基于滑動窗鄰域保留投影的工作模態(tài)分析

符偉華,王 成,2+,陳建偉

(1.華僑大學(xué) 計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,福建 廈門 361021;2.西安交通大學(xué) 機械結(jié)構(gòu)強度與振動國家重點實驗室,陜西 西安 710049;3.圣地亞哥州立大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,圣地亞哥加州 美國 92182)

0 引言

工作模態(tài)分析可僅利用結(jié)構(gòu)輸出的振動位移響應(yīng)信號識別結(jié)構(gòu)的工作模態(tài)參數(shù)(模態(tài)振型、固有頻率和阻尼比)[1],進而應(yīng)用于結(jié)構(gòu)損傷檢測[2]、結(jié)構(gòu)設(shè)計[3]等。

流形學(xué)習(xí)[4](manifold learning)從首次被提出至今都是計算機研究熱點之一。流形學(xué)習(xí)的目的是找到數(shù)據(jù)在高維空間中的低維嵌入和相應(yīng)的嵌入映射[5]。常見的流形學(xué)習(xí)算法有主成分分析(Principal Component Analysis,PCA)[6]、等距離映射(Isomap)[7]、局部線性嵌入(Locally-Linear Embedding,LLE)算法[8]等。

目前,為識別時不變結(jié)構(gòu)的工作模態(tài)參數(shù),王成等[9-10]提出利用PCA和Isomap算法識別結(jié)構(gòu)的工作模態(tài)參數(shù)。白俊卿等[11]利用LLE算法識別出復(fù)雜三維連續(xù)體結(jié)構(gòu)的工作模態(tài)參數(shù)。符偉華等[12-13]利用拉普拉斯特征映射(Laplacian Eigenmaps,LE)和鄰域保留投影(Neighborhood Preserving Embedding,NPE)算法識別結(jié)構(gòu)的工作模態(tài)參數(shù)。但現(xiàn)實中,大多數(shù)結(jié)構(gòu)具有時變的特性[14],故結(jié)構(gòu)的工作模態(tài)參數(shù)也具有時變特性。當(dāng)前,針對線性慢時變結(jié)構(gòu)的工作模態(tài)參數(shù)識別問題,主要有時域法和頻域法。ZHOU等[15]詳細(xì)分析并總結(jié)了這些方法的優(yōu)缺點。線性慢時變結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)信號往往無法一次性完整獲取,需要通過隨著時間的推移,不斷進行采樣得到。因此,基于“短時時不變”理論的滑動窗方法能很好應(yīng)用于線性慢時變結(jié)構(gòu)工作模態(tài)參數(shù)識別中。目前,滑動窗方法已應(yīng)用在一些算法上做線性慢時變結(jié)構(gòu)的工作模態(tài)參數(shù)識別。官威等[16-17]將滑動窗與主元分析相結(jié)合,有效地識別了多自由度系統(tǒng)的工作模態(tài)參數(shù)。黃海陽等[18]提出了基于滑動窗變步長等變自適應(yīng)源分離(Equivariant Adaptive Separation via Independence,EASI)算法識別了線性慢時變系統(tǒng)的工作模態(tài)參數(shù)。

為提高線性慢時變結(jié)構(gòu)工作模態(tài)參數(shù)的識別精度,本文提出將滑動窗技術(shù)(Moving Window,MW)[19]與NPE算法[20]相結(jié)合,提出了一種基于MWNPE的線性慢時變結(jié)構(gòu)工作模態(tài)參數(shù)識別方法?；瑒哟凹夹g(shù)能追蹤慢時變結(jié)構(gòu)的時變特性,NPE算法在降維過程中,能保持原始數(shù)據(jù)集的局部線性特性,這與工作模態(tài)參數(shù)的數(shù)據(jù)內(nèi)部的特征關(guān)系高度相似,從而有效識別線性慢時變結(jié)構(gòu)的工作模態(tài)參數(shù)(模態(tài)振型、固有頻率和阻尼比)。

1 相關(guān)工作

1.1 線性慢時變工作模態(tài)參數(shù)識別問題描述

根據(jù)結(jié)構(gòu)的動力學(xué)理論,在時長為t∈[TBEGIN,TEND]內(nèi),n自由度線性慢時變結(jié)構(gòu)在物理坐標(biāo)系統(tǒng)中的運動方程為：

(1)

式中：M(t)∈n×n為慢時變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣,C(t)∈n×n為慢時變結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣,K(t)∈n×n為慢時變結(jié)構(gòu)的剛度矩陣;n×T依次為慢時變結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)信號、速度響應(yīng)信號與加速度信號的時域采樣矩陣;F(t)∈n×T為慢時變結(jié)構(gòu)的外載荷激勵向量的時域采樣矩陣。

