畫(huà)圖中理解和發(fā)現(xiàn) 反思中感悟和提升
——“畫(huà)思路”教學(xué)實(shí)踐與思考

文 |陳昱（特級(jí)教師） 徐芝英

“畫(huà)思路”是最早成型也是最常見(jiàn)的“數(shù)學(xué)畫(huà)”課型，是指在問(wèn)題解決教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生用畫(huà)圖的方式表征題意、思路，借助畫(huà)圖厘清數(shù)量關(guān)系，輔助分析和解決問(wèn)題的教學(xué)。這種運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和幾何直觀(guān)來(lái)輔助解決問(wèn)題的編排設(shè)計(jì)貫穿現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)各版教材。下面以五年級(jí)一個(gè)具體的問(wèn)題解決教學(xué)為例來(lái)談一談“畫(huà)思路”教學(xué)的實(shí)踐策略和方法。

一、從“畫(huà)題意”到“畫(huà)思路”

“畫(huà)思路”教學(xué)中，問(wèn)題的呈現(xiàn)方式多種多樣：情境圖展現(xiàn)、文字?jǐn)⑹?、圖文并茂、視頻展示、語(yǔ)音播報(bào)等；問(wèn)題的提出方式也是多樣的：直接給出條件和問(wèn)題、只給條件需要學(xué)生提出問(wèn)題、給較復(fù)雜的情境或背景以及問(wèn)題需要學(xué)生找條件、給較復(fù)雜的情境或背景需要學(xué)生提出問(wèn)題尋找條件等。以上議題都很重要，但不在本文討論范圍，本文只探討在已知條件和問(wèn)題的情況下如何借助畫(huà)圖表征、分析和解決問(wèn)題。

“畫(huà)思路”教學(xué)流程（如圖1）是：讀題→畫(huà)題意→畫(huà)思路→解題→反思，從“畫(huà)圖”的視角可分為前后承接的兩個(gè)部分：畫(huà)題意和畫(huà)思路。在整個(gè)畫(huà)圖解決問(wèn)題的過(guò)程中，貫穿始終的是兩個(gè)主題：理解與發(fā)現(xiàn)。畫(huà)題意更多指向理解，畫(huà)思路主要是不斷地發(fā)現(xiàn)。

圖1

（一）理解：畫(huà)題意的前提和旨?xì)w

“畫(huà)題意”指畫(huà)圖表征條件和問(wèn)題，其前提和旨?xì)w是對(duì)整個(gè)問(wèn)題的理解，與讀題、審題相聯(lián)系。比如面對(duì)“春節(jié)到了，爸爸買(mǎi)了2只鴨、1只雞，共33元。如果買(mǎi)2只鴨、3只雞要付51元，問(wèn)一只雞和一只鴨各多少錢(qián)？”這個(gè)問(wèn)題，先給予學(xué)生充分的讀題、審題時(shí)間，必要時(shí)還可以讓學(xué)生互相說(shuō)一說(shuō)題意，再把題意畫(huà)出來(lái)（如圖2）。

圖2

1.理解題意：條件和問(wèn)題清晰化

文字或話(huà)語(yǔ)陳述的問(wèn)題，需要用畫(huà)圖來(lái)梳理，使之清晰呈現(xiàn)，明白已知條件和問(wèn)題。這一步很重要，只要學(xué)生能夠表征清楚，問(wèn)題就解決了一大半。

上題中的條件比較簡(jiǎn)單，有些問(wèn)題條件相對(duì)復(fù)雜，需要畫(huà)圖輔助理解。比如“一座大橋2400米，一列火車(chē)以每分鐘900米的速度通過(guò)大橋，從車(chē)頭開(kāi)上橋到車(chē)尾離開(kāi)橋共需3分鐘，這列火車(chē)長(zhǎng)多少米？”，通過(guò)畫(huà)圖表征“從車(chē)頭開(kāi)上橋到車(chē)尾離開(kāi)橋”能夠更好地理解“通過(guò)大橋”的意思，否則容易誤以為這列火車(chē)“通過(guò)大橋”的路程就是橋長(zhǎng)2400米。所以，“理解題意”與“畫(huà)圖表征”之間的關(guān)系是相互的，前者是后者的基礎(chǔ)，沒(méi)有對(duì)題意的理解就無(wú)從畫(huà)圖表征；后者是前者的輔助，畫(huà)圖表征能夠促進(jìn)理解，兩者相輔相成。

