在球坐標(biāo)系中分析液體對(duì)球面的靜壓力

黃 亮

(重慶市南開中學(xué)校,重慶 400030)

中學(xué)教學(xué)中,在處理理想液體對(duì)球面的靜壓力問(wèn)題時(shí),多從“阿基米德原理”入手.依托實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),關(guān)注整體效果.鮮有涉及壓力產(chǎn)生方式、作用原理、過(guò)程細(xì)節(jié)及影響因素,致使該處存疑較多.球面(球體、球臺(tái)、球缺等)作為基本幾何體,其所受液體壓力問(wèn)題十分典型、基礎(chǔ).是理論學(xué)習(xí)與工程實(shí)踐中的重要物理“元模型”,直接影響相關(guān)現(xiàn)象解釋與原理分析.

定性討論時(shí),由球面幾何對(duì)稱性引申出的部分“結(jié)論”,也有待論證.以便師生了解推導(dǎo)過(guò)程,準(zhǔn)確把握適用條件、應(yīng)用范圍.為探尋新型教學(xué)方式提供理論依據(jù).

球坐標(biāo)系作為三維正交坐標(biāo)系的一種,在運(yùn)用其分析球面受力時(shí),描述方式簡(jiǎn)潔、變換過(guò)程靈活,符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.利于師生將問(wèn)題的探討引向縱深.

在物理問(wèn)題中,球坐標(biāo)系用徑向距離(位矢模長(zhǎng))r、極角(天頂角)θ、方位角φ確定空間中某點(diǎn)的位置,如圖1.以下沿用這一慣例.部分學(xué)科中,會(huì)采用(ρ,φ,θ)表示距離、天頂角、轉(zhuǎn)角等.需注意角的標(biāo)記方式,切勿混淆.

圖1 球坐標(biāo)的物理意義

用球坐標(biāo)表示球面上某處的面積元素[1](面積元、面積微元)時(shí),可比擬“切西瓜”和“分月餅”的場(chǎng)景,如圖2.從空間幾何的角度來(lái)幫助學(xué)生理解:將“西瓜”水平切出薄圓片→沿薄片半徑切出一個(gè)小扇面→扇面對(duì)應(yīng)的“瓜皮”部分可認(rèn)為是面積元素dS.

圖2 球坐標(biāo)中的面積元素

用級(jí)數(shù)或雅可比行列式的推導(dǎo)結(jié)果相同,過(guò)程不作展開.

1 分析方法與步驟

分析液體靜壓力前,沿重力加速度g的負(fù)方向設(shè)z軸,取球心處為原點(diǎn)建立球坐標(biāo)系,如圖3.令液體密度為ρ,球體半徑為R,球心O所在深度為h0,則球面的面積元素為:

圖3 球面所受液體壓力的分析

dS=R2sinθdθdφ

該面積元素所在處液體深度為

hS=(h0-Rcosθ).

靜止液體內(nèi)部沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng),切向力為0.故面積元素上所受液體靜壓力FS為該處的法向力,數(shù)值上等于該處液體靜壓強(qiáng)(法應(yīng)力)p與面積dS的乘積

FS=pdS=ρghSdS=ρg(h0-Rcosθ)R2sinθdθdφ.

Fs指向球心,將其沿x、y、z方向分解后分別討論.[2]積分區(qū)域D為球面的浸沒(méi)部分,用球坐標(biāo)表示為

D={(r,θ,φ)|r=R,θ1≤θ≤θ2,φ1≤φ≤φ2}.

球面所受液體壓力的x方向分量(向Oxy平面投影得水平分量Fxy后再向x軸二次投影)為

(1)

y方向分量(向Oxy平面投影得水平分量Fxy后再向y軸二次投影)為

(2)

x、y軸滿足右手系原則,當(dāng)z軸取定后,兩者的指向是任意的.且面積元的深度只與z軸相關(guān).因此x、y方向上的規(guī)律具有相似性.因此可根據(jù)實(shí)際需要,令坐標(biāo)系繞z軸旋轉(zhuǎn)至合適位置以方便討論.

z方向分量(向z軸投影)為

(3)

若為球形空腔盛裝液體類問(wèn)題,面積元上的壓力元素方向背離球心,將FS取反即可,分析方法不變.

2 常用結(jié)論與規(guī)律

根據(jù)問(wèn)題條件,確定浸沒(méi)部位球坐標(biāo)(r,θ,φ)的取值范圍(積分區(qū)域D)后分別代入式(1)(2)(3)計(jì)算并討論.

2.1 完整球面浸沒(méi)

D={(r,θ,φ)|r=R,0≤θ≤π,0≤φ≤2π},

2.2 豎直半球浸沒(méi)

D={(r,θ,φ)|r=R,0≤θ≤π,0≤φ≤π}.

球冠所受壓力在y方向分量的大小等于球缺底面圓所受的液體壓力,兩者反向.z方向分量即為浮力,如圖4.推廣:

圖4 豎直浸沒(méi)的半球、球臺(tái)與球缺

(a) 浸沒(méi)球面的始末端關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí):φ1+φ2=nπ(n=1,3),∑Fx=0 ;始末端關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí):φ1+φ2=2π,∑Fy=0 ;且均與θ取值無(wú)關(guān).

(b) 豎直球缺浸沒(méi)時(shí),球冠與其底面圓在水平方向上所受液體壓力等大反向,在豎直方向上所受的液體壓力與浮力等大同向.

