集映射、拓?fù)浣缓蛯?duì)影序的存在性

盧美華,高曉波

(1.江西科技學(xué)院理科部,江西 南昌 330022;2.江西農(nóng)業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院,江西 南昌 330045)

序拓?fù)淅碚撌钱?dāng)前應(yīng)用拓?fù)浒l(fā)展的重要方向,諸多新方法、新思維已經(jīng)應(yīng)用于并更新了序拓?fù)淇臻g、廣義度量空間的理論局面。序拓?fù)淇臻g及其在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用獲得了國(guó)家自然科學(xué)基金群聚焦式資助。稍早,師維學(xué)在三個(gè)國(guó)家自然科學(xué)項(xiàng)目形成項(xiàng)目群的資助下,解決了序拓?fù)淇臻g上廣義度量的構(gòu)造等諸多問(wèn)題,當(dāng)然,標(biāo)度序族的集結(jié)不在其自然科學(xué)基金群的研究之中[1]。雖然標(biāo)準(zhǔn)形式理性一般能嚴(yán)格效用函數(shù)化,有限理性也可效用擾動(dòng)化[2],但序拓?fù)鋮s更方便刻畫(huà)理性的有限性、不完全性等,特別是集體理性、群理性等等。眾所周知,“共識(shí)”作為標(biāo)度序族的某種一致性也受到廣泛研究,群決策共識(shí)和一致性同樣受到國(guó)家自然科學(xué)基金群的資助下,但從其概念體系到約束體系公理化的研究卻十分不足[3]。即使對(duì)各種不同類型序(各種偏好關(guān)系),雖然都可以建立迭代算法以確定“共識(shí)”,但迭代算法中個(gè)體理性、群體理性難以相容,迭代算法破壞著個(gè)體理性。文獻(xiàn)[3]總結(jié)的系列研究結(jié)論,發(fā)現(xiàn)符合一般研究范式的“共識(shí)理論”應(yīng)該統(tǒng)一“交互共識(shí)”和“優(yōu)化共識(shí)”,本質(zhì)上通向社會(huì)選擇理論,并為社會(huì)選擇理論和共識(shí)協(xié)商形成了概念連接。

事實(shí)上,社會(huì)選擇理論一直是公理化群序及其集結(jié)形式化理論的典范。當(dāng)前,幾何社會(huì)選擇理論和拓?fù)渖鐣?huì)選擇理論確實(shí)拓寬了社會(huì)選擇理論的進(jìn)路[4],但是約束公理相容性配置卻一直處于爭(zhēng)執(zhí)之中[5]。如果分析文獻(xiàn)[3]總結(jié)的系列方法,可以發(fā)現(xiàn)集結(jié)落實(shí)到單純算法層面上,則約束公理配置確實(shí)是內(nèi)化到運(yùn)算之中,從而其一般研究范式具有統(tǒng)一性,但也產(chǎn)生了算法統(tǒng)一性問(wèn)題。本文力求僅在運(yùn)算層面上實(shí)現(xiàn)概念刻畫(huà)和集結(jié)特征判斷,并集中考察社會(huì)選擇函數(shù)集結(jié)中的對(duì)影判別和性質(zhì);一方面,以交運(yùn)算統(tǒng)一刻畫(huà)和描述,形成算法統(tǒng)一性。另一方面,進(jìn)行序性嚴(yán)格化,消除群序集結(jié)中形式混亂。其結(jié)論可以證明弱序集結(jié)空間和強(qiáng)序集結(jié)空間構(gòu)造的等價(jià)性,其中的關(guān)鍵在于對(duì)影分解和結(jié)合,理清對(duì)影的性質(zhì),并合理的判別對(duì)影。

1 知識(shí)準(zhǔn)備和符號(hào)說(shuō)明

在文獻(xiàn)[6]提出了強(qiáng)序新的刻畫(huà)。而近期盧進(jìn)一步提出集序、群序,并基于集序、群序刻畫(huà)了偏好集結(jié),獲得了諸多良好得結(jié)論[7]。其方法體系是用集值映射刻畫(huà)序,在集值映射上裝載各約束形式并對(duì)應(yīng)地刻畫(huà)出強(qiáng)序、弱序、全序、偏序,乃至錐序;在集序構(gòu)造下發(fā)現(xiàn)群序集結(jié)可等價(jià)于群強(qiáng)序集結(jié)。同時(shí),高、盧在文獻(xiàn)[8]提出對(duì)影概念,并研究了對(duì)影判別和性質(zhì)。而且,盧文獻(xiàn)[7]把集序、群序集結(jié)應(yīng)用于社會(huì)選擇理論得基礎(chǔ)構(gòu)造。這里基礎(chǔ)構(gòu)造理論聯(lián)系廣闊,諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者馬斯金在機(jī)制研究中,從連續(xù)統(tǒng)空間得測(cè)度等分構(gòu)造選擇主體,以此構(gòu)造考察約束公理得強(qiáng)弱,并給出一個(gè)約束公理系統(tǒng)得包含關(guān)系[9]。一旦采用盧提出得集序、群序方法,約束公理得加載將更為便利。本質(zhì)上,盧的方法體系是避免約束公理加載而前置在運(yùn)算層面上考察一般集結(jié)性質(zhì),這避免了后置約束公理不相容性的缺陷,例如Arrow不可能性。在基本集結(jié)性質(zhì)清晰后,加載約束公理的強(qiáng)弱性就能自明。為此,下面給出基本概念。