對(duì)題意的理解，還包括對(duì)問(wèn)題的整體把握與思辨。上題在課堂上就受到學(xué)生的質(zhì)疑：雞、鴨的價(jià)格也太便宜了吧？不符合市場(chǎng)實(shí)際。時(shí)值中秋前夕，學(xué)生們商議修改問(wèn)題為（注：因此學(xué)生作品中既有“雞、鴨”也有“石榴、月餅”）：中秋節(jié)到了，爸爸買(mǎi)了3個(gè)石榴、1封月餅，共33元。如果買(mǎi)3個(gè)石榴、3封月餅要51元。問(wèn)1個(gè)石榴和1封月餅各多少錢(qián)？學(xué)生的質(zhì)疑表現(xiàn)十分珍貴，我們希望數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)賦予學(xué)生這樣的審辯性思維和理性精神，并主動(dòng)運(yùn)用它們反過(guò)來(lái)審視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和周?chē)澜纭?/p>

2.畫(huà)圖表征：多樣化基礎(chǔ)上的簡(jiǎn)潔化

“數(shù)學(xué)畫(huà)”教學(xué)歷來(lái)都是放手讓學(xué)生個(gè)性化表達(dá)，“畫(huà)思路”也不例外。個(gè)性化表達(dá)必然會(huì)呈現(xiàn)多樣化的畫(huà)圖，學(xué)生解決上述問(wèn)題中出現(xiàn)了幾何圖形圖（如圖2）、實(shí)物圖（如圖3）、文字圖（如圖4）、線(xiàn)段圖（如圖5）等不同作品。

圖3

圖4

圖5

在展評(píng)環(huán)節(jié)，不同畫(huà)法的作品同時(shí)呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)比中發(fā)現(xiàn)不同，達(dá)成共識(shí)：畫(huà)實(shí)物圖比較麻煩，幾何圖形圖和線(xiàn)段圖比較簡(jiǎn)潔，從而逐漸簡(jiǎn)化畫(huà)法。整體上，低年級(jí)學(xué)生偏愛(ài)色彩鮮艷的實(shí)物圖，喜歡創(chuàng)設(shè)豐富的故事情境，隨著年齡的增長(zhǎng)、學(xué)習(xí)的推進(jìn)，我們會(huì)有意識(shí)、有計(jì)劃地引導(dǎo)學(xué)生逐漸用簡(jiǎn)潔的幾何圖形、符號(hào)等表征思維。一般年級(jí)越高，學(xué)生畫(huà)思路的作品會(huì)越簡(jiǎn)潔、抽象。

（二）發(fā)現(xiàn)：畫(huà)思路的本質(zhì)和關(guān)鍵

畫(huà)清題意為厘清數(shù)量關(guān)系、發(fā)現(xiàn)解決方法做好了鋪墊，這兩個(gè)過(guò)程是一氣呵成、融為一體的。在課堂教學(xué)中，“畫(huà)題意”“畫(huà)思路”“解題”往往也都在“畫(huà)圖解決問(wèn)題”的大任務(wù)中，避免破壞學(xué)生思維的連貫、深入。

1.圖示發(fā)現(xiàn)：關(guān)系和方法明朗化

上例中，有了畫(huà)題意后學(xué)生能夠很容易“看出”51元里比33元里多出2只雞，不難推算1只雞的價(jià)錢(qián)，知道了雞的單價(jià)，根據(jù)兩個(gè)已知條件中的任意一個(gè)，都能算出鴨的單價(jià)（如圖6）。以上關(guān)鍵數(shù)量關(guān)系和解題方法的發(fā)現(xiàn)得益于圖示的直觀(guān)。當(dāng)然，本問(wèn)題條件比較簡(jiǎn)單，部分學(xué)生可以在腦海中“想見(jiàn)”數(shù)量關(guān)系，直接列式解決。這種情況并不是“畫(huà)思路”重要教學(xué)價(jià)值的反例，恰恰說(shuō)明了：一切問(wèn)題解決的前提都是理解題意和洞見(jiàn)數(shù)量關(guān)系；簡(jiǎn)單和復(fù)雜是相對(duì)的，理解了的內(nèi)容自然簡(jiǎn)單，所謂復(fù)雜只是暫時(shí)未被理解和掌握，其中存在個(gè)體差異；畫(huà)圖可以輔助數(shù)學(xué)理解、促進(jìn)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)；“看見(jiàn)”的圖與“想見(jiàn)”的圖都是思維的痕跡，只是在熟練程度和心理認(rèn)知水平上有差異。

