圖解與雙曲線有關(guān)的區(qū)域問題*

江蘇省張家港市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 (215600) 何 威 魏 丹

一、問題提出

圓是完美的圖形,學(xué)生容易理解圓的有關(guān)區(qū)域問題,如圓分整個(gè)平面為三個(gè)部分:圓上、圓內(nèi)、圓外;再如從平面內(nèi)一點(diǎn)P做圓的切線的情況:當(dāng)P在圓內(nèi)時(shí),0條;當(dāng)P在圓上時(shí),1條;當(dāng)P在圓外時(shí),2條.這一結(jié)論可類比推理,在橢圓、拋物線中得到十分類似的結(jié)論.然而到了雙曲線,情況就復(fù)雜多了,這一部分是學(xué)生理解和識(shí)記的難點(diǎn).相比于圓與橢圓,雙曲線的圖象一方面是由分開的左、右支構(gòu)成的,另一方面雙曲線有漸近線,這些特性使得需要分類討論的情況更多.

為了幫助學(xué)生厘清與雙曲線有關(guān)的區(qū)域問題,筆者在教學(xué)中用圖解的方式,讓學(xué)生從形感知,從數(shù)推理,在知識(shí)之間構(gòu)建整體的聯(lián)系,借助直觀化策略提升學(xué)生的推理與想象能力,加深對(duì)雙曲線區(qū)域問題的理解與記憶.

二、圖解區(qū)域問題

2.1 雙曲線分平面的不同區(qū)域

類比點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系,點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系如何刻畫?

圖1

圖2

實(shí)際上,區(qū)域Ⅰ稱之為雙曲線的內(nèi)部,區(qū)域Ⅱ稱之為雙曲線的外部.

2.2 雙曲線中點(diǎn)弦存在的區(qū)域

問題2 中點(diǎn)弦是圓錐曲線中的重要性質(zhì),雙曲線的中點(diǎn)弦什么時(shí)候存在?

二是用層級(jí)式的學(xué)習(xí)，用與優(yōu)秀人員之間的差距，讓阿姨從急功近利式的節(jié)奏中慢下來，幫助她們認(rèn)真充電，做好儲(chǔ)備。

結(jié)論2 (如圖3)①若點(diǎn)P在雙曲線上,或漸近線上,或在區(qū)域Ⅲ時(shí),Δ≤0,此時(shí)中點(diǎn)弦不存在.

圖3

②若點(diǎn)P在雙曲線的區(qū)域Ⅰ與區(qū)域Ⅱ時(shí),Δ>0,此時(shí)中點(diǎn)弦存在.

2.3 雙曲線的切線條數(shù)的區(qū)域

問題3 類比直線與橢圓中的研究方法,過一點(diǎn)可作幾條雙曲線的切線?

以下先來研究(*)式解的情況,同時(shí)注意結(jié)合斜率不存在時(shí)可能存在切線的情況,結(jié)論如下:

(1)當(dāng)x0=±a,y0=0時(shí),(*)式無解,此時(shí)還有一條平行于y軸的切線.

(2)當(dāng)x0=±a,y0≠0且y0≠±b時(shí),(*)式有唯一解,此時(shí)有兩條切線,其中一條平行于y軸.

綜上所述,由定點(diǎn)所確定的切線條數(shù)的區(qū)域如下.

結(jié)論3 (如圖3)①若P在原點(diǎn)O處,或在雙曲線內(nèi)(區(qū)域Ⅰ),可作0條切線;②若P在漸近線上(除O外),或在雙曲線上,可作1條切線;③若P在雙曲線外且不在漸近線上(區(qū)域Ⅱ,Ⅲ),可作2條切線.

2.4 與雙曲線有唯一公共點(diǎn)的區(qū)域

問題4 過點(diǎn)P作與雙曲線有唯一公共點(diǎn)的直線有幾條?

注意到當(dāng)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),有兩種情況:相交(直線與漸近線平行時(shí))或相切.在問題3中已經(jīng)研究了切線條數(shù)的情況,只需研究與漸近線平行的相交直線的條數(shù)即可.

當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)O處,有0條與漸近線平行的相交直線;當(dāng)點(diǎn)P在漸近線上(除O外),可作1條與漸近線平行的相交直線;當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線上,或在區(qū)域Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,可作2條與漸近線平行的相交直線.

此時(shí)再加上問題3中相切的條數(shù),歸納得如下情況(如圖3):

結(jié)論4 ①若P同時(shí)在原點(diǎn)O處,可作0條;②若點(diǎn)P在雙曲線內(nèi)(區(qū)域Ⅰ),或在漸近線上(除O外),可作2條;(在雙曲線內(nèi),此時(shí)兩條均相交;在漸近線上(除O外),一條相切一條相交).③若點(diǎn)P在雙曲線上,可作3條,一條相切,兩條相交.④若點(diǎn)P在雙曲線外的區(qū)域Ⅱ與區(qū)域Ⅲ,有4條,兩條相切,兩條相交.

三、教學(xué)反思

在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中,抽象思維的要求越來越高,教學(xué)時(shí)需尊重學(xué)生認(rèn)知思維的發(fā)展規(guī)律,設(shè)置必要的思維梯度.整體看待單元知識(shí),并對(duì)單元知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行重組,呈現(xiàn)出環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)的邏輯鏈結(jié)構(gòu),培養(yǎng)由簡(jiǎn)至繁的思維習(xí)慣.例如區(qū)域問題的4個(gè)層次,從最簡(jiǎn)單的點(diǎn)與曲線的位置,到中點(diǎn)弦存在區(qū)域、再到切線條數(shù)區(qū)域和唯一公共點(diǎn)區(qū)域,情況逐漸復(fù)雜,邏輯依次遞進(jìn),加強(qiáng)了知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系.

此外,借助直觀化的方法可適當(dāng)減輕學(xué)生思維的抽象性負(fù)擔(dān),破解學(xué)生的心理障礙.形象思維是人們發(fā)現(xiàn)、掌握事物本質(zhì)的初始能力,數(shù)學(xué)知識(shí)本身就具有豐富的表象.而高中數(shù)學(xué)的抽象復(fù)雜是很多學(xué)生比較畏懼的,可借助多感官參與,給學(xué)生聯(lián)想、想象的空間,讓形象思維與抽象思維相得益彰.