關(guān)系及其屬性是形式?jīng)Q策理論的起點(diǎn)。給定X集合,以范數(shù)|X|表示集合元素個(gè)數(shù)。設(shè)R?X×X,以該子集R表示集合X上元素的關(guān)系,若(x,y)∈R,稱x關(guān)系R于y,此時(shí)也可記為xRy。同時(shí),裝載了關(guān)系后集合記為(X,R)。對(duì)于(X,R),稱R為自反性關(guān)系,若任何x都有xRx。對(duì)應(yīng)地,若任何x都有┒xRx(表示xRx不成立),則可稱R為非自反性關(guān)系。稱R為傳遞性關(guān)系,若任何x,y,z,由xRy及yRz能推出xRz。稱R為對(duì)稱性關(guān)系,對(duì)任何不同的x、y,xRy能推出yRx;稱R為反對(duì)稱性關(guān)系,對(duì)任何不同的x、y,xRy能推出yRx;稱R為完全性關(guān)系,若對(duì)任何不同的x、y,xRy能推出┒yRx。另外,基于關(guān)系屬性可定義特定關(guān)系,例如(X,R)為弱序集,若關(guān)系R是自反性、傳遞性關(guān)系;而后續(xù)主要采用集值映射定義各類關(guān)系。

定義1設(shè)集合X上集值映射F:X→2X滿足(1)?a∈X,a∈F(a);(2)?b∈F(a)有F(b)?F(a);(3)若┑a∈F(b)則b∈F(a);則稱F:S→2S為集序映射,簡(jiǎn)稱為集序,同時(shí)記X為(X,F)。

顯然,依據(jù)集序把b∈F(a)記為關(guān)系ba,則“”是傳遞性關(guān)系。另外由“b∈F(a)”推導(dǎo)出“F(b)?F(a)”刻畫(huà)了集序映射收縮性,該映射收縮性與關(guān)系傳遞性互為判斷,并且映射收縮性刻畫(huà)“優(yōu)向”判斷;反之,映射刻畫(huà)集序的擴(kuò)張性能為關(guān)系“劣向”提供判斷。對(duì)于(X,F)的X中任何α∈X,記F-1(α)={β|α∈F(β)},映射是擴(kuò)張的,稱為逆象集。

另外,仍可依據(jù)集序來(lái)刻畫(huà)關(guān)系對(duì)稱性、關(guān)系完全性。例如,稱集序F是對(duì)稱的,如果對(duì)任何兩個(gè)a、b∈X,a∈F(b)能推出b∈F(a);反對(duì)稱性即a∈F(b)能推出┑b∈F(a)。稱集序F是完全的,對(duì)任何兩個(gè)a、b∈X,┑a∈F(b)能導(dǎo)出b∈F(a);集序?qū)傩燥@然是自明的。同時(shí),以FX表示X上全體集序形成的集合,稱FX為X的集序空間,簡(jiǎn)稱集序空間。顯然,FX={F:X→2X|F滿足a∈F(a),[?b∈F(a)]?F(b)?F(a)}。

為形式化地綜合考慮社會(huì)選擇理論、機(jī)制設(shè)計(jì)理論,需要準(zhǔn)確定義文獻(xiàn)[9]所指稱的集結(jié),即把一個(gè)標(biāo)度集下的偏好組合映射為社會(huì)偏好。為方便直接記V={1,2,…m}直接表示標(biāo)度集,并定義社會(huì)選擇函數(shù)如下:

定義2標(biāo)度集V對(duì)集合X建立了集序組合形成組合空間FXV={(F1,F2,…Fm)|Fi∈FX}。即FXV=FX×FX×…×FX為m個(gè)FX形成笛卡爾積,并稱FXV為標(biāo)度集V標(biāo)度集序空間,簡(jiǎn)稱為標(biāo)度集序空間。在(V,FX)的標(biāo)度集序空間FXV中,稱SCF:FXV→FX為V標(biāo)度集下X的群序集結(jié),簡(jiǎn)稱群序集結(jié)。

