基于隱馬爾科夫模型的非球面磨床誤差建模與補(bǔ)償分析

劉殊男，楊柳

(1.長(zhǎng)春科技學(xué)院智能制造學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130600；2.長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)人文信息學(xué)院汽車(chē)工程學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130122)

0 前言

光學(xué)非球面在加工過(guò)程中，無(wú)論精磨或是拋光，其表面均會(huì)殘留一定程度的環(huán)帶波紋誤差，如何解決非球面光學(xué)加工表面環(huán)帶波紋誤差已成為當(dāng)前光學(xué)加工領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問(wèn)題[1-2]。由于光學(xué)非球面相比于光學(xué)球面具有無(wú)法比擬的優(yōu)越性，所以提出有效方法降低甚至消除光學(xué)非球面加工中表面殘留的環(huán)帶誤差，具有一定的工程意義，也可以使光學(xué)非球面元件的應(yīng)用范圍得到進(jìn)一步拓展[3-4]。

針對(duì)光學(xué)非球面在加工中表面殘留的環(huán)帶波紋問(wèn)題，提出數(shù)控切線回轉(zhuǎn)成形原理[5-6]，輔以模式識(shí)別領(lǐng)域中的隱馬爾科夫模型進(jìn)行加工補(bǔ)償，可以有效提升非球面加工質(zhì)量。

1 加工原理

如圖1所示，L為被加工非球面曲線，m為磨輪，在磨削過(guò)程中，磨削點(diǎn)Pi同時(shí)進(jìn)行3種運(yùn)動(dòng)：橫向進(jìn)給、縱向進(jìn)給和回轉(zhuǎn)擺動(dòng)，使磨輪與被加工曲線一直保持相切，可形成近似理想光滑的連續(xù)運(yùn)動(dòng)曲線，且得到的是沒(méi)有波紋誤差的非球面面型曲線。

圖1 切線回轉(zhuǎn)成形示意

為驗(yàn)證加工原理，自主研發(fā)了“非球面磨削拋光機(jī)床”，原理樣機(jī)如圖2所示，其采用速度插補(bǔ)方法進(jìn)行非球面成形加工。

圖2 原理樣機(jī)

2 速度插補(bǔ)數(shù)學(xué)解析

速度插補(bǔ)以傳統(tǒng)插補(bǔ)為基礎(chǔ)，對(duì)被加工曲線以固定步長(zhǎng)分割，通過(guò)數(shù)學(xué)建?？色@得節(jié)點(diǎn)進(jìn)給速度及加速度，具體數(shù)模如下：

將被加工曲線方程進(jìn)行固定步長(zhǎng)分割，可得到橫、縱軸位移時(shí)間映射函數(shù)，如方程組(1)所示：

(1)

假設(shè)Δti為任意步長(zhǎng)進(jìn)給時(shí)間，直接解算縱軸進(jìn)給速度vyi=Δyi/Δti，間接解算橫軸任意步長(zhǎng)進(jìn)給速度及加速度，其中進(jìn)給起點(diǎn)速度為vx0=0。

第1分割段：

(2)

vx1=ax1Δt1

(3)

第2分割段：

(4)

vx2=vx1+ax2Δt2

(5)

第3分割段：

(6)

vx3=vx2+ax3Δt3

(7)

第i分割段：

(8)

vξi=vξ(i-1)+aξiΔti

(9)

第n分割段：

(10)

vxn=vx(n-1)+axnΔtn

(11)

方程(1)—(11)中：vyi為縱軸第i分割段平均速度；ai為橫軸第i分割段加速度；ti為第i分割段進(jìn)給時(shí)間。

3 隱馬爾科夫模型

由于數(shù)控切線回轉(zhuǎn)成形原理的特殊插補(bǔ)形式，傳統(tǒng)的誤差補(bǔ)償技術(shù)(檢測(cè)誤差再補(bǔ)償)已不滿足速度插補(bǔ)的時(shí)基需求，因此，結(jié)合模式識(shí)別中的隱馬爾科夫模型建立速度插補(bǔ)前瞻預(yù)測(cè)模型，可實(shí)現(xiàn)數(shù)控切線回轉(zhuǎn)成形的精密補(bǔ)償。

3.1 HMM組成

20世紀(jì)70年代，隱馬爾可夫模型(Hidden Markov Model，HMM)首次問(wèn)世[7-8]，并逐漸得到發(fā)展，目前已廣泛應(yīng)用于面相識(shí)別[9]、語(yǔ)音處理[10]、車(chē)輛檢測(cè)[11]和車(chē)輛跟蹤[12]領(lǐng)域。HMM是一種用于統(tǒng)計(jì)隨機(jī)特性的概率模型，可用5項(xiàng)基本元素對(duì)其進(jìn)行描述，如表1所示。

表1 HMM基本元素

如表1所示，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣A可用式(12)表示，具體為：T時(shí)刻，狀態(tài)Si在T+1時(shí)刻的概率；觀測(cè)概率矩陣B可用算式(13)表示，具體為：T時(shí)刻，觀測(cè)符號(hào)Vk的概率；初始狀態(tài)概率矩陣π可用算式(14)表示，具體為：T=1的初始時(shí)刻，狀態(tài)Sj的概率。

Aij=P(AT+1=Sj|QT=Si) 1≤i,j≤N

(12)

