùn)動(dòng)副約束要求的點(diǎn)集。

建立動(dòng)平臺(tái)關(guān)于z軸的位移d、繞x軸的轉(zhuǎn)角γ、繞y軸的轉(zhuǎn)角β目標(biāo)函數(shù)如下:

(16)

蒙特卡洛算法的主要步驟為:

1)設(shè)定動(dòng)平臺(tái)所處的外接圓半徑r、靜平臺(tái)所處的外接圓半徑R以及驅(qū)動(dòng)裝置推動(dòng)移動(dòng)副發(fā)生相對(duì)位移的范圍。

3)將得到的末端輸出位姿坐標(biāo)進(jìn)行記錄,并利用Matlab軟件將所有的位姿坐標(biāo)繪制成圖6所示的工作空間。

(a)工作空間三維圖

該機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)尺寸參數(shù)設(shè)定如表4所示。

表4 并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)尺寸參數(shù)Tab.4 Motion parameters of parallel mechanism

由圖6可知,在給定的尺寸參數(shù)和運(yùn)動(dòng)參數(shù)下,機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)繞x軸旋轉(zhuǎn)角度β∈[-190°,190°],繞y軸旋轉(zhuǎn)角度γ∈[-215°,215°],沿z軸移動(dòng)距離d∈[475,560]。同時(shí)可看出,此并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有較大的姿態(tài)工作空間,且工作空間形狀較為規(guī)則、邊界清晰,因此其具備優(yōu)良的工作性能和良好的應(yīng)用前景。

4 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)仿真

將該并聯(lián)機(jī)構(gòu)三維模型導(dǎo)入Adams軟件,如圖7所示。分別對(duì)該機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副設(shè)置連接及約束,添加三條支鏈中的移動(dòng)副作為驅(qū)動(dòng)副,桿長(zhǎng)變化數(shù)學(xué)表達(dá)式如式(17)所示。通過(guò)對(duì)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真,以觀察各構(gòu)件運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否發(fā)生干涉,從而驗(yàn)證此機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的合理性。

圖7 2-SPS/PRR機(jī)構(gòu)虛擬樣機(jī)Fig.7 Virtual prototype of 2-SPS/PRR parallel mechanism

(17)

輸出位于動(dòng)平臺(tái)上動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)的位姿曲線,見(jiàn)圖8所示。

t/s(a) 動(dòng)平臺(tái)沿z軸位移變化曲線

通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真曲線可知,在5 s時(shí)間內(nèi),動(dòng)平臺(tái)旋轉(zhuǎn)角度α的變化范圍為2°～12°,旋轉(zhuǎn)角度β的變化范圍為-14°～15°,動(dòng)平臺(tái)在Z方向上的位移變化范圍為398～569 mm,且在Adams仿真運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)構(gòu)未發(fā)生干涉,運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)。

5 結(jié)論

1)提出了一種2-SPS/PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu),通過(guò)機(jī)構(gòu)拓?fù)鋵W(xué)理論得出2-SPS/PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有一平移兩轉(zhuǎn)動(dòng)3個(gè)自由度,并根據(jù)Yang和Sun提出的更具有一般性的DOF公式,驗(yàn)證其正確性。

2)通過(guò)建立動(dòng)、靜坐標(biāo)系,利用封閉矢量法建立運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解模型,并進(jìn)行算例求解。使用多種群遺傳算法得到復(fù)雜正解計(jì)算的數(shù)值解,其正逆解算例相互驗(yàn)證。2種計(jì)算方法對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析具有十分有效的參考意義。

3)基于蒙特卡洛法,用Matlab軟件求解得到其工作空間,從工作空間圖中可以看出其工作空間大且連續(xù)。用Adams軟件建立該機(jī)構(gòu)模型,并對(duì)動(dòng)平臺(tái)動(dòng)力學(xué)仿真,可看出其運(yùn)動(dòng)性能良好,對(duì)機(jī)構(gòu)的實(shí)際應(yīng)用具有重要意義。