文獻(xiàn)[7]采用循環(huán)群在等價(jià)族上定序,而當(dāng)采用拓?fù)溥\(yùn)算定序?qū)⒑秃图Y(jié)具有一致性。為此,本文再提出單元收縮映射保證在等價(jià)族上一致性定序。

定義3稱T:2X→2X為單元收縮映射,若T滿足?Λ∈2X有T(Λ)?Λ及|Λ|-|T(Λ)|=1。對(duì)于一單元收縮映射T,稱T循環(huán)收縮直至形成空集終止而形成的套鏈T(X)、T(T(X))、…、T(…T(X))為T的承接鏈;同時(shí),稱T對(duì)A∈2X循環(huán)收縮直至形成空集終止而形成的套鏈T(A)、T(T(A))、…、T(…T(A))為(T,A)承接鏈,在自明情形下可簡(jiǎn)稱承接鏈。

2 主要結(jié)論

一般地,考察偏好集結(jié)的社會(huì)選擇函數(shù)框架為(X,V,FXV,FX),但偏好嚴(yán)格化涉及對(duì)影集結(jié),從而擴(kuò)充框架為(X,V,FXV,FX,T)。另外,SCF:FXV→FX中偏好集結(jié)需要遵循約束公理,并且,阿羅、森、馬斯金在其諾貝爾獲獎(jiǎng)成果中都配置過(guò)不同的約束公理系統(tǒng);為此,既然不研究約束公理的配置合理性,本文僅依據(jù)馬斯金在文獻(xiàn)[8]的配置模式記一般性約束公理系統(tǒng)為AS,在考慮集結(jié)過(guò)程中充分回避配置約束公理僅采用基礎(chǔ)運(yùn)算進(jìn)行形成刻畫(huà),將主要形成以下定理。其中,需要運(yùn)用逆象、單元收縮等運(yùn)算。

定理1在(X,F)中作F0(α)=F(α)∩F-1(α),則{F0(α)|α∈X}重合合并后能形成X的一個(gè)分劃,即X=∪α∈XF0(α),其中并元F0(α)、F0(β)或者交空,或者相等。

證明(X,F)中集序F是自反和傳遞的,則?α∈X都有α∈F(α),從而有α∈F-1(α)。綜合則有α∈F(α)∩F-1(α),也即α∈F0(α),則任何F0(α)都非空;由以上α的任意性,必有X?∪α∈XF0(α),那么必然是X=∪α∈XF0(α)。余下要證明{F0(α)|α∈X}能形成X的一個(gè)分劃,其關(guān)鍵在于證明任何兩個(gè)有差異的F0(α)交空。

?α、β∈X考察F0(α)、F0(β)。情形一,若F0(α)∩F0(β)=?,即兩者已交空。情形二,若F0(α)∩F0(β)≠?,則需證明F0(α)=F0(β),即F0(α)、F0(β)有沒(méi)有差異。

為此,設(shè)F0(α)∩F0(β)≠?,則可取定c∈F0(α)∩F0(β)并考慮兩個(gè)方面。一方面,對(duì)任意一個(gè)η∈F0(α),可證明必然有η∈F0(β)。由于c∈F0(α)及η∈F0(α)可以展開(kāi)為c∈F(α)、α∈F(c)、η∈F(β)、α∈F(η),那么可以形成不同組合。由組合α∈F(c)、η∈F(α)并利用集序收縮性必然有η∈F(c);而再由c∈F(α)、α∈F(η)同樣利用集序收縮性可得到c∈F(α)?F(η)即c∈F(η)。另一方面,由η∈F(c)、c∈F(η)及c∈F(β)、β∈F(c)也可以構(gòu)造不同組合并運(yùn)用集序收縮性,則有η∈F(c)、c∈F(β)?η∈F(β);c∈F(η)、β∈F(c)?β∈F(η)。這就有η∈F(β)、β∈F(η),也就是有η∈F(β)、η∈F-1(β),即η∈F(β)∩F-1(β),從而證明了η∈F0(β)成立。于是必然有F0(α)?F0(β)成立?？紤]到證明過(guò)程的對(duì)稱性,同樣的道理必有F0(β)?F0(α)。結(jié)合已證結(jié)論,全面綜合后必然有F0(α)=F0(β)成立。

