一道人教A版教材習(xí)題的變式拓展

廣東省佛山市南海中學(xué) (528211) 周鴻高

題目(選擇性必修第一冊(cè)P89習(xí)題2.4·題8)長(zhǎng)為2a的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng),求線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程,并說明軌跡的形狀．

事實(shí)上,此題說明了產(chǎn)生圓的另一種方法,即定長(zhǎng)線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別在夾角為直角的相交直線上滑動(dòng),線段中點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓．據(jù)此,若改變一些條件,其軌跡又是什么呢?筆者進(jìn)行了一些變式拓展,得到如下一般性結(jié)論．

1．變式一 改變中點(diǎn)為定比分點(diǎn)

由此可知,當(dāng)λ=1時(shí),點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=a2,表示一個(gè)圓;當(dāng)0<λ<1時(shí),點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上一個(gè)橢圓;當(dāng)λ>1時(shí),點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在y軸上一個(gè)橢圓．

2．變式二 改變直角為定夾角

問題2 長(zhǎng)為2a的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在夾角為θ(0°<θ≤90°)的相交直線l1與l2上滑動(dòng),求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程．

解析：由于問題1得到的軌跡方程是標(biāo)準(zhǔn)方程,容易討論軌跡,本題如何建系很關(guān)鍵．

圖1

3．拓展一 定夾角與定比分點(diǎn)

圖2

4．拓展二 改變相交直線為異面直線

圖3

參照問題3的解答,可求得點(diǎn)P的軌跡方程,從而可知點(diǎn)P的軌跡情況．

5．拓展三 改變兩條直線為直線與平面

例題(2018·佛山二?！だ?1)如圖4,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)P、Q分別在底面ABCD、棱AA1上運(yùn)動(dòng),且PQ=4,點(diǎn)M為線段PQ的中點(diǎn),則當(dāng)P,Q運(yùn)動(dòng)時(shí),則線段C1M的長(zhǎng)度的最小值為( ).

圖4

此題可變式如下: