兩道橢圓與圓綜合問(wèn)題的拓展探究

? 甘肅省秦安縣第二中學(xué) 羅文軍

圓和橢圓都是高中數(shù)學(xué)解析幾何部分的重要知識(shí),也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容.橢圓與圓綜合起來(lái)命制的解析幾何定值、定點(diǎn)和取值范圍問(wèn)題,可以很好地考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想和分類討論思想,以及著力考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),因此倍受命題專家的青睞.以下運(yùn)用類比和特殊到一般的研究方法,對(duì)兩道橢圓和圓的綜合問(wèn)題進(jìn)行拓展探究,以期對(duì)教師命制?？荚囶}提供參考.

1 試題呈現(xiàn)

圖1

(1)求橢圓E的方程.

(2)A為橢圓E的下頂點(diǎn),直線AP,AQ的斜率分別記為k1,k2,且k2=4k1,求證:

①△APQ為直角三角形;

②直線PQ過(guò)定點(diǎn),并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)當(dāng)點(diǎn)M在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),試探究△FPQ周長(zhǎng)的取值范圍.

2 試題拓展

圖2

(1)∠AQP=90°;

(2)直線PQ過(guò)定點(diǎn)(0,b).

證明:(1)直線AP的方程為y=k1x-b(k1≠0).

所以kPQ·k2=-1,即PQ⊥AQ.

故∠AQP=90°.

(2)由(1),可得直線PQ的方程為

①

在上述方程①中,令x=0,可得

同理可證得下面命題2～4.

(1)∠AQP=90°;

(2)直線PQ過(guò)定點(diǎn)(0,-b).

(1)∠APQ=90°;

(2)直線PQ過(guò)定點(diǎn)(0,-a).

(1)∠APQ=90°;

(2)直線PQ過(guò)定點(diǎn)(0,a).

通過(guò)對(duì)試題2進(jìn)行拓展探究,可得橢圓及其“姊妹圓”相關(guān)性質(zhì)的命題5.

圖3

證明略.

3 結(jié)束語(yǔ)

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò):“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要.”這句話告訴我們,要學(xué)好高中數(shù)學(xué),就要認(rèn)真審視習(xí)題,通過(guò)對(duì)習(xí)題的觀察,探索習(xí)題中蘊(yùn)含的規(guī)律.本文中的解題,沒(méi)有僅停留在題目的解出上,而是通過(guò)觀察題設(shè)條件中式子的結(jié)構(gòu)特征,運(yùn)用類比推理和演繹推理的研究方法,順勢(shì)對(duì)試題進(jìn)行拓展探究,得到了關(guān)于橢圓及其“姊妹圓”性質(zhì)的五個(gè)命題,揭示了這類問(wèn)題的題根,為高中生數(shù)學(xué)探究能力的培養(yǎng)提供了素材,為打造高品質(zhì)高中數(shù)學(xué)習(xí)題課提供了案例.