綜合以上整個(gè)證明,顯然定理1成立。

一般地,按文獻(xiàn)稱{F0(α)|α∈X}為(X,F)等價(jià)族劃分。同時(shí)有文獻(xiàn)證明{F0(α)|α∈X}形成劃分可以用(∩γ∈Λ0F(γ))及各F-1(a)形成非空最小收縮方式達(dá)成。該定理中,F0(α)∩F0(β)≠?能推導(dǎo)到F0(α)=F0(β),這和該文獻(xiàn)中的非空最小收縮子的結(jié)論是一致的。另外,從集序空間FX與空間RX的等價(jià)性上,后續(xù)研究?jī)H僅只需在集序空間FX上進(jìn)行即可。進(jìn)一步,考慮集序空間FX形成劃分的集序特征,任何集序F對(duì)X的劃分只能是兩種情形,即從F0(α)來(lái)看,或者F0(α)={α}為單點(diǎn)集,或者F0(α)={α、…、β}為非單點(diǎn)集。在單點(diǎn)集F0(α)={α},文獻(xiàn)[8]對(duì)影是簡(jiǎn)單的,其對(duì)影集結(jié)困難性源于非單點(diǎn)集F0(α)={α、…β}。同時(shí),文獻(xiàn)[8]正是依據(jù)對(duì)影集結(jié)發(fā)現(xiàn)了社會(huì)選擇函數(shù)面臨孔多塞循環(huán)時(shí)可能導(dǎo)致集結(jié)不可能性,這一情形揭示了孔多塞循環(huán)和輪換循環(huán)之間存在本質(zhì)聯(lián)系;孔多塞循環(huán)就是多次輪換的推廣。文獻(xiàn)[8]在構(gòu)造對(duì)影φαβR=時(shí),其要點(diǎn)在于A/～={Λ1、Λ2、…、Λk}的商空間上分析A=Λ1∪Λ2∪…∪Λk的構(gòu)成,在非單點(diǎn)的Λ上才需要對(duì)影構(gòu)造。而一旦嚴(yán)格以運(yùn)算進(jìn)攻相關(guān)刻畫(huà),在(X,F)上作{F0(α)|α∈X}劃分,并不需要繁復(fù)地定義對(duì)影,而直接運(yùn)算出對(duì)影來(lái)。

下面依據(jù)文獻(xiàn)[8]給出對(duì)影偏好的定義,對(duì)(X,F)采用集序刻畫(huà)劃分對(duì){F0(α)|α∈X}中非單點(diǎn)集F0(α)中任何兩點(diǎn)α、β的對(duì)影如下:稱集序?qū)?F+,F->為F在兩點(diǎn)α、β上的有序?qū)τ凹?簡(jiǎn)稱對(duì)影,記為φαβF=,并分別稱F+、F-為左右分影,若F+、F-滿足:(1)任何γ、η若F0(γ)∩F0(η)=?,若γ∈F(η)(此時(shí)必有η?F(γ))則對(duì)F+、F-分別規(guī)定,γ∈F+(η)、η?F+(γ)以及γ∈F-(η)、η?F-(γ);(2)任何γ、η若F0(γ)∩F0(η)≠?,且F0(γ)∩F0(α)=?,則對(duì)F+、F-分別規(guī)定,γ∈F+(η)、η∈F+(γ)及γ∈F-(η)、η∈F-(γ);(3)任何γ、η若F0(γ)∩F0(η)≠?,且F0(γ)∩F0(α)≠?。由于F0(γ)=F0(η)=F0(α)=F0(β)且γ、η、α、β∈F0(α),此時(shí)對(duì)F+、F-兩方面分別規(guī)定:一方面,β∈F+(α)、α?F+(β),其他任何不同于α、β的γ∈F0(α),β∈F+(γ)、γ∈F+(β);另一方面,α∈F-(β)、β?F-(α),其他任何不同于α、β的γ∈F0(α),β∈F-(γ)、γ∈F-(β)。

以上定義φαβF=是基于集序F決定的分劃中一個(gè)具體分劃集中確定的兩個(gè)等價(jià)元而形成的對(duì)影;當(dāng)然,其中選擇的兩個(gè)等價(jià)元α、β具有自由度,并且后續(xù)將看到按對(duì)影定義取定的等價(jià)元α是實(shí)質(zhì)性的,本質(zhì)上φαβF可記為φαF。另外,其中獲得的對(duì)影中兩個(gè)分影都為集值映射,而且F+∈FX、F-∈FX,即F+、F-也在集序空間之中。由F+∈FX,也可再選定集序F+決定的分劃中一個(gè)具體分劃集中任意確定的兩個(gè)等價(jià)元而形成的對(duì)影,具有左右分影;這里任意等價(jià)元確定后,由F-∈FX,集序F-決定的分劃和F+決定的分劃是相同的分劃,F-依據(jù)已經(jīng)確定了兩個(gè)等價(jià)元也可形成的對(duì)影,具有左右分影。顯然,F+的左分影和F-的右分影能形成對(duì)影,這在文獻(xiàn)[8]中已經(jīng)證明。累次把對(duì)影的左右分影做對(duì)影分解,左分影的下次左分影和右分影的下次右分影未必能形成對(duì)影,但是左右分影決定的劃分是相同的,只要以相同的確定等價(jià)元作下次的左右分影,下次左分影和下次右分影能構(gòu)造出對(duì)影。為此,文獻(xiàn)[8]提出了整個(gè)F的對(duì)影φ(F)。顯然,整個(gè)F的對(duì)影φ(F)在F決定的分劃中具有自由度,從而造成構(gòu)造路徑的分歧。