Bj(k)=P(Vk|QT=Sj) 1≤k≤M,1≤j≤N

(13)

πj=P(Q1=Sj) 1≤j≤N

(14)

3.2 前瞻誤差預(yù)測(cè)

以過(guò)往和當(dāng)前誤差數(shù)據(jù)為樣本對(duì)HMM進(jìn)行有效訓(xùn)練，確定HMM五項(xiàng)基本元素，完成速度插補(bǔ)前瞻預(yù)測(cè)。具體實(shí)施如下：

(1)數(shù)據(jù)離散化處理

利用閾值T1對(duì)檢測(cè)誤差進(jìn)行狀態(tài)分類：較高、正常、較低；利用閾值T2對(duì)檢測(cè)誤差狀態(tài)進(jìn)行觀測(cè)n分類。

(2)參數(shù)估計(jì)

建立曲線N個(gè)分割段的不同HMM，應(yīng)用MATLAB軟件，有效評(píng)估狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣A和觀測(cè)概率矩陣B，構(gòu)建N個(gè)HMM。

(3)誤差預(yù)測(cè)

根據(jù)過(guò)往分割點(diǎn)檢測(cè)誤差、當(dāng)前分割點(diǎn)檢測(cè)誤差和HMM，對(duì)下一刀次分割點(diǎn)誤差進(jìn)行前瞻預(yù)測(cè)，得到誤差估計(jì)值E，如式(15)所示：

(15)

(4)誤差補(bǔ)償

應(yīng)用式(15)解算得到誤差預(yù)測(cè)值，實(shí)施誤差前瞻補(bǔ)償，得到補(bǔ)償運(yùn)動(dòng)參數(shù)，如式(16)所示：

Δ′=Δ+Ei

(16)

4 誤差補(bǔ)償建模

以實(shí)際加工進(jìn)刀50、100次誤差數(shù)據(jù)為訓(xùn)練樣本，構(gòu)建HMM補(bǔ)償模型，檢測(cè)誤差E范圍為(-20，20)脈沖；狀態(tài)數(shù)N取3，較高、正常、較低；每個(gè)狀態(tài)觀測(cè)數(shù)M取9，初始狀態(tài)概率矩陣π取[1/3，1/3，1/3]，設(shè)置閾值T1=0.05，確定離散誤差狀態(tài)S如式(17)所示，實(shí)際觀測(cè)值O由式(18)得到

(17)

(18)

在誤差前瞻預(yù)測(cè)解算時(shí)，離散化誤差預(yù)測(cè)值還原離散值，采用式(15)進(jìn)行解算，參數(shù)Γ設(shè)置為[-18,-14,-10,-6,0,6,10,14,18]T。

5 實(shí)驗(yàn)分析

以原理樣機(jī)實(shí)際加工為例，非球面曲線方程如式(19)所示，面型參數(shù)如表2所示。

(19)

表2 非球面參數(shù)

將被加工曲線進(jìn)行15分割，以進(jìn)刀50、100次的檢測(cè)誤差ε1、ε2為訓(xùn)練樣本構(gòu)建HMM，以補(bǔ)償前1次檢測(cè)誤差ε0狀態(tài)觀測(cè)值解算當(dāng)前刀次誤差分布概率值，從而得到誤差預(yù)測(cè)期望值，對(duì)下一刀次誤差進(jìn)行前瞻補(bǔ)償。表3所示為補(bǔ)償前后誤差數(shù)據(jù)。

表3 誤差數(shù)據(jù)對(duì)比 單位：脈沖

由表3可知：補(bǔ)償后分割節(jié)點(diǎn)誤差數(shù)據(jù)得到顯著改善，ε1、ε2明顯變?。谎a(bǔ)償后誤差殘差數(shù)據(jù)方差下降至0.949 8，加工后工件表面光滑且無(wú)環(huán)帶波紋誤差；比較ε1、ε2，ε2方差更小、補(bǔ)償效果更優(yōu)，說(shuō)明模型訓(xùn)練樣本基數(shù)影響補(bǔ)償精度，與HMM基本理論相符，因此基于隱馬爾科夫模型的誤差補(bǔ)償技術(shù)行之有效。

6 總結(jié)

(1)經(jīng)文獻(xiàn)調(diào)研總結(jié)，環(huán)帶波紋是制約非球面光學(xué)元件廣泛應(yīng)用的主要問(wèn)題，采用數(shù)控切線回轉(zhuǎn)成形可以有效解決非球面加工中的環(huán)帶波紋；

(2)速度插補(bǔ)是實(shí)現(xiàn)數(shù)控切線回轉(zhuǎn)成形的關(guān)鍵?；跀?shù)學(xué)模型解析了速度插補(bǔ)的應(yīng)用過(guò)程，指出了針對(duì)速度插補(bǔ)實(shí)施補(bǔ)償存在的時(shí)基性問(wèn)題；

(3)結(jié)合模式識(shí)別領(lǐng)域的隱馬爾科夫模型構(gòu)建了適應(yīng)于速度插補(bǔ)原理的誤差補(bǔ)償模型，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：研究的誤差補(bǔ)償方法有效實(shí)施了速度插補(bǔ)補(bǔ)償，補(bǔ)償后的速度殘差滿足原理樣機(jī)的加工需求。