依據(jù)時間凍結(jié)理論,線性慢時變的離散多自由度系統(tǒng)在極小的時間段τ∈[tbegin,tend]內(nèi),其質(zhì)量、阻比與剛度可被視為時不變的。因此,式(1)在完整的時長t∈[TBEGIN,TEND]內(nèi),可表示為一組由有限個線性時不變結(jié)構(gòu)N′(τ)(τ∈[tbegin,tend])構(gòu)成的集合N′,

(2)

(3)

(4)

(5)

1.2 基于鄰域保留投影的工作模態(tài)參數(shù)識別

X(t)MXT(t)a=λX(t)XT(t)a;

(6)

B?X(t)ST(t)(S(t)ST(t))-1;

(7)

(8)

在式(6)中,矩陣M為半正定的對稱矩陣,NPE算法更為詳細(xì)的降維過程可參考文獻(xiàn)[20]。對比式(3)與式(8)可知,X(t)∈n×L的低維嵌入S(t)與模態(tài)響應(yīng)相對應(yīng),轉(zhuǎn)換矩陣B與模態(tài)振型相對應(yīng)。如圖1所示為NPE算法與識別工作模態(tài)參數(shù)的對應(yīng)關(guān)系。

圖1 基于NPE算法的工作模態(tài)參數(shù)識別原理圖

1.3 滑動窗口技術(shù)

滑動窗口技術(shù)(MW)是基于時間凍結(jié)理論,將在每個窗口內(nèi)的非平穩(wěn)時變信號視為時不變的平穩(wěn)信號,從而對該窗口(時間段)內(nèi)的振動響應(yīng)信號運用識別時不變工作模態(tài)參數(shù)的方法,識別出該窗口的瞬時工作模態(tài)參數(shù)。在識別完該窗口的工作模態(tài)參數(shù)后,固定長的窗口向右移,刪除窗口內(nèi)部分舊數(shù)據(jù)并增加新的數(shù)據(jù)項,形成下一窗口(時間段)的振動響應(yīng)數(shù)據(jù),如圖2所示為滑動窗口移動的過程。

圖2 固定窗長滑動窗口滑動過程

1.4 基于MWNPE算法的線性慢時變結(jié)構(gòu)工作模態(tài)參數(shù)識別

圖3 MWNPE識別線性慢時變結(jié)構(gòu)工作模態(tài)參數(shù)的流程圖

1.5 方法的適用范圍和理論分析比較

本文提出的基于NPE線性時不變工作模態(tài)參數(shù)識別適用范圍和理論分析比較如下：

(1)振動響應(yīng)傳感器的布置個數(shù)要不小于可識別的階數(shù);

(2)結(jié)構(gòu)的外界激勵向量應(yīng)能視為是平穩(wěn)的高斯白噪聲;

(3)結(jié)構(gòu)是線性慢時變的;

(4)本文主要將基于MWPCA、MWEASI[18]線性慢時變結(jié)構(gòu)的工作模態(tài)參數(shù)識別方法進行比較。NPE算法相比線性的PCA算法,NPE算法是通過保留數(shù)據(jù)局部線性特征完成對全局特征的構(gòu)造,有助于識別出PCA不能識別的非線性特征模態(tài)。相比MWEASI方法,MWNPE方法的跟蹤時變能力更強,精度更高,且缺失模態(tài)現(xiàn)象更少。因此,基于MWPCA、MWEASI與MWNPE三種方法識別線性慢時變結(jié)構(gòu)的工作模態(tài)參數(shù)的對比如表1所示。

表1 基于MWNPE、MWPCA和MWEASI線性慢時變結(jié)構(gòu)的工作模態(tài)參數(shù)識別方法比較

1.6 參數(shù)設(shè)置

在仿真驗證中,固定窗口長度L設(shè)置為1 024,NPE算法使用的K近鄰算法的K=40。

2 仿真驗證與結(jié)果分析

2.1 仿真對象和數(shù)據(jù)集介紹

本文通過設(shè)計一個線性質(zhì)量慢時變的三自由度彈簧振子結(jié)構(gòu)對MWNPE算法的有效性進行驗證。結(jié)構(gòu)模型如圖4所示。

圖4 線性質(zhì)量慢時變的三自由度彈簧振子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)激勵模擬圖

結(jié)構(gòu)動力方程如式(9)所示。結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：3個物體的阻尼比c1=c2=c3=0.01 N·s/m,剛度k1=k2=k3=1 000 N/m,初始位移皆為0,除此之外,物體的質(zhì)量m2=m3=1 kg,物體m1的質(zhì)量是慢時變的,變化規(guī)律如式(10)所示。

(9)

(10)

