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    函數(shù)誠(chéng)可貴 同構(gòu)價(jià)更高

    2023-09-28 05:09:54陳熙春正高級(jí)教師
    高中數(shù)理化 2023年15期
    關(guān)鍵詞:同構(gòu)等價(jià)對(duì)數(shù)

    陳熙春(正高級(jí)教師)

    (寧夏六盤(pán)山高級(jí)中學(xué))

    利用同構(gòu)法解題已經(jīng)成為近年來(lái)高考命題的熱點(diǎn).對(duì)一個(gè)等式或不等式進(jìn)行變形,使等式或不等式左、右兩邊式子結(jié)構(gòu)完全相同,然后通過(guò)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行處理,找這個(gè)函數(shù)模型的方法就是同構(gòu)法.在一些函數(shù)或不等式問(wèn)題中,同構(gòu)已經(jīng)成為一種常見(jiàn)的解題意識(shí)與技巧.其關(guān)鍵在于觀察函數(shù)或式子結(jié)構(gòu)的共性,并合理構(gòu)造共性,借助并應(yīng)用共性解題.

    1 常見(jiàn)同構(gòu)試題類型

    1.1 利用同構(gòu)法解決解不等式中比較大小問(wèn)題

    例1(2020年全國(guó)Ⅰ卷理12)若2a+log2a=4b+2log4b,則( ).

    A.a>2bB.a<2b

    C.a>b2D.a<b2

    解析因?yàn)?a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b,而22b+log2b<22b+log2b+1=22b+log22b,所以2a+log2a<22b+log22b.

    令f(x)=2x+log2x,由指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(a)<f(2b),所以a<2b,故選B.

    點(diǎn)評(píng)解題的關(guān)鍵是先對(duì)等式右邊4b+2log4b變形并放縮,得到2a+log2a<22b+log22b,觀察不等式左、右兩邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x+log2x,從而利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.

    變式(2020 年全國(guó)Ⅱ卷理11)若2x-2y<3-x-3-y,則( ).

    A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

    C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

    解析由2x-2y<3-x-3-y,可得2x-3-x<2y-3-y.令f(x)=2x-3-x,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得f(x)在R上單調(diào)遞增,且f(x)<f(y),所以x<y,即y-x>0.因?yàn)閥-x+1>1,所以

    故選A.

    點(diǎn)評(píng)把不等式變形,使不等式左、右兩邊結(jié)構(gòu)形式完全相同,通過(guò)構(gòu)造函數(shù),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解.

    1.2 利用同構(gòu)法求解參數(shù)取值范圍問(wèn)題

    例2(2020 年新高考Ⅰ卷21,節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.若f(x)≥1,求a的取值范圍.

    解析方法1構(gòu)造函數(shù)法

    f(x)=aex-1-lnx+lna=elna+x-1-lnx+lna≥1等價(jià)于elna+x-1+lna-1≥lnx等價(jià)于elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx.

    令g(x)=ex+x,上述不等式等價(jià)于g(lna+x-1)≥g(lnx),顯然g(x)在R 上為增函數(shù),則lna+x-1≥lnx,即lna≥lnx-x+1.

    令h(x)=lnx-x+1,則,在(0,1)上,h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增;在(1,+∞)上,h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,所以hmax(x)=h(1)=0,則lna≥0,即a≥1,故a的取值范圍是[1,+∞).

    點(diǎn)評(píng)解題的關(guān)鍵是在變形的基礎(chǔ)上連續(xù)進(jìn)行五次等價(jià)轉(zhuǎn)化,第一次等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx;第二次等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式g(lna+x-1)≥g(lnx);根據(jù)g(x)的單調(diào)性,第三次等價(jià)轉(zhuǎn)化為lna≥lnx-x+1;令h(x)=lnx-x+1,第四次等價(jià)轉(zhuǎn)化為求h(x)的最大值;第五次轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的對(duì)數(shù)不等式lna≥0,解得a的取值范圍.

    方法2“改頭換面”切線放縮法

    由f(x)≥1,得aex-1-lnx+lna≥1,等價(jià)于

    由①和③得lna+lnx+1≥lnx-lna+1,即2lna≥0,所以lna≥0,故a≥1.

    點(diǎn)評(píng)在解決含有指數(shù)式和對(duì)數(shù)式混合型不等式問(wèn)題時(shí),有時(shí)在同構(gòu)的基礎(chǔ)上結(jié)合切線放縮可以有效降低此類問(wèn)題的難度.利用ex≥x+1,x-1≥lnx將ex和lnx同時(shí)放縮成直線,這種方法稱為“改頭換面”.

    方法3構(gòu)造“形似”函數(shù)法

    點(diǎn)評(píng)本題先將原不等式等價(jià)變形,使其左、右兩邊具有“形似”結(jié)構(gòu),再構(gòu)造“形似”輔助函數(shù)g(x)=xex解題.解題的關(guān)鍵是將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題,再利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值(最值),然后構(gòu)建不等式求解.