顯然,以輪換映射來(lái)構(gòu)造偏好序的對(duì)影,十分繁復(fù),但以一個(gè)具體的T:2X→2X單元收縮映射來(lái)構(gòu)造整個(gè)F的對(duì)影φ(F),其中等價(jià)元的選擇也具有自由度,表現(xiàn)為T:2X→2X單元收縮映射的自由性。但是,只要T:2X→2X單元收縮映射前置性確定了,整個(gè)F的對(duì)影φ(F)是確定的。為此,采用單元收縮映射構(gòu)造和刻畫(huà)對(duì)影是確定的并且非常簡(jiǎn)單。為方便論證,先給出單元收縮映射的一個(gè)引理。

引理在(X,F)上以{F0(α)|α∈X}形成X的分劃上取Λ∈{F0(α)|α∈X}。若Λ為非單點(diǎn)集,不妨設(shè)β、γ∈Λ,并作F在兩點(diǎn)β、γ上的有序?qū)τ凹颚咋娄肍=,則{{F0(α)|α∈X}Λ}∪{β}∪{Λβ}同時(shí)為兩個(gè)集序(X,F+)等價(jià)族劃分和(X,F-)等價(jià)族分劃。而Λ為非單點(diǎn)集記T(Λ)=Λ{β},Λ為單點(diǎn)集,記T(Λ)=?,則可擴(kuò)出某個(gè)單元收縮映射T:2X→2X。

該引理無(wú)需證明。按照文獻(xiàn)[8],以及本文對(duì)影形成集序刻畫(huà),引理是自明的。而采用R及″″等符號(hào)定義對(duì)影必須依據(jù)兩元刻畫(huà)并記φαβFφβγF,但從{{F0(α)|α∈X}Λ}∪{β}∪{Λβ}來(lái)看φβγF可記為φβF,后續(xù)集序方法構(gòu)造更為便利,為此采用單元對(duì)影也更準(zhǔn)確,從而采用之。同時(shí),這個(gè)引理說(shuō)明:一個(gè)對(duì)影中的左右分影形成的等價(jià)族分劃是相同的,一個(gè)對(duì)影還精細(xì)化了和細(xì)化了等價(jià)族分劃。對(duì)影的逐步分影分解正對(duì)應(yīng)著等價(jià)族分劃的細(xì)分過(guò)程。如果,考慮單元收縮映射和等價(jià)族分劃,顯然不同的單元收縮映射可能在對(duì)影分解為左右分影中產(chǎn)生相同的收縮效果。這說(shuō)明單元收縮映射的構(gòu)造比對(duì)影分解構(gòu)造更為廣泛。

在(X,F)上加載某單元收縮映射T:2X→2X,取Λ∈{F0(α)|α∈X}為X分劃的一個(gè)等價(jià)族,記supΛ=F(ΛT(Λ))F0(ΛT(Λ),并記F+:X→2X和F-:X→2X如下:

(1)

(2)

定理2在(X,F)上加載某個(gè)單元收縮映射T:2X→2X,在Λ∈{F0(α)|α∈X}取ΛT(Λ)=α,則由式(1)、式(2)決定的=φαF。式(1)、式(2)構(gòu)造了F在點(diǎn)α上的有序?qū)τ凹颉?/p>

證明按定理結(jié)論,需要證明式(1)、式(2)中集值映射是集序,并且構(gòu)成的對(duì)影。本質(zhì)上,明式(1)、式(2)的構(gòu)造中實(shí)在F(x)收縮,即總有F+(x)?F(x)、F-(x)?F(x)成立。

先證明式(1)、式(2)中F+:X→2X、F-:X→2X為集序,即要整證F+、F-適合自反性、完全性和傳遞性。以F+為例試證,由于?x∈X,x∈F(x),注意到式(1)中F+(x)三個(gè)部分,故而只需考慮x∈T(Λ)情形。再按定理2中標(biāo)定的ΛT(Λ)=α,而又按單元收縮映射定義,T(Λ)=Λα,故x∈T(Λ)情形中x≠α,其F+(x)對(duì)應(yīng)情形F(x){ΛT(Λ)}中僅排除ΛT(Λ),即僅排除α,而沒(méi)有排除x。故x∈F(x)仍保證了x∈F(x){ΛT(Λ)}。故而,式(1)定義的F+(x)的三種情形都適應(yīng)x∈F+(x),適合自反性。