(c) 豎直球臺(tái)浸沒(méi)時(shí),球冠所受液體壓力與兩底面圓所受壓力差等大反向,在豎直方向上所受的液體壓力與浮力等大同向.

物體浸入靜止流體中時(shí),不會(huì)因液體壓力作用而發(fā)生“左右擺動(dòng)”或“前后偏移”.說(shuō)明水平方向上的液體靜壓力是平衡的.故2)中結(jié)論可向任意曲面推廣:浸沒(méi)曲面在水平某方向上受到的液體壓力分量,同曲面在與該方向垂直面上的正投影平面受到的液體壓力等大.

2.3 水平半球浸沒(méi)

上半球:D={(r,θ,φ)|r=R,0≤θ≤π/2,0≤φ≤2π}.

球冠所受壓力在z方向分量的大小等于球缺底面圓所受的液體壓力與浮力的差.方向沿z軸負(fù)向,如圖5.

圖5 水平浸沒(méi)的半球、球臺(tái)與球缺

下半球:D={(r,θ,φ)|r=R,π/2≤θ≤π,0≤φ≤2π}.

球冠所受壓力在z方向分量的大小等于球缺頂面圓所受的液體壓力與浮力的和.方向沿z軸正向.推廣:

(a) 水平球缺浸沒(méi)時(shí),球冠與其底面圓在豎直方向上所受液體壓力差與浮力等大同向,在水平方向上所受的液體壓力合為零.

(b) 水平球臺(tái)浸沒(méi)時(shí),球冠所受液體壓力在豎直方向與其兩底面圓所受壓力合與浮力等大同向,水平方向上所受的液體壓力合為零.

2.4 1/4球浸沒(méi)

圖6 1/4球浸沒(méi)的兩種典型情況

水平1/4球面,所受壓力在y方向分量的大小等于其豎直半圓面所受液體壓力(球面在Oxz面上的正投影為半圓);z方向分量的大小等于底部半圓面所受的液體壓力與浮力之差.方向沿z軸負(fù)向.

豎直1/4球:D={(r,θ,φ)|r=R,0≤θ≤π,0≤φ≤π/2},

豎直1/4球面,所受壓力在x、y方向分量的大小均等于其豎直半圓面所受液體壓力;z方向分量等于浮力.

2.5 1/8球浸沒(méi)

D={(r,θ,φ)|r=R,0≤θ≤π/2,0≤φ≤π/2},

圖7 1/8球浸沒(méi)

1/8球面,所受壓力在x、y方向分量的大小均等于豎直1/4圓面所受液體壓力(球面在Oxz面、Oyz面上的正投影均為1/4圓);z方向分量等于底部1/4圓面所受壓力與浮力之和.

3 典型問(wèn)題的解析

例1.將半球形漏斗倒扣后緊貼水平桌面放置.從位于漏斗最高處的孔向內(nèi)注水,如圖8(a).當(dāng)漏斗內(nèi)的水面剛好達(dá)到孔的位置時(shí),漏斗浮起,水開始從下部流出.若漏斗內(nèi)壁半徑為R,水的密度為ρ,重力加速度取g.試求漏斗質(zhì)量m.

圖8 漏斗的受力分析

解析:漏斗浮起時(shí),水對(duì)內(nèi)壁壓力的豎直分量∑Fz等于其重力.如圖8(b).則漏斗質(zhì)量為

在球坐標(biāo)中很好地展現(xiàn)了內(nèi)部液體對(duì)漏斗“托舉”作用的產(chǎn)生機(jī)理.漏斗浮起瞬時(shí),“托舉力”與其重力平衡,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“同一直線上的二力平衡”.

例2.水池的豎直內(nèi)壁上設(shè)置有一個(gè)半球形的玻璃觀察窗如圖9(a),窗體向池內(nèi)凹陷且外半徑為R,池中液面距離觀察窗球心的豎直高度差為h0,水的密度為ρ,重力加速度取g,試求窗體受到的水的靜壓力.

圖9 觀察窗的受力分析

可見池水對(duì)觀察窗向球心“擠壓”“往外推”的同時(shí)也在“向上抬”,如圖9(b).隨著液面高度的增加,靜壓力愈加趨近水平.

4 結(jié)語(yǔ)

球坐標(biāo)的建立方式遵循了人們?cè)谏钪幸宰陨頌樵c(diǎn)對(duì)空間的觀察習(xí)慣,直觀樸素.與笛卡爾坐標(biāo)能很好地?fù)Q算,中學(xué)生容易接受.且由于球面所受液體靜壓力始終沿其切面的法線方向.因此,在球坐標(biāo)中力的分析被簡(jiǎn)化了.不論定量推算,還是定性分析,均顯得嚴(yán)謹(jǐn)、自然,并合乎物理學(xué)研究問(wèn)題的一般方法.

此外,在球殼、球體的質(zhì)心位置判斷、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分析等力學(xué)問(wèn)題中,以及帶電球面的場(chǎng)強(qiáng)、電勢(shì)討論等電磁學(xué)問(wèn)題中,球坐標(biāo)均有廣闊應(yīng)用,提供了清晰簡(jiǎn)明的觀察視角.

教學(xué)中,恰當(dāng)引入球坐標(biāo)的方法或思路,能激發(fā)學(xué)生的探究興趣,拓寬學(xué)科視野,有助于培育基本物理思想,提升其建構(gòu)模型的意識(shí)和能力,[4]為進(jìn)一步學(xué)習(xí)物理知識(shí)打好思維基礎(chǔ).