在畫(huà)題意基礎(chǔ)上，圖6是比較常見(jiàn)的思路和方法，還有其他方法，比如圖7、圖8。這些多樣方法的出現(xiàn)又使后面“反思”環(huán)節(jié)的小結(jié)提升有了基礎(chǔ)和可能。

圖7

圖8

2.算式表達(dá)：由圖到式的數(shù)學(xué)化

畫(huà)圖表征題意之后，理清數(shù)量關(guān)系、發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法是很內(nèi)隱的思維活動(dòng)，其表現(xiàn)就是能夠列出算式、解答問(wèn)題，即學(xué)生完成了由圖示到算式的過(guò)渡，這是一種數(shù)學(xué)化的過(guò)程。有的學(xué)生需要在圖示的直觀(guān)幫助下列式，有的學(xué)生在借助畫(huà)圖理解題意、厘清思路后可以脫離圖示獨(dú)立列式解答，還有的學(xué)生思維水平達(dá)到一定高度后則可以不畫(huà)圖直接列式解答。不論哪一種學(xué)生，當(dāng)他們列式解答出現(xiàn)困難時(shí)，隨時(shí)可以重新畫(huà)圖或看圖來(lái)輔助思考。在這個(gè)意義上，“畫(huà)思路”是很明顯的一種從“數(shù)學(xué)畫(huà)”到“數(shù)學(xué)化”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程。

二、從“反思過(guò)程”到“提升素養(yǎng)”

問(wèn)題解決教學(xué)中“反思過(guò)程”是很重要的環(huán)節(jié)?！胺此歼^(guò)程”是教學(xué)行為和手段，“提升素養(yǎng)”才是教學(xué)方向和目標(biāo)。因?yàn)椤爱?huà)思路”呈現(xiàn)了每位學(xué)生的思維痕跡，這讓“反思過(guò)程”更加有跡可循。

（一）讓“經(jīng)歷”成為“經(jīng)驗(yàn)”

“反思過(guò)程”環(huán)節(jié)的教學(xué)首先指向?qū)φ麄€(gè)問(wèn)題解決過(guò)程的回顧：我們是怎么一步步解決這個(gè)問(wèn)題的？我們運(yùn)用了哪些方法？引導(dǎo)學(xué)生在反思中有意識(shí)地將“讀題→畫(huà)題意→畫(huà)思路→解題→反思”的“經(jīng)歷”變成“經(jīng)驗(yàn)”儲(chǔ)存起來(lái)，便于以后遇到問(wèn)題加以運(yùn)用。這種重新審視整個(gè)解題過(guò)程的“元認(rèn)知”也有助于培養(yǎng)學(xué)生自覺(jué)回顧、主動(dòng)反思的習(xí)慣。

不同作品的交流展評(píng)是“畫(huà)思路”教學(xué)中學(xué)生很重要的一種學(xué)習(xí)經(jīng)歷，通過(guò)反思和比較，學(xué)生可以獲得的經(jīng)驗(yàn)主要有兩個(gè)方面：畫(huà)法從實(shí)物圖到線(xiàn)段圖不斷優(yōu)化，思維由單一向多元越來(lái)越靈活，更重要的是學(xué)生思維的水平層次也在不斷進(jìn)階。

不同圖示在抽象水平、不同解法在思維水平上往往存在差異，在充分尊重每位學(xué)生的個(gè)性化表達(dá)基礎(chǔ)上，“畫(huà)思路”教學(xué)著力通過(guò)作品展評(píng)來(lái)提升學(xué)生的畫(huà)圖和思維能力，自然引導(dǎo)學(xué)生讀懂同伴的圖示和方法，并多方對(duì)比、自我反思，給予他們改進(jìn)的機(jī)會(huì)，最終實(shí)現(xiàn)“基于個(gè)性的表達(dá)”和“基于交流的發(fā)展”。