再證式(1)定義的F+(x)適合傳遞性,即要證?x∈X以及其中任何η∈F+(x),均有F+(η)?F+(x)。同樣要注意式(1)中F+(x)三種情形,前兩種情形中F+(x)=F(x),而式(1)中構(gòu)造性總能保證F+(η)?F(η)成立,從而對(duì)于式(1)中F+(x)前兩種情形x?Λ或x=ΛT(Λ)=α中,總有F+(η)?F(η)?F(x)=F+(x)成立,即總有F+(η)?F+(x)。為此,只要證明式(1)中F+(x)為式(1)第三種x∈T(Λ)情形,F+(x)也適合傳遞性。此時(shí)F+(x)在F(x)上收縮了,但僅僅只收縮了單點(diǎn),即F+(x)=F(x){ΛT(Λ)}=F(x)α。從而,考察x∈T(Λ)時(shí)的任何η∈F+(x)及對(duì)應(yīng)F+(η),若F+(η)本身不含α(即α?F+(η)),結(jié)合F+(η)?F(η)性質(zhì),總有F+(η)?F(η)?F(x),必然有F+(η)?F(x)α,那么F+(η)?F+(x)已經(jīng)成立。

而當(dāng)x∈T(Λ)及η∈F+(x)時(shí),若F+(η)本身包含α(α∈F+(η)),那么由式(1)中F+(x)構(gòu)造的第三情形中F(x){ΛT(Λ)}排除了α,所以此時(shí)F+(η)不在式(1)的F+(x)構(gòu)造第二情形中,即η≠α(即ΛT(Λ));此時(shí),只能是η∈T(Λ)或η?Λ,對(duì)應(yīng)記為第一種情況、第二種情況;并且后續(xù)將證明這里第二種情況將產(chǎn)生矛盾,從而只能是第一種情況。對(duì)于第一種情況η∈T(Λ),F+(η)=F(η){ΛT(Λ)}排除α,這就矛盾與F+(η)本身包含α。從而只能是第二種情況η?Λ,而且x∈T(Λ)及η∈F+(x),α∈F+(η),這將導(dǎo)致矛盾。因?yàn)棣?Λ,Λ是在(X,F)等價(jià)族劃分之中,既然ΛT(Λ)=α,α∈Λ,Λ=F0(α)=Λ=F(α)∩F-1(α),從而η?F0(α)中是η?F(α)或者η?F-1(α),不過(guò)其中的“η?F(α)”可以排除。為排除“η?F(α)”,結(jié)合x(chóng)∈T(Λ)及η∈F+(x),x∈T(Λ)?Λ=F0(α)保證了x∈F(α)且α∈F(x),而集序又保證了F(x)?F(α)且F(α)?F(x),則F(x)=F(α)。再由η∈F+(x)?F(x),結(jié)合F(x)=F(α),排除“η?F(α)。從而η?F0(α)中只能是η?F-1(α)。

在第二種情況η?Λ下,只能是η?F-1(α),結(jié)合集序F的完全性,η?F-1(α)推導(dǎo)出α?F(η),那么F+(η)?F(η),那么α?F+(η)這直接于在第二種情況的前提假設(shè)α∈F+(η)矛盾。于是,第二種情況并不出現(xiàn)。第一種情況F+已經(jīng)適合了傳遞性。

綜上所述,在F+的三種構(gòu)造情形種,F+確實(shí)都是適合傳遞性的。下面證明F+適合完全性。為此,取任意的γ、η∈X,并設(shè)┑γ∈F+(η),只需要證明η∈F+(γ)。┑γ∈F+(η)按式(1)的F+三種構(gòu)造,即第一種情形η?Λ,F+(η)=F(η)時(shí)┑γ∈F+(η);第二種情形η=ΛT(Λ)=α,,F+(η)=F(η)時(shí)┑γ∈F+(η);第三種情形η∈T(Λ),,F+(η)=F(η){ΛT(Λ)}時(shí)┑γ∈F+(η)。

第一種情形η?Λ,F+(η)=F(η)時(shí)┑γ∈F+(η),當(dāng)然┑γ∈F(η),那么由F完全性,η∈F(γ);再由η?Λ,η≠α,則η∈F(γ)α,從而無(wú)論F+(γ)處于式(1)的何種情況都有η∈F+(γ)。

