關(guān)注“裂項”新動態(tài)

伏建彬 郝文華

(1.徐州高等師范學(xué)校 2.北京師范大學(xué)鹽城附屬學(xué)校)

1 問題的提出

高考評價理念由傳統(tǒng)的“知識立意、能力立意”轉(zhuǎn)向“能力為重、知識為基、價值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向”,基于此,高考試題的命制風(fēng)格也會隨之發(fā)生轉(zhuǎn)變.縱觀近幾年高考數(shù)學(xué)試卷,總體給人一種耳目一新的感覺,試題雖不失通性通法,但普遍立意深遠(yuǎn)、靈活多變.命題風(fēng)格的變化,也給高考備考復(fù)習(xí)帶來一定的“壓力”,傳統(tǒng)講練式的復(fù)習(xí)效果似乎越來越不明顯,這不僅僅體現(xiàn)在幾個“難題”上,“基礎(chǔ)題”也不再是“一成不變”的.特別是較為簡單的解答題,將數(shù)列與解三角形、基本初等函數(shù)等知識交會,在這類題上“卡殼”的同學(xué)大有人在,這不得不引起一線教師的關(guān)注.本文以數(shù)列試題中近幾年出現(xiàn)的“裂項求和”為例,通過幾個典型的問題,展示試題裂項的創(chuàng)新點,反思復(fù)習(xí)備考的實施路徑及基本策略.

2 創(chuàng)新體例評析

2.1 指數(shù)式裂項

例1已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和,a1＝1,且nan－Sn＝n2－n(n∈N*).

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;

點評由于數(shù)列{bn}為分式結(jié)構(gòu)形式,分母為相鄰兩項之積,自然想到裂項相消求和,但此過程利用到了22n＋1＝4×22n－1這一獨特性質(zhì),前面提取即可成功裂項.從以往高考試題可以看出,指數(shù)式裂項還會出現(xiàn)新的變化與延伸,例如,一次式與指數(shù)式的組合:

2.2 對數(shù)式裂項

例2已知數(shù)列{an}中,a1＝1,a3＝9,{an＋1－an}是公差為2的等差數(shù)列.

(1)求{an}的通項公式;

點評盡管數(shù)列{bn}不是裂項的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu),但因為對數(shù)運算這種獨特的變化形式,也會產(chǎn)生相鄰兩項差的結(jié)構(gòu),這在試題中也會偶爾出現(xiàn).

2.3 三角函數(shù)式裂項

例3在1 和100 之間插入n個實數(shù),使得這n＋2個數(shù)構(gòu)成單調(diào)遞增的等比數(shù)列,將這n＋2個數(shù)的乘積記為Tn,再令an＝lgTn(n≥1).

(1)求{an}的通項公式;

(2)設(shè)bn＝tanan·tanan＋1,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.

解析(1)an＝n＋2(求解過程略).

(2)易知

點評本題巧妙地將裂項相消法、兩角和與差的正切公式結(jié)合在一起,看似無從下手,但若能認(rèn)識到高中階段只有兩角和與差的正切公式才具有bn＝tanan·tanan＋1(“正切×正切”)的獨特結(jié)構(gòu)形式,問題便可迎刃而解.

例4已知2n＋2個數(shù)排列構(gòu)成以qn(qn＞1)為公比的等比數(shù)列,其中第1個數(shù)為1,第2n＋2個數(shù)為8,設(shè)an＝log2qn.

所以數(shù)列{bn}的前100項和S100＝－99.

點評對于三角函數(shù)式裂項,除了上述正切公式外,近年來,在高中數(shù)學(xué)競賽及高校強(qiáng)基計劃校考中還偶爾會出現(xiàn)利用“積化和差”“和差化積”等公式進(jìn)行裂項.

2.4 階乘式裂項

例5已知數(shù)列{an}各項都為正數(shù),且－nanan－1＋an－nan－1＝0(n≥2,n∈N*),a1＝1.

(1)求{an}的通項公式;

點評在高中階段,數(shù)列的求和方法大體分為公式法、分組求和法、并項求和法、倒序相加法、錯位相減法和裂項相消法,具體解題過程中,往往需根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征來選取合適的求和方法.本題為分式結(jié)構(gòu),可先嘗試裂項,再從后往前推即可.對于階乘式裂項,除了上述結(jié)構(gòu)外,還有n·n!＝(n＋1)!－n!,直接利用此裂項,可求得1!＋2·2!＋3·3!＋…＋n·n!＝(n＋1)!－1.

2.5 奇偶項裂項

例6已知數(shù)列{an}滿 足a1＝14,an＋1＝3an－4.

(1)求{an}的通項公式;

解析(1)an＝4×3n＋2(求解過程略).

(2)由題意可得

點評奇偶項裂項中間用“＋”相連,這與常規(guī)裂項不同,之所以能夠“相消”,是因為有(－1)n來進(jìn)行正負(fù)號的調(diào)節(jié),求解問題時需引起注意.

2.6 無理式裂項

例7已知正項數(shù)列{an}滿足a1＝1,且

2.7 放縮裂項

例8已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1＝2,(n－2)Sn＋1＋2an＋1＝nSn(n∈N*).

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;

點評對于此類問題,求和往往伴隨著放縮,解題時需根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征適度放縮,構(gòu)造裂項的條件,使求和的結(jié)果恰到好處,需注意放縮的起點項的選取.

2.8 其他裂項

例10意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時,發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù):1,1,2,3,5,8,…,該數(shù)列的特點是:前兩個數(shù)均為1,從第三個數(shù)起,每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{fn}稱為斐波那契數(shù)列,化簡

點評裂項的本質(zhì)屬性是“分解與組合”,此方法并非數(shù)列求和的專屬方法,學(xué)生在考試過程中之所以出現(xiàn)思維“卡殼”,并非學(xué)生不知道有裂項這種求和方法,而是學(xué)生不知道何時用到此方法,或不知道如何創(chuàng)設(shè)利用此方法的條件,這就需要豐富“分解與組合”的變形樣態(tài)和表征形式.

3 小結(jié)

隨著近年來試題靈活度的增強(qiáng),學(xué)生直接套公式進(jìn)行解題有時已經(jīng)不起作用了,單純通過記憶幾種裂項相消的結(jié)論來處理裂項求和問題,是達(dá)不到解題效果的,而不斷總結(jié)新出現(xiàn)的裂項模式又無形增加了學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān),新題層出不窮,裂項形式也總結(jié)不完,如果再遇到新題,可能還是束手無策.教師在教學(xué)中要淡化解題技巧,減少機(jī)械性訓(xùn)練,避免把教學(xué)的重心放在裂項形式的總結(jié)上,要引導(dǎo)學(xué)生用研究者的眼光分析問題,挖掘數(shù)學(xué)的本質(zhì),通過對數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練來提升自己的解題素養(yǎng).裂項的本質(zhì)不僅僅是一種解題方法,更是一種思維方式,即通過分解、重組數(shù)列中的項,來相互抵消部分項,而達(dá)到求和的目的.在教學(xué)實踐中,教師要鼓勵學(xué)生大膽地嘗試,富有創(chuàng)造性地分裂、變形、配湊,而不是程序化地記憶裂項模式,應(yīng)在問題解決的過程中,提升學(xué)生的創(chuàng)新能力,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.

(完)