（二）由“解法”升級(jí)“策略”

如上所述，問(wèn)題解決中出現(xiàn)不同解法，如果沒(méi)有反思，這些寶貴的多元方法只會(huì)停留在特殊的、個(gè)別的解法層面。經(jīng)過(guò)扎實(shí)的“畫(huà)題意→畫(huà)思路”過(guò)程后回顧這些方法，學(xué)生才有機(jī)會(huì)跳出具體解法的窠臼，從更高的視角俯視它們，發(fā)現(xiàn)“通法”，有可能到達(dá)策略和思想的高度。

1.解法背后的策略意識(shí)

怎么才能實(shí)現(xiàn)從個(gè)別解法到一般策略的跨越呢？下面將以上述問(wèn)題在不同班級(jí)的教學(xué)為例來(lái)具體談一談。

（1）學(xué)生未出現(xiàn)多樣解法：以策略化引出多樣化

在A(yíng)班級(jí)的教學(xué)中，學(xué)生畫(huà)法雖然多樣，但解法比較趨同，只出現(xiàn)圖6這一類(lèi)。以下是教學(xué)片斷：

師：讓我們回頭看看，一開(kāi)始覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題怎么樣？困難在什么地方？

學(xué)生說(shuō)一說(shuō)，引出：此問(wèn)題有兩個(gè)未知量，比較復(fù)雜。

師：通過(guò)分析我們還是順利解決了這個(gè)有兩個(gè)未知量的復(fù)雜問(wèn)題，想一想解決問(wèn)題的關(guān)鍵是什么？

學(xué)生議一議，引出：解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是想辦法抵消掉一個(gè)未知量，使復(fù)雜問(wèn)題變簡(jiǎn)單。

追問(wèn)：我們是怎么消掉一個(gè)未知量的？為什么這樣可以抵消？

學(xué)生結(jié)合解決過(guò)程說(shuō)一說(shuō)，得出：因?yàn)?3元和51元里正好都包含2只鴨的價(jià)錢(qián)，我們通過(guò)兩數(shù)相減，剛好可以抵消掉鴨的價(jià)錢(qián)，只剩下雞的價(jià)錢(qián)。

師：我們已經(jīng)會(huì)用直接相減的方法抵消一個(gè)未知量，那么能不能用其他方法呢？

先獨(dú)立思考，再小組討論，教師巡視輔導(dǎo)，點(diǎn)撥：只要想辦法抵消掉一個(gè)未知量即可，注意觀(guān)察已知數(shù)的特點(diǎn)，怎樣能抵消呢？

（展評(píng)不同方法與思路）

以上教學(xué)立足學(xué)生比較單一的解法，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)反思發(fā)現(xiàn)具體解法背后的“消元”本質(zhì)，讓學(xué)生意識(shí)到：不論用什么方法，只要抵消掉一個(gè)未知量，問(wèn)題就簡(jiǎn)單了，從而順利引出多樣解法。

（2）學(xué)生出現(xiàn)多樣解法：以多樣化引導(dǎo)策略化

B班級(jí)的教學(xué)中，學(xué)生不僅出現(xiàn)多樣畫(huà)法，還自主涌現(xiàn)了多元解法。教學(xué)片斷如下：

師：回顧一下，比較圖6、7、8的不同解法，你有什么發(fā)現(xiàn)？先獨(dú)立思考，再小組內(nèi)交流。

生1：我們發(fā)現(xiàn)三種不同方法有一個(gè)相同的過(guò)程，那就是畫(huà)圖，通過(guò)畫(huà)圖明白了數(shù)量關(guān)系，找到了解決方法。

生2：我們發(fā)現(xiàn)圖6的方法是把兩個(gè)已知條件相減，剛好抵消掉2只鴨子、1只雞，剩下2只雞的價(jià)錢(qián)，就能求出雞的單價(jià)，再求出鴨的單價(jià)；圖7的方法是把兩個(gè)已知條件相加，得到4只鴨和4只雞的價(jià)錢(qián)，就能求出1只鴨和1只雞的價(jià)錢(qián)，而第一個(gè)已知條件是2只鴨、1只雞，相減就能得到鴨的單價(jià)；圖8的解法也差不多，先把第一個(gè)已知條件乘3，求出6只鴨和3只雞的價(jià)錢(qián)，再減去第二個(gè)已知條件，3只雞抵消了，剩下4只鴨，得到了鴨的單價(jià)……

