點(diǎn)到直線距離公式在橢圓和雙曲線中的推廣

四川省什邡中學(xué) (618400) 楊勇軍 紀(jì)定春

四川師范大學(xué)附屬中學(xué)(高中) (610066) 周其祥

一、問(wèn)題提出

二、點(diǎn)到直線距離公式的兩個(gè)形式統(tǒng)一的推廣

2.1 距離公式在橢圓中的推廣

性質(zhì)1 (1)當(dāng)d>1時(shí),直線與橢圓相離;(2)當(dāng)d=1時(shí),直線與橢圓相切;(3)當(dāng)0≤d<1時(shí),直線與橢圓相交．

上述證明方法能夠有效避免消元和判別式法,比較適合高中學(xué)生．當(dāng)然,性質(zhì)1還有更加簡(jiǎn)潔的證明方法,具體如下:

2.2 距離公式在雙曲線中的推廣

證明：略．具體證明和論述過(guò)程可以參考文獻(xiàn)[1]．

接下來(lái),對(duì)推廣2進(jìn)行證明,具體如下:

性質(zhì)2 (1)當(dāng)d>1時(shí),直線與雙曲線相交;(2)當(dāng)d=1時(shí),直線與雙曲線相切;(3)當(dāng)0

在拓廣平面內(nèi),即在歐氏平面的基礎(chǔ)上,增加無(wú)窮遠(yuǎn)直線和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)．橢圓和雙曲線在拓廣平面內(nèi),同屬于封閉圖形,但是橢圓和雙曲線在無(wú)窮遠(yuǎn)直線(或點(diǎn))處的性質(zhì)又有細(xì)微的差異．在距離無(wú)窮遠(yuǎn)直線處,橢圓與無(wú)窮遠(yuǎn)直線相離,而雙曲線與無(wú)窮遠(yuǎn)直線相交,即有兩個(gè)不同的實(shí)無(wú)窮遠(yuǎn)交點(diǎn),這兩個(gè)點(diǎn)將拓廣平面內(nèi)封閉的雙曲線分割成兩支,即為歐氏平面內(nèi)的雙曲線．上述性質(zhì)2中的仿射變換,是將雙曲線的外部變換成一個(gè)單位虛圓,而經(jīng)過(guò)該圓內(nèi)部的任意線段的長(zhǎng)度是無(wú)窮的,因此有上述性質(zhì)2的第(3)．

但是,對(duì)于d=0時(shí)的特殊情況,直線與雙曲線是相交或相離的．其中相交是很好理解的,即連接拓廣平面內(nèi)雙曲線被無(wú)窮遠(yuǎn)直線分割的兩個(gè)部分,其必有交點(diǎn),在歐式幾何中表現(xiàn)為連接雙曲線的兩支的任意兩點(diǎn),其必定經(jīng)過(guò)縱坐標(biāo)．相離可以理解為直線即為拓廣平面內(nèi)的無(wú)窮遠(yuǎn)直線,在歐氏平面內(nèi)為雙曲線的兩條漸近線之一．