單滾柱包絡(luò)端面蝸桿傳動效率建模及分析

吳洪東

(廣州市機(jī)電技師學(xué)院，廣東廣州 510430)

0 前言

蝸桿傳動是在空間交錯的兩軸間傳遞運(yùn)動和動力的一種傳動機(jī)構(gòu)，具有傳動比大、結(jié)構(gòu)緊湊、傳動平穩(wěn)等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于機(jī)床、儀器、起重運(yùn)輸機(jī)及建筑機(jī)械中。然而與齒輪傳動等方式相比，蝸桿傳動存在傳動效率低的缺點(diǎn)。對此，諸多學(xué)者針對如何提高蝸桿傳動效率展開了研究，提出了一系列具有活動齒包絡(luò)蝸桿傳動形式[1-5]。這種傳動方式主要通過蝸輪活動齒的自身旋轉(zhuǎn)，將常規(guī)蝸桿傳動的滑動摩擦轉(zhuǎn)變?yōu)闈L動摩擦，以減少滑動摩擦損失，提高傳動效率。單滾柱包絡(luò)端面蝸桿傳動就是一種活動齒包絡(luò)蝸桿傳動方式[6]，端面嚙合蝸桿齒面是由以滾子齒面為母面包絡(luò)展成。許多學(xué)者對單滾柱包絡(luò)端面蝸桿傳動的嚙合理論、模型創(chuàng)建、自轉(zhuǎn)特性、瞬態(tài)動力、彈流潤滑、閃溫特性、設(shè)計加工等進(jìn)行了大量研究[7-11]。本文作者在嚙合理論基礎(chǔ)上，以傳動效率為研究對象，建立單滾柱包絡(luò)端面蝸桿數(shù)學(xué)模型，分析影響傳動效率的主要因素，通過仿真進(jìn)行優(yōu)化計算。

1 單滾柱包絡(luò)端面蝸桿傳動建模

單滾柱包絡(luò)端面蝸桿傳動三維模型如圖1所示，包括端面蝸桿和滾柱式蝸輪兩部分。

圖1 單滾柱包絡(luò)端面蝸桿傳動三維模型

蝸輪結(jié)構(gòu)如圖2所示，滾柱均勻地分布在蝸輪盤端面上，滾柱可以繞自身中心軸轉(zhuǎn)動。該結(jié)構(gòu)能使蝸輪與蝸桿接觸面積增大，接觸更加穩(wěn)定，安裝方便且安裝精度高。

圖2 蝸輪結(jié)構(gòu)示意

1.1 嚙合點(diǎn)受力分析

設(shè)某一瞬間，在嚙合點(diǎn)p處，蝸桿齒面、蝸輪齒面的法向力分別為Fn1、Fn2，切向力分別為Ft1、Ft2，軸向力分別為Fa1、Fa2，如圖3所示。

圖3 蝸桿(a)、輪齒(b)在嚙合點(diǎn)的受力簡圖

由嚙合理論可知，在嚙合點(diǎn)p處，蝸桿齒面、蝸輪齒面的相對速度矢量v12的公法向分量為零。由摩擦力的產(chǎn)生原理——源于兩接觸面或兩接觸點(diǎn)的相對運(yùn)動或相對運(yùn)動趨勢推導(dǎo)可知，在嚙合點(diǎn)p處，蝸桿齒面、蝸輪齒面的摩擦力公法向分量為零。因此，摩擦力僅存在于兩共軛齒面公切面內(nèi)，即蝸輪、輪齒是在切向力的作用下繞自身軸線轉(zhuǎn)動的。

由以上可知，輪齒在切向力Ft2的作用下繞自身軸線轉(zhuǎn)動，并將此方向的滑動轉(zhuǎn)變?yōu)闈L動。設(shè)滾動摩擦因數(shù)與滑動摩擦因數(shù)比值為fg，則對輪齒傳動效率起影響的作用力為Fn2、Fa2、fgFt2，其合力為

F2=Fn2+Fa2+fgFt2

(1)

由力的平衡條件易知，對蝸桿傳動效率起影響的作用力為Fn1、Fa1、fgFt1，其合力為

F1=Fn1+Fa1+fgFt1

(2)

由平衡條件易得：

F2=-F1

(3)

