“構(gòu)造輔助圓”在初中數(shù)學(xué)解題中的靈活運(yùn)用

? 吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院 王 雪

“構(gòu)造輔助圓”是指在原有的幾何圖形上,構(gòu)建一個(gè)輔助圓,利用圓的特性來(lái)完成題目的解答.通過(guò)輔助圓的構(gòu)造,能夠?qū)缀晤}目中較為繁雜的已知條件進(jìn)行集中處理,同時(shí)能夠發(fā)現(xiàn)幾何圖形中的隱藏條件,利用對(duì)這部分條件的分析,快速解決問(wèn)題.本文中結(jié)合實(shí)例,幫助學(xué)生明確輔助圓的應(yīng)用環(huán)境,以及針對(duì)不同題型如何構(gòu)造輔助圓.

1 “構(gòu)造輔助圓”解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的應(yīng)用現(xiàn)狀

目前初中生在解題的過(guò)程中,較少應(yīng)用輔助圓,且應(yīng)用效果不理想.在幾何題的解答過(guò)程中,輔助線的應(yīng)用是比較常見的,但是有部分題目通過(guò)輔助線來(lái)解答依舊存在難度,甚至需要多條輔助線才能完成,如果學(xué)生用這種方法應(yīng)對(duì)選擇題和填空題,就會(huì)浪費(fèi)大量的時(shí)間.而應(yīng)用輔助圓則可以為相關(guān)問(wèn)題披上圓的外衣,這樣就可以依據(jù)圓的性質(zhì)進(jìn)行解題,從根本上起到化繁為簡(jiǎn)的作用[1].

2 “構(gòu)造輔助圓”解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)際案例

2.1 輔助圓在求線段長(zhǎng)度的幾何問(wèn)題中的應(yīng)用

在解決求線段長(zhǎng)度的幾何問(wèn)題中,通常是利用相同端點(diǎn)的線段構(gòu)造輔助圓,以端點(diǎn)作為圓心,選取相等的線段作為半徑或直徑,完成輔助圓的構(gòu)建后再利用圓的基本性質(zhì)求解線段長(zhǎng)度[2].

解析：由AE∥CD,得∠BDC=∠DBE.

由AB=AC=AD=AE,將點(diǎn)D,C,B,E視為圓上的點(diǎn)構(gòu)建輔助圓,如圖1.于是弦DE與弦BC的長(zhǎng)度相等.

圖1

因?yàn)镋B為輔助圓的直徑,所以∠EDB=90°.

2.2 輔助圓在求度數(shù)的幾何問(wèn)題中的應(yīng)用

在解決求度數(shù)的幾何問(wèn)題中,通?？梢詫⒐颤c(diǎn)作為頂點(diǎn),作三角形的外接圓.在構(gòu)建輔助圓的過(guò)程中要將三角形與輔助圓建立明確的關(guān)系.

例2如圖2所示,△ABC為等腰三角形,且AB=AC,直線AP為△ABC外側(cè)直線,點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AP軸對(duì)稱.

圖2

求證:∠1=∠2.

證明：∵點(diǎn)B,D關(guān)于直線AP對(duì)稱,

∴直線AP為線段BD的垂直平分線.

∴△ADB為等腰三角形.

∴AD=AB=AC.

故可以AC為半徑,點(diǎn)A為圓心,構(gòu)建如圖3所示的輔助圓.

圖3

∵P為BD中點(diǎn),且AP為過(guò)點(diǎn)E的直線,

∴△DEB為等腰三角形.

∴DE=BE.

∴∠EDB=∠EBD.

∴∠2=2∠EDB.

又∠1=2∠CDB(同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的2倍),

∴∠1=∠2.

2.3 輔助圓在求圖形面積問(wèn)題中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)中考題中,涉及面積的題型也很多,當(dāng)題目條件較多且分散的幾何圖形很難運(yùn)用面積公式時(shí),可以嘗試構(gòu)建輔助圓,利用圓的基本性質(zhì)以及圓的面積公式進(jìn)行計(jì)算[3].

圖4

解析：依題意可知AB=AC=BC=AD,構(gòu)建以點(diǎn)A為圓心,AB為半徑的圓,得到如圖5所示的輔助圓.

圖5

∵△ABC為等邊三角形,

∴∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°.

又∠BCP=90°,∠BCA=60°,

∴∠PCA=∠CDB=30°.

∴△BCD∽△APC.

∴BC∶AP=BD∶AC.

又BC=AC,

∴BC2=AP×BD.

2.4 輔助圓在求線段比或面積比問(wèn)題中的應(yīng)用

圖形中的某兩條線段成比例或圖形面積成比例這類題型是中考的難點(diǎn)和重點(diǎn).利用輔助圓則可以結(jié)合圓的性質(zhì),通過(guò)圓中的線與角的關(guān)系進(jìn)行求解.構(gòu)建輔助圓時(shí),要將有關(guān)線段置于輔助圓的關(guān)鍵位置,例如,可作為直徑、半徑或弧所對(duì)的弦.這樣容易發(fā)現(xiàn)線段之間的關(guān)系,從而更加簡(jiǎn)便地進(jìn)行解答[4].

例4在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,P是CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),BP∶BC=k,已知0≤k≤1,過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線,過(guò)點(diǎn)P作AP的垂線,使兩條垂線相交于點(diǎn)Q,且AP=PQ,連接AQ,求△ABC與△APQ的面積比.

分析：根據(jù)已知條件分析,△APQ的面積較難求解,所以可以根據(jù)△APQ來(lái)構(gòu)建輔助圓.

解析：以AQ為直徑,AQ的中點(diǎn)O為圓心,構(gòu)建如圖6所示的輔助圓.

圖6

∵AP=PQ,且∠APQ=90°,

∴△APQ為等腰直角三角形.

設(shè)BC=AC=m.

∵BP∶BC=k,

∴BP=km,PC=(k+1)m.

2.5 輔助圓在求線段極值問(wèn)題中的應(yīng)用

輔助圓在求線段極值問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用,特別是在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常遇到.

例5在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中,P為對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且與點(diǎn)B,D不重合,連接AP,過(guò)B作AP的垂線,垂足為H,連接DH,求線段DH的最小值.

分析：由于無(wú)論點(diǎn)P如何運(yùn)動(dòng),AB的長(zhǎng)度都不會(huì)改變,因此可以AB為直徑,AB的中點(diǎn)E為圓心構(gòu)建輔助圓,通過(guò)圓確定點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡.

解析：取AB中點(diǎn)E,連接DE,構(gòu)建如圖7所示的幾何圖形,可得

圖7

綜上所述,“構(gòu)造輔助圓”在初中數(shù)學(xué)解題中的廣泛應(yīng)用,不僅包含大量的幾何問(wèn)題,而且部分代數(shù)問(wèn)題中也可使用.構(gòu)建輔助圓時(shí),要結(jié)合題目的具體情況,根據(jù)四點(diǎn)共圓的條件確定輔助圓.通過(guò)輔助圓在不同類型幾何問(wèn)題中的應(yīng)用,明確構(gòu)建輔助圓在初中數(shù)學(xué)解題中的可行性與實(shí)用性,通過(guò)輔助圓的靈活應(yīng)用,提升學(xué)生的實(shí)際解題能力.