第二種情形η=ΛT(Λ)=α,,F+(η)=F(η)時(shí)┑γ∈F+(η);當(dāng)然┑γ∈F(η)(也即┑α∈F(η)),那么由F完全性有η∈F(γ)(也即α∈F(γ));按式(1)F+三種情形考察F+(γ),前兩種情形在F+(γ)=F(γ),總有η∈F+(γ)成立。而一旦F+(γ)按第三種情形構(gòu)造時(shí),當(dāng)然為γ∈T(Λ)(即γ∈Λ且γ≠α)F+(γ)=F(γ)α,但這將不會(huì)出現(xiàn)。因?yàn)榇藭r(shí),γ∈T(Λ)中雖然實(shí)質(zhì)上γ∈Λ且γ≠α,但按照Λ等家族的屬性,γ∈T(Λ)顯然與┑γ∈F(η)本身矛盾;畢竟,γ∈T(Λ)保證了γ∈T(Λ)?Λ=F0(α)?F(α)=F(η)。

第三種情形η∈T(Λ),F+(η)=F(η){ΛT(Λ)}時(shí)┑γ∈F+(η)。這時(shí),即使γ∈F(η)也會(huì)出現(xiàn)γ=α而導(dǎo)致┑γ∈F+(η),但這是仍然可證η∈F+(γ)。因?yàn)樵讦?α?xí)r,η∈T(Λ)由Λ是等價(jià)族F0(α),這至少保證了η∈F(α),以及由η∈T(Λ)推出η≠α,從而η∈F(α)α,結(jié)合γ=α,當(dāng)然有η∈F(γ)α,那至少在γ按式(1)第三情形也有η∈F+(γ)。

而第三種情形η∈T(Λ),F+(η)=F(η){ΛT(Λ)}時(shí)┑γ∈F+(η),即使γ≠α,也可證明η∈F+(γ)。顯然,若γ≠α?xí)r┑γ∈F+(η)在即使其中F+(η)擴(kuò)充α也成立,即┑γ∈(F+(η)∪{α})成立,則按式(1)構(gòu)造,無(wú)論何種的T(γ)都會(huì)有┑γ∈F(η)成立。那么由集序F的完全性,┑γ∈F(η)保證了η∈F(γ),再結(jié)合η≠α,當(dāng)然有η∈F(γ)α。于是按式(1)無(wú)論何種形式F+(γ)時(shí),都有η∈F+(γ)。

合并以上三種情形的論證,都有┑γ∈F+(η)能導(dǎo)出η∈F+(γ),F+的完全性得證。

綜上所述,F+是適合自反性、傳遞性、完全性,那么“F+是集序”成立。

如果比較式(1)的F+構(gòu)造和式(2)的F-構(gòu)造,F+與F-都是在F的特定點(diǎn)上壓縮,F+是特定點(diǎn)上一次壓縮,而F-是在特定點(diǎn)上多次壓縮。一方面,從對(duì)稱性上可以斷定F-集序;另一方面,在α上逐次特定壓縮F,按照以上證明都保證了每次壓縮后的集序性,也可以斷定F-集序。

余下即證明=φα(F)即可。依據(jù)文獻(xiàn)[7]對(duì)影定義比較繁瑣,而直接從對(duì)應(yīng)的集序刻畫(huà)的定義則極為方便。為此,證明=φα(F)只需以及對(duì)影集序特征,充分分析式(1)式(2)的構(gòu)造即可,也即分三種情況分析即可。

按對(duì)影集序:(1)若任何γ、η滿足F0(γ)∩F0(η)=?,則顯然γ、η不同時(shí)在Λ(即F0(α))之中。若γ、η都不在Λ中,按式(1)、式(2)規(guī)定的F+(γ)=F-(γ)=F(γ)以及F+(η)=F-(η)=F(η),顯然由γ∈F(η)(此時(shí)必有η?F(γ))能導(dǎo)出γ∈F+(η)、η?F+(γ)以及γ∈F-(η)、η?F-(γ)。而即使若γ、η只有一個(gè)在Λ中,以γ∈Λ而η?Λ為例,按式(1)、式(2)規(guī)定的F+(η)=F-(η)=F(η),顯然由γ∈F(η)(此時(shí)必有η?F(γ))仍然能導(dǎo)出γ∈F+(η)、η?F+(γ)以及γ∈F-(η)、η?F-(γ)。

按對(duì)影集序:(2)若任何γ、η若F0(γ)∩F0(η)≠?,且F0(γ)∩F0(α)=?;此時(shí)必有F0(γ)=F0(η),F0(γ)∩F0(α)=?,F0(η)∩F0(α)=?,這將有γ、η都不在Λ中。按式(1)、式(2)規(guī)定的F+(γ)=F-(γ)=F(γ)以及F+(η)=F-(η)=F(η),結(jié)合F0(γ)=F0(η)直接就γ∈F+(η)、η∈F+(γ)以及γ∈F-(η)、η∈F-(γ)。