高斯白噪聲激勵是一種在頻域內(nèi)為平譜的平穩(wěn)隨機激勵。對于無阻尼和小阻尼線性時不變結(jié)構(gòu),通過施加高斯白噪聲激勵所得到的振動響應(yīng)主要由結(jié)構(gòu)在各固有頻率下的振動響應(yīng)組成,所得的頻率是結(jié)構(gòu)的固有頻率[22]。F(t)為高斯白噪聲,施加在物體m1上,且因為在前50 s物體m1的質(zhì)量是恒值,所以前50 s為線性時不變結(jié)構(gòu)。在50 s后,物體m1的質(zhì)量隨時間而變化,結(jié)構(gòu)變?yōu)榫€性慢時變結(jié)構(gòu)。仿真的采樣時間間隔為0.025 s,采樣頻率設(shè)置為40 Hz,系統(tǒng)在MATLAB/Simulink的模型設(shè)計如圖5所示。三自由度的彈簧振子數(shù)據(jù)集X(t)如圖6所示,采樣時長為2 000 s,因此最終得到的數(shù)據(jù)集X(t)∈3×80 001,即n=3,T=80 001。結(jié)構(gòu)的理論固有頻率如圖7所示。

圖5 Simulink質(zhì)量線性慢時變?nèi)杂啥鹊膹椈烧褡酉到y(tǒng)仿真模型圖

圖6 高斯白噪聲和3個物體位移響應(yīng)信號圖

圖7 三自由彈簧振子結(jié)構(gòu)的三階理論固有頻率隨時間變化圖

2.2 評價指標(biāo)

為評價MWNPE算法識別線性慢時變?nèi)杂啥?3 Degrees of Freedom,3-DDF)結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的精度,本文用MWNPE算法識別到的模態(tài)參數(shù)與有限元方法分析識別到的模態(tài)參數(shù)作為理論值進行比較。

本文將使用模態(tài)置信度準(zhǔn)則(Model Assurance Criterion,MACi-avg)來評估MWNPE算法識別到的第i階模態(tài)振型平均準(zhǔn)確度[23],MACi-avg的具體定義如下：

(11)

式中：m為窗口總個數(shù),φij是MWNPE算法識別得到的第i階第j個窗口模態(tài)振型,ψij是真實的第i階第j個窗口模態(tài)振型。由式(11)可知模態(tài)置信度準(zhǔn)則的取值范圍是0≤MACi-avg≤1,當(dāng)MACi-avg的值越接近1時,說明MWNPE識別第i階的模態(tài)振型精度越高。

誤差率(δi-avg)將用于評價識別第i階固有頻率的平均準(zhǔn)確性,

(12)

式中：m為窗口總個數(shù),fij為MWNPE算法識別得到的第i階第j個窗口固有頻率,fij-理論為真實的第i階第j個窗口固有頻率。由式(12)可知,當(dāng)δi-avg的值越接近0時,說明MWNPE識別第i階的固有頻率精度越高。

2.3 工作模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果

在線性慢時變結(jié)構(gòu)中,結(jié)構(gòu)的工作模態(tài)參數(shù)隨時變化。在質(zhì)量慢時變?nèi)杂啥冉Y(jié)構(gòu)(3-DOF)中,本文選取了t=100 s、t=650 s、t=1 650 s、t=1 974.375 s四個時刻進行描述。如表2所示為4個時刻的瞬時MAC值,如圖8所示為4個時刻的模態(tài)振型與理論值比較圖。如圖9所示為MWNPE算法識別的三階固有頻率變化圖。如圖10所示為MWNPE識別的三階模態(tài)振型的MACi-avg值變化圖。在結(jié)構(gòu)工作模態(tài)參數(shù)辨識過程中,部分窗(時刻)的模態(tài)參數(shù)未能識別,如表3所示為MWNPE、MWEASI和MWPCA之間未識別窗口的數(shù)量。如表4所示為MWNPE、MWEASI和MWPCA識別的模態(tài)振型置信度值MACi-avg。

表2 質(zhì)量慢時變3-DOF結(jié)構(gòu)中t=100 s、t=650 s、t=1 650 s、t= 1 974.375 s四個時刻的MAC值

表3 MWNPE、MWPCA和MWEASI未識別質(zhì)量慢時變3-DOF結(jié)構(gòu)的窗口數(shù)量

表4 MWNPE、MWPCA和MWEASI識別質(zhì)量慢時變3-DOF結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型MACi-avg比較

圖8 MWNPE識別質(zhì)量慢時變3-DOF結(jié)構(gòu)(t=100 s、t=650 s、t=1 650 s和t= 1 974.375 s)的模態(tài)振型