師：他提到了一個(gè)很重要的詞“抵消”，是什么意思？

生3：不論是哪一種解法，最后都是為了抵消掉一個(gè)，要么抵消掉雞，要么抵消掉鴨。

師：為什么要抵消掉一個(gè)呢？

生4：我們既要求雞的單價(jià)，又要求鴨的單價(jià)，不抵消掉一個(gè)不好算，如果抵消掉一個(gè)，只剩另外一個(gè)，就好算了。

師：原來(lái)不同解法里有著同樣的思想。誰(shuí)再來(lái)說(shuō)一說(shuō)？

得出：當(dāng)有兩個(gè)未知量時(shí)，可以用加減乘除的多種方法抵消掉一個(gè)未知量，把復(fù)雜問(wèn)題變簡(jiǎn)單。

以上教學(xué)是在解法多樣化基礎(chǔ)上進(jìn)行的，通過(guò)比較引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同解法中蘊(yùn)含著相同的策略，那就是用消元的方法將含有兩個(gè)未知量的復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成只含一個(gè)未知量的簡(jiǎn)單問(wèn)題。如此，學(xué)生的學(xué)習(xí)就能夠超越一道題而打通一類(lèi)題，獲得問(wèn)題解決的通法，掌握更高層面的策略和數(shù)學(xué)思想方法。

2.解題背后的素養(yǎng)培育

和其他課型一樣，“畫(huà)思路”教學(xué)的最高目標(biāo)絕不是畫(huà)圖，也不是解題，而是通過(guò)以畫(huà)圖輔助解題的學(xué)習(xí)過(guò)程來(lái)育人，即培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。上例中蘊(yùn)含著多方面的提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的努力，下面從中截取“推理意識(shí)”略加分析。

（1）從現(xiàn)象到結(jié)論

推理意識(shí)主要是指對(duì)邏輯推理過(guò)程及其意義的初步感悟，具有推理意識(shí)的學(xué)生能夠通過(guò)簡(jiǎn)單的歸納或者類(lèi)比，猜想或者發(fā)現(xiàn)一些初步的結(jié)論。A班學(xué)生通過(guò)對(duì)畫(huà)法不同但思路相似的解法、B班學(xué)生通過(guò)對(duì)多種不同解法的歸納類(lèi)比，都發(fā)現(xiàn)了“消元”方法和“轉(zhuǎn)化”思想。

（2）從一般到特殊

具有推理意識(shí)的學(xué)生能通過(guò)法則運(yùn)用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)從一般到特殊的論證過(guò)程。A班學(xué)生運(yùn)用消元策略，找到與已有解法不一樣的其他解法；交流展評(píng)環(huán)節(jié)，由同一種解法的相同數(shù)量關(guān)系，引出不同畫(huà)法的作品，如：同樣是“消元”，同樣的“51元里比33元里多出2只雞（2封月餅）”，圖9～11與圖6的畫(huà)法各不相同。課堂上，一般的操作是：先看圖6，讀懂其思路，明確其數(shù)量關(guān)系，學(xué)生再找出與之相同解法和數(shù)量關(guān)系的圖9～11等作品集中展示，簡(jiǎn)單感悟從一般到特殊的推理。

圖9

圖10

圖11

（3）合理解釋自己和他人

具有推理意識(shí)的學(xué)生能對(duì)自己及他人的問(wèn)題解決過(guò)程給出合理解釋。不同畫(huà)法、不同解法的學(xué)生會(huì)在小組內(nèi)或全班交流自己的想法，也會(huì)在交流中讀懂別人的想法。

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的表征和探究是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要領(lǐng)域，“畫(huà)思路”教學(xué)則是我們?cè)谶@一領(lǐng)域的自覺(jué)實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生在畫(huà)圖中理解和發(fā)現(xiàn)，在反思中感悟和提升。