按對(duì)影集序:(3)若任何γ、η為不同元素,滿足F0(γ)∩F0(η)≠?且還滿足F0(γ)∩F0(α)≠?時(shí),則F0(γ)=F0(η)=F0(α)且γ、η、α∈F0(α),F0(α)=Λ。此時(shí),按式(1)、式(2)規(guī)定F+(γ)、F-(γ)可能會(huì)不等于F(γ),F+(η)、F-(η)可能會(huì)不等于F(η),需要分類判斷式(1)、式(2)的F+、F-能否符合對(duì)影的集序特征。

此時(shí),既然γ、η、α∈F0(α)=Λ,那么,可能γ、η≠α,或者γ、η僅一個(gè)為α。先考慮當(dāng)γ、η≠α?xí)r,即γ、η∈T(Λ),按照式(1)、式(2)的構(gòu)造,有F+(γ)=F(γ)α、F+(η)=F(η)α,而F-(γ)=F(γ)、F-(η)=F(η)。一方面,顯然有γ、η∈F0(α)?F(α)=F+(α),但α?F+(γ)=F(γ)α,α?F+(η)=F(η)α,并且結(jié)合以前結(jié)論F(γ)=F(η)=F(α),并即使F(γ)、F(η)都排除α后得到F+(γ)、F+(η),但結(jié)合γ、η≠α,仍然有η∈F+(γ)、γ∈F+(η)成立。另一方面,由于有F-(γ)=F(γ)、F-(η)=F(η),同樣結(jié)合以前結(jié)論F(γ)=F(η)=F(α),α∈F(α),并再次注意到F-(α)=F(α)T(Λ),從而有α∈F-(γ)、α∈F-(η)及γ、η?F-(α),以及η∈F-(γ)、γ∈F-(η)同時(shí)成立。

再考慮γ、η僅一個(gè)為α,例如以γ≠α、η=α為例,但此時(shí)按“對(duì)影集序刻畫(huà)”需要驗(yàn)證得“集序關(guān)系”事實(shí)上都在論證中得以驗(yàn)證了。從而,更符合“對(duì)影定義”。

從而式(1)、式(2)所規(guī)定得F+、F-確實(shí)適合對(duì)影定義”,=φαF。

全面綜合以上所述,本定理得證。

定理3在(X,F)形成的集序空間FX上,對(duì)于任何一個(gè)集序F∈FX,均有F的對(duì)影φ(F)=存在。同時(shí),對(duì)影φ(F)中并不唯一,可以以單元縮減構(gòu)造。

說(shuō)明,本定理是定理2的順延,無(wú)需特別證明。只要把定理2中的單點(diǎn)對(duì)影構(gòu)造φαF進(jìn)行逐次循環(huán)構(gòu)造即可,也即累次把對(duì)影的左右分影做對(duì)影分解,左分影的下次左分影和右分影的下次右分影未必能形成對(duì)影,但是左右分影決定的劃分是相同的,只要以相同的確定等價(jià)元作下次的左右分影,下次左分影和下次右分影能構(gòu)造出對(duì)影。

3 余論

上文考察了社會(huì)選擇函數(shù)集結(jié)中的對(duì)影的構(gòu)造和部分性質(zhì),其中對(duì)影中的左右分影能到序向的嚴(yán)格化。這就給出了弱序偏好的強(qiáng)序化路徑,強(qiáng)序化為分影偏好,但集結(jié)中的一個(gè)弱序是等價(jià)于一組強(qiáng)序。上文通過(guò)分析對(duì)影的部分基本性質(zhì),在對(duì)影的判別中是可以聯(lián)系孔多塞循環(huán)和輪換,但是,在對(duì)影構(gòu)造上單元收縮映射更為普遍,在對(duì)影判別上輪換、等價(jià)族分解卻更為方便。

另外,從文獻(xiàn)[3]總結(jié)的系列方法,以及文獻(xiàn)[12]的投影分析上,可以發(fā)現(xiàn)集結(jié)落實(shí)到單純算法層面上,則約束公理配置確實(shí)是內(nèi)化到運(yùn)算之中,從而其一般研究范式具有統(tǒng)一性,但也產(chǎn)生了算法統(tǒng)一性問(wèn)題。僅在運(yùn)算層面上實(shí)現(xiàn)概念刻畫(huà)和集結(jié)特征判斷,顯然能解決群決策中約束公理配置的混亂。例如,如果進(jìn)一步完善偏好的嚴(yán)格化構(gòu)造,則文獻(xiàn)[14]所討論的不完全偏好下的決策能完美解決了?；谝陨贤?fù)錁?gòu)造的探索,后續(xù)進(jìn)一步開(kāi)拓共識(shí)的算法研究具有廣闊的前景,文獻(xiàn)[15]中的一些共識(shí)算法可再粗糙地構(gòu)造,從而具有更普遍地適用性。