式中：負(fù)號僅表示兩者方向相反。

設(shè)滑動摩擦因數(shù)為f，則蝸輪齒面、蝸桿齒面在嚙合點(diǎn)p處的摩擦力分別為

Ff1=Fn1f

(4)

Ff2=Fn2f

(5)

其中Ff1、Ff2與嚙合點(diǎn)p處的相對速度矢量v12方向分別為相反和相同，則有：

(6)

(7)

式中：α1、α2分別為Ft1與Ff1、Ft2與Ff2的夾角，易知α1=α2。

(8)

式中：A為傳動副中心距；R為蝸輪輪齒(滾柱)半徑；θ、u為輪齒參數(shù)；i21為傳動副傳動比；φ2為蝸輪轉(zhuǎn)角；k、z2分別為傳動副喉頸系數(shù)和蝸輪齒數(shù)；中間變量a2=A(2-k)(8-5z2)/(10z2)。

由上可知，對蝸輪齒面、蝸桿齒面在嚙合點(diǎn)p處的摩擦力產(chǎn)生影響的主要因素有滑動摩擦因數(shù)f、喉頸系數(shù)k、蝸輪輪齒(滾柱)半徑R、蝸輪齒數(shù)z2及傳動副中心距A等。

1.2 傳動效率求解模型

在活動坐標(biāo)系中，設(shè)蝸桿、蝸輪在嚙合點(diǎn)p處的速度矢量分別為v1、v2，則蝸桿、蝸輪的功率Pw、Pg分別為

(9)

傳動副的瞬時傳動效率為

η=Pg/Pw

(10)

單滾柱包絡(luò)端面蝸桿傳動在嚙合點(diǎn)p處瞬時傳動效率為

(11)

式中：e1、e2、en分別為蝸輪輪齒活動坐標(biāo)系的基向量。

在嚙合點(diǎn)p處，傳動副的單齒瞬時傳動效率ηu為瞬時傳動效率η沿瞬時接觸線方向積分后的平均值，即

(12)

嚙合全齒高h(yuǎn)為

(13)

式中：hf、hfc分別為齒根高、齒根高系數(shù)，常規(guī)情況下兩者相等，且一般情況取1或0.8。

單齒平均傳動效率ηp為傳動副單齒瞬時傳動效率ηu沿時間方向或蝸輪轉(zhuǎn)角方向積分后的平均值，即

(14)

式中：φ20、φ2e分別為蝸輪轉(zhuǎn)角起始位置、終止位置。

傳動副多齒同時嚙合，設(shè)其同時嚙合的齒數(shù)為n(n為整數(shù))，其瞬時傳動效率ηi、平均傳動效率ηui分別為

(15)

(16)

式中：φ20i、φ2ei分別為第i齒蝸輪轉(zhuǎn)角起始點(diǎn)與終止點(diǎn)，且有：

(17)

式中：γ為齒距角，其值為360/z2；i值為1，2，3，…，n；φ201=-90-nγ/2。

2 單滾柱包絡(luò)端面蝸桿傳動效率分析

在計算多齒同時嚙合傳動效率時，將同時嚙合的多個蝸輪輪齒視為一個整體，如圖4所示。蝸輪結(jié)構(gòu)簡圖如圖5所示。假設(shè)同時嚙合的蝸輪輪齒數(shù)為4，則1—4號位置的蝸輪輪齒為一整體。當(dāng)1號位的輪齒轉(zhuǎn)動到2號位時，4號位的輪齒同時轉(zhuǎn)動到5位，完成一個嚙合周期，即齒距角γ為14.4°，φ2的取值范圍為[-118.8°,-104.4°]。運(yùn)動周期內(nèi)所計算得到的傳動效率即為傳動副傳動效率。

圖4 傳動副運(yùn)動簡圖

圖5 蝸輪結(jié)構(gòu)簡圖

假設(shè)單滾柱包絡(luò)端面蝸桿傳動副由同一種材料加工而成，蝸桿為單頭蝸桿，主要參數(shù)及參數(shù)值如表1所示。采取單一變量法分析某個參數(shù)值變動對傳動效率影響，其他參數(shù)值固定為表1中值。

