從冪的概念到冪的運(yùn)算

文／蔡支梅

最近我們認(rèn)識(shí)了冪，知道了冪及其相關(guān)概念。在學(xué)習(xí)冪的運(yùn)算的過程中，從冪的概念入手，研究冪的運(yùn)算是一種有效的方法。遇到與冪的運(yùn)算相關(guān)的問題時(shí)，準(zhǔn)確識(shí)別冪、底數(shù)、指數(shù)是分析和解決問題的關(guān)鍵。

一、轉(zhuǎn)化為相同底數(shù)

例1計(jì)算-（m-n）3÷2（n-m）2的結(jié)果是（）。

【解析】“同底數(shù)冪的除法”，顧名思義，相除的是相同底數(shù)的冪。但題目中的底數(shù)是不同的多項(xiàng)式，所以我們需要進(jìn)一步整理，將冪的底數(shù)轉(zhuǎn)化為相同底數(shù)。

我們不妨將（n-m）2轉(zhuǎn)化為（m-n）2。因?yàn)椋╪-m）2與（m-n）2的底數(shù)互為相反數(shù)且指數(shù)均為偶數(shù)，所以（n-m）2=［-（mn）］2=（m-n）2，即-（m-n）3÷2（n-m）2=-（m-故選擇A。

當(dāng)然，我們也可以考慮將兩個(gè)冪轉(zhuǎn)化成相同的底數(shù)（n-m），將-（m-n）3整理為（n-m）3，然后進(jìn)一步計(jì)算。感興趣的同學(xué)可以嘗試一下。

例2已知3×9m×27m=317+m，求（-m2）3÷（m3·m2）的值。

【解析】解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是通過計(jì)算求得m的值。從冪的底數(shù)上看，已知條件中，等式左邊的冪的乘法運(yùn)算無法進(jìn)行，因?yàn)?m與27m的底數(shù)不一樣。我們只有將它們轉(zhuǎn)化為相同底數(shù)的冪，才可以進(jìn)行運(yùn)算。

因?yàn)?m=（32）m=32m，27m=（33）m=33m，所以，等式左邊可以轉(zhuǎn)化為底數(shù)同為3 的冪的乘法運(yùn)算。我們?cè)龠\(yùn)用同底數(shù)冪的乘法公式am·an=am+n，可求得左邊同底數(shù)冪相乘的結(jié)果為31+5m。因此，有31+5m=317+m。因?yàn)樵撌街校笥覂蛇厓绲牡讛?shù)相同，所以指數(shù)必然也相同，從而建立方程1+5m=17+m，解得m=4。

如何利用求得的m值，求出代數(shù)式（-m2）3÷（m3·m2）的值呢？我們通過觀察發(fā)現(xiàn)，代數(shù)式的底數(shù)均為m，先將代數(shù)式化簡，（-m2）3÷（m3·m2）=-m6÷m5=-m，最后將m=4代入，即可求出代數(shù)式的值為-4。

二、公式逆用

例3已知xa=2，xb=3，求x2a+3b+x3b-3a的值。

【解析】逆用同底數(shù)冪的乘法法則，可先將要求的代數(shù)式進(jìn)行整理，將x2a+3b+x3b-3a寫成x2a·x3b+x3b÷x3a的形式，再逆用冪的乘方法則，將x2a·x3b、x3b÷x3a分別轉(zhuǎn)化為（xa）2·（xb）3、（xb）3÷（xa）3，從而得解。具體過程如下：

三、比較冪的大小

例4比較255、344、433的大小，正確的是（）。

A.255＜344＜433B.433＜344＜255C.255＜433＜344D.344＜433＜255

【解析】題目所給的三個(gè)冪的指數(shù)較大，通過直接計(jì)算比較它們的大小是很困難的。我們通過觀察發(fā)現(xiàn)，三個(gè)冪的指數(shù)的最大公約數(shù)是11，所以我們可以逆用冪的乘方法則，將255、344、433的指數(shù)都轉(zhuǎn)化成指數(shù)是11的冪。

255=25×11=（25）11=3211，

344=34×11=（34）11=8111，

433=43×11=（43）11=6411。

指數(shù)相同，我們便可根據(jù)底數(shù)的大小判斷。因?yàn)?2＜64＜81，所以255＜433＜344。

例5已知a=8131，b=2741，c=961，試比較a、b、c的大小。

【解析】題目所給的三個(gè)冪的底數(shù)和指數(shù)都較大，同樣很難通過計(jì)算求值來完成大小的比較。通過觀察和思考，我們發(fā)現(xiàn)，可以逆用冪的乘方法則，將三個(gè)冪的底數(shù)轉(zhuǎn)化為相同底數(shù)3。

8131=（34）31=3124，

2741=（33）41=3123，

961=（32）61=3122。

底數(shù)相同都是3，我們便可根據(jù)指數(shù)的大小判斷。因?yàn)?24＞123＞122，由此判斷出961＜2741＜8131，所以c＜b＜a。

四、分類討論思想的運(yùn)用

例6若（2a-1）a+2=1，試確定a的值。

【解析】我們通過觀察題目可以發(fā)現(xiàn)，已知條件中，冪的底數(shù)和指數(shù)均含有字母a，所以應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論。

（1）當(dāng)指數(shù)為0 時(shí)，根據(jù)a0=1（a≠0）可知，底數(shù)不為0，即2a-1≠0、a+2=0，求解可得a=-2。

（2）當(dāng)指數(shù)不為0 時(shí)，那么，底數(shù)需滿足2a-1=1或2a-1=-1。

①當(dāng)2a-1=1 時(shí)，因?yàn)? 的任何次冪都是1，所以可求得a=1。

②當(dāng)2a-1=-1 時(shí)，因?yàn)?1 的偶次冪是1，所以a+2 是偶數(shù)。求解2a-1=-1，得a=0。當(dāng)a=0時(shí)，a+2=2是偶數(shù)，滿足題意。

綜上所述，a的值為1或-2或0。