圖9 MWNPE算法識別的三階固有頻率變化圖

圖10 MWNPE識別的三階模態(tài)振型的MACi-avg值變化圖

為進一步驗證MWNPE算法的識別線性慢時變結(jié)構(gòu)的有效性,本文在線性三自由度結(jié)構(gòu)的振動位移響應(yīng)信號中加入10%的高斯白噪聲,再識別結(jié)構(gòu)的工作模態(tài)參數(shù)。在含有10%高斯白噪聲的質(zhì)量慢時變?nèi)杂啥冉Y(jié)構(gòu)中,同樣選取了t=100 s、t=650 s、t=1 650 s、t=1 974.375 s四個時刻進行描述。表5給出了這4個時刻的瞬時MAC值。如圖11所示為MWNPE算法識別的三階固有頻率變化圖。如圖12所示為MWNPE識別的三階模態(tài)振型的MACi-avg值變化圖。如表6所示為MWNPE識別加入10%高斯白噪聲結(jié)構(gòu)的固有頻率平均誤差。在結(jié)構(gòu)工作模態(tài)參數(shù)辨識過程中,如表7所示為MWNPE識別加入10%高斯白噪聲結(jié)構(gòu)的未識別窗口數(shù)量。如表8所示為MWNPE識別加入10%高斯白噪聲結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型置信度值MACi-avg。

表5 帶10%高斯白噪聲的慢時變3-DOF結(jié)構(gòu)中t=100 s、t=650 s、t=1 650 s、t= 1 974.375 s四個時刻的MAC值

表6 MWNPE質(zhì)量慢時變3-DOF結(jié)構(gòu)的固有頻率平均誤差

表7 MWNPE未識別質(zhì)量慢時變3-DOF結(jié)構(gòu)的窗口數(shù)量

表8 MWNPE識別質(zhì)量慢時變3-DOF結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型MACi-avg

圖11 MWNPE算法識別帶10%高斯白噪聲慢時變3-DOF結(jié)構(gòu)的三階固有頻率變化圖

圖12 MWNPE識別帶10%高斯白噪聲慢時變3-DOF結(jié)構(gòu)的三階模態(tài)振型的MACi-avg值變化圖

2.4 工作模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果分析

(1)由表3～表4,圖8～圖10可知,MWNPE算法能高精度地識別出線性質(zhì)量慢時變?nèi)杂蓮椈烧褡咏Y(jié)構(gòu)的工作模態(tài)參數(shù),并且很好地追蹤結(jié)構(gòu)的工作模態(tài)參數(shù)隨時間變化的過程。

(2)由表3可知,MWNPE方法在各階的未識別窗口總數(shù)都低于MWPCA方法,且大幅低于MWEASI方法,說明MWNPE算法存在更少的模態(tài)缺失問題,故基于MWNPE方法識別線性慢時變結(jié)構(gòu)的工作模態(tài)參數(shù)過程中更加穩(wěn)定。

(3)由表4可知,MWNPE方法相比MWPCA方法,第二、三階的模態(tài)振型識別精度分別提升了0.17%、1.12%,整體提升0.40%。MWNPE方法相比不基于流形學(xué)習(xí)的MWEASI方法,第一、二、三階的模態(tài)振型識別精度分別提升了41.66%、45.20%、44.61%,整體提升43.72%,這說明MWNPE方法優(yōu)于MWPCA與MWEASI方法。

(4)由表5～表8、圖11～圖12可知,MWNPE算法能有效識別帶有噪聲的線性慢時變結(jié)構(gòu)的工作模態(tài)參數(shù),說明MWNPE方法的魯棒性較強。

3 結(jié)束語

本文提出一種僅用振動響應(yīng)信號識別線性慢時變結(jié)構(gòu)的工作模態(tài)參數(shù)的方法。實驗結(jié)果表明,NPE算法能夠?qū)r不變結(jié)構(gòu)進行模態(tài)分析,識別精度高?；瑒哟凹夹g(shù)可以將時變結(jié)構(gòu)離散為有限個時不變結(jié)構(gòu),然后利用NPE算法識別有限個時不變結(jié)構(gòu)的工作模態(tài)參數(shù)。因此,本文提出利用MWNPE算法識別線性慢時變結(jié)構(gòu)的工作模態(tài)參數(shù)的創(chuàng)新點在于將滑動窗技術(shù)和鄰域保留投影算法識別線性慢時變結(jié)構(gòu)的工作模態(tài)參數(shù),并與MWPCA、MWEASI方法進行了比較。仿真驗證結(jié)果表明,MWNPE能有效識別線性慢時變結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù),且相比MWPCA與MWEASI方法,識別線性慢時變結(jié)構(gòu)工作模態(tài)參數(shù)精度更高,模態(tài)缺失個數(shù)更少。

在未來工作中,可通過測量實際結(jié)構(gòu)的位移振動響應(yīng)數(shù)據(jù)進一步驗證該算法的有效性。除此之外,如何利用非平穩(wěn)振動響應(yīng)信號自適應(yīng)地確定和改變移動窗的固定長度尚未得到完全解決。