2.1 蝸輪轉(zhuǎn)角

圖6為傳動副同時多齒嚙合平均傳動效率受蝸輪轉(zhuǎn)角φ2的影響曲線?？芍害莡n-φ2曲線近乎為直線，傳動副瞬時傳動效率從嚙入至嚙出逐漸增大。當(dāng)滑動摩擦因數(shù)f分別取0.05、0.10、0.15、0.2時，嚙出時的瞬時傳動效率比嚙入時分別增大了4.65%、7.63%、9.72%、11.27%?；瑒幽Σ烈驍?shù)f越大，平均傳動效率受蝸輪轉(zhuǎn)角φ2的影響就越大。同時可知，當(dāng)蝸輪轉(zhuǎn)角為恒定值時，滑動摩擦因數(shù)f越大，傳動副瞬時傳動效率越小。

圖6 蝸輪轉(zhuǎn)角對瞬時傳動效率的影響

2.2 滑動摩擦因數(shù)對傳動效率的影響

圖7為傳動副同時多齒嚙合平均傳動效率受滑動摩擦因數(shù)f的影響曲線。可知：在給定參數(shù)條件下，傳動副的平均傳動效率隨著滑動摩擦因數(shù)f的增大而減小。當(dāng)滑動摩擦因數(shù)f分別為0.05、0.10、0.15、0.2，傳動副的平均傳動效率分別為75.29%、60.53%、50.67%、43.59%?；瑒幽Σ烈驍?shù)f從0.05增大到0.2，平均傳動效率降低了31.7%。由此可知，單滾柱包絡(luò)端面蝸桿傳動的傳動效率受滑動摩擦因數(shù)影響較大。

圖7 滑動摩擦因數(shù)對平均傳動效率的影響

2.3 喉頸系數(shù)對傳動效率的影響

圖8為傳動副同時多齒嚙合平均傳動效率受喉頸系數(shù)k的影響曲線?？芍涸诮o定參數(shù)條件下，傳動副的平均傳動效率隨著喉頸系數(shù)k的增大而減小。當(dāng)滑動摩擦因數(shù)f分別取0.05、0.10、0.15、0.2，喉頸系數(shù)k從0.30增大到0.50，傳動副的平均傳動效率分別降低了3.09%、4.93%、6.18%、7.07%。由此可知，滑動摩擦因數(shù)f越大，平均傳動效率受喉徑系數(shù)k的影響就越大。

圖8 喉頸系數(shù)對平均傳動效率的影響

2.4 滾柱半徑對平均傳動效率的影響

圖9為傳動副同時多齒嚙合平均傳動效率受滾柱半徑R的影響曲線?？芍涸诮o定參數(shù)條件下，傳動副的平均傳動效率隨著滾柱半徑R增大而略有減小。當(dāng)滑動摩擦因數(shù)分別取0.05、0.10、0.15、0.2，滾柱半徑R從5 mm增大到10 mm，傳動副平均傳動效率分別降低了0.71%、1.14%、1.44%、1.66%。由此可知，滑動摩擦因數(shù)f越大，平均傳動效率受滾柱半徑R的影響就越大。

圖9 滾柱半徑對平均傳動效率的影響

2.5 蝸輪齒數(shù)對平均傳動效率的影響

圖10為傳動副同時多齒嚙合平均傳動效率受蝸輪齒數(shù)z2的影響曲線?？芍涸诮o定參數(shù)條件下，傳動副的平均傳動效率隨著蝸輪齒數(shù)z2的增大而減小。當(dāng)滑動摩擦因數(shù)分別取0.05、0.10、0.15、0.2，蝸輪齒數(shù)每增大1，傳動副平均傳動效率分別降低1.00%、1.61%、2.02%、2.33%。由此可知，滑動摩擦因數(shù)f越大，平均傳動效率受蝸輪齒數(shù)z2的影響就越大。

圖10 蝸輪齒數(shù)對平均傳動效率的影響

2.6 中心距對平均傳動效率的影響

圖11為傳動副同時多齒嚙合平均傳動效率受中心距A的影響曲線?？芍涸诮o定參數(shù)條件下，傳動副的平均傳動效率隨著中心距A的增大而略有增大。當(dāng)摩擦因數(shù)分別取0.05、0.10、0.15、0.2，中心距A從160 mm增大到200 mm，傳動副平均傳動效率分別增大了0.28%、0.46%、0.58%、0.67%。由此可知，滑動摩擦因數(shù)f越小，中心距越大，平均傳動效率越高。

