引入?yún)?shù)角,巧解圖形類最值問題

史宏亮

(蘭州市第五十八中學(xué))

求解以平面圖形為載體的最值問題時往往需要先合理引入?yún)?shù)角,再靈活運(yùn)用三角函數(shù)輔助解題.該解法充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想(側(cè)重于由“形”到“數(shù)”)、轉(zhuǎn)化與化歸思想(側(cè)重于將目標(biāo)問題等價轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的最值問題)在解題中的綜合運(yùn)用.

1 求解平面圖形邊長乘積的最大值

例1 已知梯形ABCD是半徑為2的圓的內(nèi)接四邊形,且,則該梯形的四條邊長的乘積的最大值為_________

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圖1

等腰梯形ABCD的四條邊長的乘積的最大值為36.從整體看,本題設(shè)計較好,具有一定的難度,也具有一定的綜合性,涉及解三角形、三角函數(shù)以及基本不等式知識的綜合運(yùn)用.此外,本題用到三角函數(shù)中的“平方差公式”:

2 求解平面圖形周長比的最小值

例2 如圖2所示,AC是矩形ABCD的一條對角線,已知正方形S1和正方形S2的周長分別為C1,C2,且它們分別內(nèi)接于Rt△ACD和Rt△ABC,則的最小值為________.

圖2

由于兩個正方形的周長比等于邊長比,所以本題即求兩個正方形的邊長比的最小值.設(shè)∠CAB＝θ,其中0＜θ＜.設(shè)正方形S1的邊長為x,則設(shè)正方形S2的邊長為y,則

本題設(shè)計較新穎,引入?yún)?shù)θ后,求解關(guān)鍵在于以下兩點(diǎn):一是根據(jù)圖形,并結(jié)合CD＝AB,可巧妙地轉(zhuǎn)化邊長比為;二是通過“換元”,并借助雙勾函數(shù)的單調(diào)性可巧妙求解的最小值.值得提及的是:本題將邊長比進(jìn)行轉(zhuǎn)化的具體途徑不唯一,還可根據(jù)AD＝BC轉(zhuǎn)化,或者根據(jù)AC＝AC轉(zhuǎn)化(即根據(jù)Rt△ACD和Rt△ABC有公共邊AC可實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化),請讀者自行思考、完成.

3 求解平面圖形面積的最大值

例3 如圖3所示,PQMN是半圓O的內(nèi)接矩形,△MNR是等腰三角形(點(diǎn)P和R分布在直線AB的兩側(cè)),已知半圓的半徑OP＝2,且RM＝RN,

圖3

(1)求矩形PQMN的面積的最大值;

(2)求五邊形PQMRN的面積的最大值.

(1)設(shè)∠POB＝θ,其中

由圖易得PN＝OPsinθ＝2sinθ,MN＝2ON＝2OPcosθ＝4cosθ,所以矩形PQMN的面積為PN?MN＝2sinθ?4cosθ＝4sin2θ≤4,當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ＝1,即θ＝時,等號成立,故所求矩形PQMN的面積的最大值為4

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本題第(1)問比較簡單,難點(diǎn)在于第(2)問的求解,需要在引入?yún)?shù)角的基礎(chǔ)上,靈活運(yùn)用“分割與組合思想”先寫出五邊形PQMRN的面積的函數(shù)表達(dá)式,再運(yùn)用三角函數(shù)知識巧求最大值.從整體看,求解本題的關(guān)鍵在于合理引入?yún)?shù)角,等價轉(zhuǎn)化目標(biāo)問題,同時要注意有關(guān)三角函數(shù)知識在解題中的靈活運(yùn)用.

本文通過歸類舉例剖析的形式著重說明,引入?yún)?shù)角可巧妙求解以平面圖形為載體的最值問題,充分彰顯了高中數(shù)學(xué)思想方法在解題中的綜合運(yùn)用,同時有利于培養(yǎng)學(xué)生在直觀想象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)運(yùn)算等方面的核心素養(yǎng).

(完)