提升思維能力 優(yōu)化解題思路

? 江蘇省如皋市第一中學(xué) 夏 娟

笛卡兒曾說(shuō)過(guò):“我解決的每一個(gè)問(wèn)題都會(huì)成為用以解決其他問(wèn)題的法則.”下面筆者以一道解析幾何題拋磚引玉,說(shuō)明如何幫助學(xué)生強(qiáng)化問(wèn)題意識(shí),積累解題經(jīng)驗(yàn),提升思維能力,優(yōu)化解題思路,把握數(shù)學(xué)本質(zhì).

1 試題呈現(xiàn)

2 解法研究

點(diǎn)評(píng):整個(gè)過(guò)程思路流暢,但運(yùn)算繁冗復(fù)雜,稍有不慎,前功盡棄.學(xué)生容易想到思路方法,但不易獲得最終結(jié)果,往往半途而廢者較多.數(shù)學(xué)運(yùn)算作為高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一,教師在教學(xué)過(guò)程中,不能怕浪費(fèi)時(shí)間,而應(yīng)有意訓(xùn)練培養(yǎng).

點(diǎn)評(píng):特殊不能代替一般,此類方法在選填題中可作為首選,往往能達(dá)到事半功倍之效,但解答題還需結(jié)合視角1中獲得的A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)證明一般情況下也成立.

點(diǎn)評(píng):圍繞所求目標(biāo),選擇直線最佳表示形式聯(lián)立方程組,緊扣題中所給條件,利用韋達(dá)定理整體代入,找到參數(shù)m與k的關(guān)系.

點(diǎn)評(píng):此法有效避開(kāi)了直線斜率是否存在的討論,優(yōu)化了整個(gè)計(jì)算過(guò)程,較之視角3的解法,解題過(guò)程更加簡(jiǎn)潔明了.

點(diǎn)評(píng):本題的解法靈活多變,從不同視角、不同高度入手均可得到解題的思路.其中,視角1運(yùn)算繁瑣,視角2要證明一般性,視角3要討論斜率存在與否,視角4不易想到“反”表示直線,視角5斜率形式難配湊.五個(gè)視角,五種解法,各有千秋.

在學(xué)習(xí)中體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸轉(zhuǎn)化(特殊到一般)多種數(shù)學(xué)思想的交替使用,合理選擇直線的表示形式.學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中要獨(dú)立思考、嘗試解答,重視思維訓(xùn)練,強(qiáng)化有效運(yùn)算,通過(guò)相互交流、展示解法、提煉總結(jié),認(rèn)清各種方法的優(yōu)劣,掌握解決此類問(wèn)題的通解通法.

3 變式探究

本題若僅限于解法的研究,則有點(diǎn)淺嘗輒止.波利亞曾說(shuō)過(guò):“觀察可能導(dǎo)致發(fā)現(xiàn),觀察將揭示某種規(guī)律、模式、定理.”進(jìn)一步觀察探究例題,可得到一系列變式訓(xùn)練來(lái)鞏固研究成果.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是理性思維,需要在已知條件和所求目標(biāo)之間搭建解決問(wèn)題的橋梁,而數(shù)學(xué)思想方法提供了解決問(wèn)題的具體路徑.在教學(xué)中要鼓勵(lì)學(xué)生從不同的角度進(jìn)行探索求知,并將所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法有效地串聯(lián)起來(lái),分析和解決問(wèn)題.

3.1 由一點(diǎn)引直線變?yōu)橛蓛牲c(diǎn)引直線

3.2 條件和結(jié)論互相置換

3.3 將由定點(diǎn)引直線改為過(guò)橢圓外一動(dòng)點(diǎn)引直線

4 教學(xué)啟示

原試題將直線和橢圓有機(jī)結(jié)合,題干簡(jiǎn)潔,構(gòu)思巧妙,既考查了橢圓方程的基礎(chǔ)知識(shí),又考查了區(qū)分度極高的定點(diǎn)、定值問(wèn)題,是解析幾何中的?？碱}型.新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)“四基”,即學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),能獲得未來(lái)發(fā)展所需要的基礎(chǔ)知識(shí)、技能、思想及基本生活經(jīng)驗(yàn).這就要求教師在教書育人過(guò)程中立足基礎(chǔ).類似第(1)問(wèn)在訓(xùn)練中要做到又快又準(zhǔn),但同時(shí)又要適應(yīng)高校選拔人才的需求,因而對(duì)一些重要題型要深挖其內(nèi)涵與外延.高考題源于課本但又高于課本,絕大多數(shù)題目是由課本中的典型例題或習(xí)題演繹而來(lái).解決問(wèn)題時(shí)要求學(xué)生能抽絲剝繭,識(shí)得廬山真面目.隨著“雙減”政策的普遍實(shí)施,如何在有效的時(shí)間內(nèi)使教學(xué)效益最大化,是當(dāng)下教師應(yīng)當(dāng)思考并解決的問(wèn)題.筆者常年耕耘高中教學(xué)一線,發(fā)現(xiàn)仍有少數(shù)教師熱衷于“題海戰(zhàn)術(shù)”,搞得學(xué)生疲乏勞累,苦不堪言.這種“高投入、高污染、低產(chǎn)出”的發(fā)展模式,對(duì)學(xué)生成長(zhǎng)產(chǎn)生的破壞性影響往往是不可逆的.我們要著力提倡圍繞典型例題進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)和強(qiáng)化訓(xùn)練,總結(jié)闡述深刻的數(shù)學(xué)思想方法,在理解的基礎(chǔ)上讓學(xué)生思維活絡(luò)起來(lái),培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的敏銳直覺(jué),學(xué)會(huì)分析與解決問(wèn)題,而不是一味“刷題”.