圖11 中心距對平均傳動效率的影響

綜上所述，單滾柱包絡(luò)端面蝸桿傳動效率隨著蝸輪轉(zhuǎn)角和中心距的增大而增大，隨著滑動摩擦因數(shù)、喉頸系數(shù)、滾柱半徑、蝸輪齒數(shù)的增大而減小，即蝸輪轉(zhuǎn)角和中心距越大，滑動摩擦因數(shù)、喉頸系數(shù)、滾柱半徑、蝸輪齒數(shù)越小，則傳動效率越高。

3 單滾柱包絡(luò)端面蝸桿傳動仿真優(yōu)化

3.1 建立優(yōu)化約束函數(shù)

建立如下目標(biāo)變量傳動效率ηpn與設(shè)計變量喉頸系數(shù)k、滾柱半徑R、蝸輪齒數(shù)z2、中心距A、齒頂高系數(shù)hfa、齒根高系數(shù)hfc、同時嚙合齒數(shù)n間的函數(shù)關(guān)系。

ηpn=g(k,R,z2,A,hfa,hfc,n)

(18)

為避免傳動副幾何結(jié)構(gòu)出現(xiàn)畸變，如蝸桿齒形變尖，同時滿足傳動副安裝空間尺寸條件及傳動平穩(wěn)性，各個幾何參數(shù)須滿足一定的約束條件。在此各幾何參數(shù)的約束范圍設(shè)定為

(19)

(20)

式中：cc為齒頂隙系數(shù)，取0.2或0.25，在此取0.2；s1、s2為中間變量。

對滾柱包絡(luò)端面嚙合蝸桿傳動而言，其結(jié)構(gòu)優(yōu)化以傳動效率最大化為優(yōu)化目標(biāo)。其約束函數(shù)為

(21)

3.2 仿真優(yōu)化計算

基于表1中的幾何參數(shù)，由式(17)計算得到傳動效率值為83.2%，略高于常規(guī)蝸桿傳動的傳動效率。借助MATLAB，以傳動效率倒數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)，進(jìn)行優(yōu)化計算，其中表2的傳動效率分別為采用MATLAB優(yōu)化工具箱自帶的“fmincon”優(yōu)化指令和遺傳優(yōu)化算法模塊優(yōu)化運(yùn)行后的結(jié)果。

表2 優(yōu)化后的傳動效率

由表2可知，當(dāng)n為4時，對其他參數(shù)值進(jìn)行適當(dāng)處理，得到最優(yōu)解與最優(yōu)值，分別為k=0.36，R=8.19 mm，A=179.7 mm，hfa=0.92，hfc=0.91，ηpn=86.4%，較采用表1中參數(shù)值，傳動效率提高了3.2%。

4 結(jié)論

基于單滾柱包絡(luò)端面蝸桿傳動理論，建立了傳動效率數(shù)學(xué)計算模型，計算了傳動副同時多齒嚙合情況下的瞬時傳動效率及平均傳動效率，分析了摩擦因數(shù)、喉頸系數(shù)、滾柱半徑、蝸輪齒數(shù)及中心距等參數(shù)對傳動副平均傳動效率的影響，并以傳動效率為優(yōu)化目標(biāo)采用MATLAB優(yōu)化運(yùn)行計算。研究結(jié)果顯示：

(1)單滾柱包絡(luò)端面蝸桿平均傳動效率與摩擦因數(shù)、喉頸系數(shù)、滾柱半徑、蝸輪齒數(shù)呈負(fù)相關(guān)，與中心距呈正相關(guān)；

(2)摩擦因數(shù)對傳動副平均傳動效率影響最大，傳動副主要幾何參數(shù)中蝸輪齒數(shù)對傳動副平均傳動效率影響最大，中心距對傳動副平均動效率影響最小。

(3)遺傳算法與指令“fmincon”所代表的算法優(yōu)化結(jié)果相近，且結(jié)構(gòu)優(yōu)化之后傳動效率提升了3.2%。

(4)為了得到單滾柱包絡(luò)端面蝸桿傳動較高的傳動效率，除需要精加工外，還應(yīng)注意在確定中心距的情況下，喉頸系數(shù)、滾柱半徑、蝸輪齒數(shù)不宜過大。