    變式若不等式ln(x+1)-a(x+1)>x-aex在x∈(0,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

    方法2設(shè)g(x)=lnx-ax,則x-aex=g(ex),不等式ln(x+1)-a(x+1)>x-aex在x∈(0,+∞)上恒成立,等價(jià)于g(x+1)>g(ex)在x∈(0,+∞)上恒成立.又ex>x+1在x∈(0,+∞)上成立(證明過(guò)程略),所以x+1>1,ex>1,故g(x)=lnx-ax在x∈(1,+∞)上單調(diào)遞減,故g′(x)=在x∈(1,+∞)上恒成立,而∈(0,1),所以a≥1,故a的取值范圍是[1,+∞).

    點(diǎn)評(píng)形如ea±a≥b±lnb型的不等式一般有兩種同構(gòu)途徑:

    1)ea±a≥elnb±lnb,構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex±x;

    2)ea±lnea≥b±lnb,構(gòu)造函數(shù)f(x)=x±lnx.

    方法1是以不等式右邊的表達(dá)式為標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造函數(shù),方法2 是以不等式左邊的表達(dá)式為標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造函數(shù),再借助函數(shù)的單調(diào)性求解.

    1.3 利用同構(gòu)法解決函數(shù)中的最值問(wèn)題

    點(diǎn)評(píng)解題的關(guān)鍵是進(jìn)行xex=elnx+x的轉(zhuǎn)化,把含有指數(shù)式xex化為含有指數(shù)和對(duì)數(shù)式elnx+x的同構(gòu)式,再利用切線不等式ex≥x+1放縮.常見(jiàn)的同構(gòu)變形有

    變式已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x>0,不等式2ae2xlnx+lna≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的最小值.

    點(diǎn)評(píng)解題的核心是把不等式兩邊化為同構(gòu)式,分別構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于a的不等式,再利用參變分離構(gòu)造函數(shù)求最值.比較這3種方法可知方法3最簡(jiǎn)單,因?yàn)闃?gòu)造出的函數(shù)的單調(diào)性最明顯,所以在遇到乘積型問(wèn)題時(shí),兩邊取對(duì)數(shù)是比較簡(jiǎn)單的方法.

    1)形如乘積型aea≥blnb的同構(gòu),一般有三種同構(gòu)途徑:

    1.4 利用同構(gòu)法解決與方程根有關(guān)的問(wèn)題

    變式已知x0是方程2x2e2x+lnx=0的實(shí)數(shù)根,則關(guān)于實(shí)數(shù)x0的判斷正確的是( ).

    方法1由2x2e2x+lnx=0,得

    方法3由2x2e2x+lnx=0,得2x2e2x=-lnx,兩邊取自然對(duì)數(shù)得2x+ln(2x2)=ln(-lnx),則

    得g(2x)=g(-lnx),所以2x=-lnx,即2x+lnx=0,故選C.

    點(diǎn)評(píng)方法1 是以左邊的函數(shù)為目標(biāo),構(gòu)造函數(shù)g(x)=xex,方法2是以右邊的函數(shù)為目標(biāo),構(gòu)造函數(shù)g(x)=xlnx,方法3是兩邊取自然對(duì)數(shù)構(gòu)造基本函數(shù),顯然方法3較簡(jiǎn)單.以上三種方法都用到了同構(gòu)思想,一題多構(gòu)殊途同歸,體現(xiàn)了思維的靈活性.

    1.5 利用同構(gòu)法解決不等式證明問(wèn)題

    例5(2014年全國(guó)Ⅰ卷理21)設(shè)函數(shù)f(x)=,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=e(x-1)+2.

    (1)求a,b;

    (2)證明:f(x)>1.

    又h′(x)=e-x(1-x),所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h′(x)>0,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h′(x)<0,所以h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,故

    點(diǎn)評(píng)若不等式中同時(shí)含有指數(shù)式和對(duì)數(shù)式,則在證明過(guò)程中要進(jìn)行指、對(duì)分離(“一分為二”),把指數(shù)式和對(duì)數(shù)式分別放在不等式的兩邊,采用“分而治之”的策略分別求出不等式兩邊函數(shù)的最值.

    點(diǎn)評(píng)同構(gòu)主要原理:若F(x)≥0 能夠變形成f[g(x)]≥f[h(x)],則可利用f(x)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化,如若f(x)單調(diào)遞增,則轉(zhuǎn)化為g(x)≥h(x).

    1.6 利用同構(gòu)法解決雙變量問(wèn)題

    點(diǎn)評(píng)對(duì)于含有二元變量x1,x2的函數(shù),常見(jiàn)的同構(gòu)類型有以下幾種:

    點(diǎn)評(píng)題目中出現(xiàn)x1,x2,f(x1),f(x2)的對(duì)稱數(shù)據(jù),因而我們可以把x1和f(x1)放在一起,把x2和f(x2)放在一起,兩個(gè)變量沒(méi)有等量關(guān)系,具有任意性,故可以化為同構(gòu)式,構(gòu)造新函數(shù),再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解.

    2 小結(jié)

    運(yùn)用同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)是高中數(shù)學(xué)解題的一種常見(jiàn)方法,尤其對(duì)于涉及包含指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)混合的不等式問(wèn)題有著巧妙應(yīng)用.在解題過(guò)程中要充分挖掘題目結(jié)構(gòu)式隱含的共性特征,通過(guò)觀察、分析,不斷變形等將之轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)相同的式子,再構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性或不等式放縮等方法解決問(wèn)題.

    (完)

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