也談正弦定理的證明與應用

魏 巍

(山東省濟寧孔子高級中學)

數(shù)學處處呈現(xiàn)出和諧美,如解三角形經(jīng)常用到的正弦定理:在△ABC中,若角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則,三角形的三邊長與三邊所對角的正弦值成正比.那么這個定理究竟有哪些證法呢? 又有哪些應用呢?

1 正弦定理的證明方法

對于直角三角形來說,此定理顯然成立,下面我們以△ABC是銳角三角形為例對該定理進行證明,當△ABC是鈍角三角形時也可用這些方法證明,此處不再贅述.

1.1 轉(zhuǎn)化為直角三角形問題

初中數(shù)學只研究解直角三角形,那么正弦定理的證明,能否轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題呢? 答案是肯定的,而且有兩種方法.

證法1 作銳角三角形一邊上的高,就可把原三角形變成兩個直角三角形.

如圖1所示,作CD⊥AB,垂足為D,則線段CD是邊AB上的高,在Rt△CAD中,CD＝bsinA;在Rt△CBD中,CD＝asinB,則asinB＝bsinA,即

圖1

證法2 利用三角形的外接圓,同樣可以把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形.如圖2所示,CD是銳角△ABC的外接圓直 徑,連 接DB.設R為△ABC的外接圓半徑,根據(jù)同弧所對的圓周角相等以及直徑所對的圓周角是直角可得A＝D,∠DBC＝90°,CD＝2R,所以sinA＝

圖2

1.2 利用三角形面積的三種表示

證法3 若△ABC為銳角三角形,則由證法1可知

這種證明方法簡潔明了,體現(xiàn)了數(shù)學的簡潔美.

1.3 利用坐標法

證法4 以C為原點、射線CA為x軸的正半軸建立如圖3所示的平面直角坐標系,且使點B落在第一象限,則AC邊上的高即為點B的縱坐標.根據(jù)三角函數(shù)的定義,知點B的縱坐標為h＝asinC,所以△ABC的面積為

圖3

同理可得

當然,正弦定理的證法還有很多,如教材上是利用平面向量的數(shù)量積來證明的,這里不再贅述.其實無論哪種證法,歸根到底就是通過數(shù)形結(jié)合加以轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化成不同的知識和方法來證明.

2 正弦定理的應用

正弦定理體現(xiàn)了三角形中邊與角之間的和諧關(guān)系,利用這個關(guān)系可以解決許多問題.

2.1 求解三角形中的最值問題

求解三角形中的最值問題的關(guān)鍵是寫出所求量的三角函數(shù)表達式,而涉及邊的問題往往需要利用正弦定理將邊的問題轉(zhuǎn)化為角的問題.

例1 如圖4 所示,在Rt△ABC中,已 知∠A＝60°,∠C＝90°,AC＝4,則△ABC的內(nèi)接正△DEF邊長的最小值為_________.

圖4

因 為∠A＝60°,∠C＝90°,AC＝4,所 以BC＝ACtan60°＝,AB＝2AC＝8.

設正△DEF的 邊 長 為a,∠DEC＝θ,在Rt△DEC中,DC＝asinθ,CE＝acosθ.因為∠DEF＝60°,所以

在△FEB中,由正弦定理得

所以

此題考查正弦定理以及三角函數(shù)恒等變換公式的應用,考查數(shù)形結(jié)合思想,解題的關(guān)鍵是在△FEB中借助正弦定理表示出BE,從而可表示出BC,再利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡變形可求出△DEF邊長的最小值.

2.2 證明三角形中關(guān)于邊的恒等式

對于三角形中關(guān)于邊的恒等關(guān)系,往往可以用正弦定理轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)之間的關(guān)系,這是破解這類題的方向.

例2 在△ABC中,A為定角,且b＋c≤2a,求證:

證明 所證等式可變形為

在證明三角形中的邊的關(guān)系式時,往往既要用到正弦定理又要用到余弦定理,有時還要用到三角恒等變換公式,本例中用到了二倍角公式、積化和差公式.

正弦定理能實現(xiàn)邊與角的互化,在解答相關(guān)問題時,正弦定理可將目標式轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一角的關(guān)系式或邊的關(guān)系式,從而為下一步解決問題創(chuàng)造條件.

(完)